霍爾效應(yīng)的地下位移三維測(cè)量方法研究

周 振，李 青，池金谷，李 雄，杜通波

（中國計(jì)量學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，浙江 杭州 310018）

滑坡一般指由于受到地質(zhì)結(jié)構(gòu)、地表或地下水活動(dòng)、人工切坡等因素的影響，斜坡上的部分巖體和土體沿地層軟弱面（或軟弱帶）在重力作用下向下滑動(dòng)的不良地質(zhì)現(xiàn)象［1-2］.國際上采用 Varnes提出的五種運(yùn)動(dòng)類型來對(duì)滑坡進(jìn)行分類：崩塌，傾倒，滑動(dòng)，側(cè)向擴(kuò)展和流動(dòng)［3-4］.美國地質(zhì)調(diào)查局（USGS）于2004年進(jìn)一步細(xì)分，包括：旋轉(zhuǎn)型滑坡，平移型滑坡，塊體滑坡，巖崩，彎折傾倒，碎屑流，碎屑崩塌，泥土流動(dòng)，蠕滑和側(cè)向擴(kuò)展.

滑坡的監(jiān)測(cè)內(nèi)容包括地表位移、地下位移、地下水位、地下推力、土壤濕度、位移速率、地下水壓力、地應(yīng)力等，其中地下位移的監(jiān)測(cè)是重點(diǎn)也是難點(diǎn).國內(nèi)外對(duì)于坡體深部位移監(jiān)測(cè)主要利用埋設(shè)在地質(zhì)鉆孔中的測(cè)斜儀［5-6］、多 點(diǎn) 位 移 計(jì)［7-9］和TDR同軸電纜［10-13］來獲取數(shù)據(jù).鉆孔測(cè)斜儀不能測(cè)量滑坡體不同深度的垂直位移；多點(diǎn)位移計(jì)只能測(cè)量一維位移；TDR監(jiān)測(cè)技術(shù)很難確定滑坡滑動(dòng)的方向，且同軸電纜的伸縮性很差；三種主流測(cè)量方法都不能測(cè)量出地下位移的三維變化，而只有三維變化的測(cè)量才能真正反應(yīng)出地下巖土的實(shí)際變化情況.鑒于此，筆者提出一種基于霍爾效應(yīng)的地下位移三維測(cè)量方法.

1 工作原理

旋轉(zhuǎn)型滑坡、平移型滑坡和塊體滑移是常見的滑坡類型，旋轉(zhuǎn)型滑坡示意圖如下：

圖1 旋轉(zhuǎn)型滑坡Figure 1 Rotational landslide

旋轉(zhuǎn)型滑坡是指沿著向上凹的弧形破裂面滑動(dòng)的滑坡，滑坡移動(dòng)只沿內(nèi)部滑面發(fā)生，坡體裂縫在平面上呈環(huán)狀且凹向移動(dòng)方向，其下伏破裂面連同外露破裂壁呈勺形，滑坡的坡體移動(dòng)時(shí)近似繞平行于斜坡的軸轉(zhuǎn)動(dòng)［14］.

平移型滑坡和塊體滑移的示意圖如圖2.

圖2 平移型滑坡和塊體滑移Figure 2 Translational landslide and block slide

對(duì)旋轉(zhuǎn)滑坡的地下位移測(cè)量需要同時(shí)測(cè)量出水平及垂直位移，這就要求測(cè)量方法能實(shí)現(xiàn)三維測(cè)量.本文提出的基于霍爾效應(yīng)的地下位移三維測(cè)量方法，其工作原理如圖3.

圖3中的測(cè)量單元均為圓柱體，內(nèi)置傳感器及電路.各個(gè)測(cè)量單元通過電源線、信號(hào)線連成一串與主機(jī)相連，且各個(gè)測(cè)量單元之間用高彈性連接物相連.在實(shí)際安裝過程中，保持各個(gè)測(cè)量單元的上下平面平行，并找到地下巖層的不動(dòng)層，將一個(gè)測(cè)量單元埋入其中作為基準(zhǔn)，建立三維坐標(biāo)系.

當(dāng)最復(fù)雜的多級(jí)旋轉(zhuǎn)型滑坡發(fā)生時(shí)，每一個(gè)滑坡坡體移動(dòng)近似繞平行于斜坡的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，且每一個(gè)滑坡坡體基本保持原樣.這樣，坡體的運(yùn)動(dòng)將改變各個(gè)測(cè)量單元之間的相對(duì)位置，且相鄰測(cè)量單元之間的上下表面基本保持平行.如圖4.

只要能測(cè)量出各個(gè)測(cè)量單元之間的相對(duì)位置變化，并以埋入不動(dòng)層中的測(cè)量單元為基準(zhǔn)，就可以測(cè)量出整個(gè)地下巖土的三維變化情況.類似的測(cè)量思想可以在很多文獻(xiàn)中得到佐證，并有大量的實(shí)際應(yīng)用項(xiàng)目支持，筆者所在的科研團(tuán)隊(duì)對(duì)此相關(guān)領(lǐng)域已有多年的研究［15-16］.能否完成三維測(cè)量，關(guān)鍵在于如何測(cè)量出各個(gè)測(cè)量單元之間的相對(duì)位置變化.基于霍爾效應(yīng)設(shè)計(jì)集成式傳感器并配合相應(yīng)的算法，就可實(shí)現(xiàn)這一目的.

圖4 滑坡示意圖Figure 4 Schematic plan of landslide

霍爾效應(yīng)：當(dāng)電流垂直于外磁場(chǎng)通過導(dǎo)體（或半導(dǎo)體）時(shí)，在導(dǎo)體（或半導(dǎo)體）的垂直于磁場(chǎng)和電流方向的兩個(gè)端面之間會(huì)出現(xiàn)電勢(shì)差.可用如下公式表示：

式（1）中，RH為霍爾系數(shù)；I為通過的電流；B為垂直于I的磁感應(yīng)強(qiáng)度；d為導(dǎo)體的厚度.當(dāng)電流I和霍爾片的厚度d保持不變時(shí)，霍爾電勢(shì)差UH與磁感應(yīng)強(qiáng)度B成正比.通過電勢(shì)差UH即可反映磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化［17］.

在本方案中，磁場(chǎng)來源為圓柱形釹鐵硼永磁體.當(dāng)磁鋼與霍爾傳感器的相對(duì)位置發(fā)生變化時(shí)，霍爾傳感器的輸出電壓就能指示出具體的變化情況.

2 設(shè)計(jì)方案

本文提出的測(cè)量方法，核心內(nèi)容是傳感器的設(shè)計(jì)以及所采用的測(cè)量算法.

什么是發(fā)展？列寧曾認(rèn)為，有兩種基本的(或可能的？或兩種在歷史上常見的？)發(fā)展(進(jìn)化)觀點(diǎn)：一種觀點(diǎn)認(rèn)為發(fā)展就是減少和增加，是重復(fù)，另一種觀點(diǎn)認(rèn)為發(fā)展就是對(duì)立面的統(tǒng)一。也有學(xué)者從哲學(xué)視角分析，認(rèn)為發(fā)展是指事物由小到大、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由低級(jí)到高級(jí)的變化。還有人認(rèn)為發(fā)展指變化的趨勢(shì)。一般說來，發(fā)展的內(nèi)涵包括自然的演化和人類社會(huì)的進(jìn)步，是指事物自身的矛盾運(yùn)動(dòng)和空間相互作用和時(shí)間序列的永恒歷史運(yùn)動(dòng)。發(fā)展是人類社會(huì)的永恒主題，也是人類文明演進(jìn)的邏輯起點(diǎn)。

圖5 傳感器結(jié)構(gòu)Figure 5 Sensor structure

圖5中，傳感器分為兩個(gè)部分.第一部分是空心圓柱體V1，一塊圓柱形釹鐵硼永久磁鋼M（φ5×h18，單位mm）固定在其下端面面板S1上.第二部分是空心圓柱體V2，在距離其上端h2（13.5mm）的面板S2上，是由三個(gè)水平緊密貼合的霍爾傳感器組成的陣列，如圖6.霍爾傳感器陶瓷片的中心點(diǎn)可感受磁感應(yīng)強(qiáng)度，三個(gè)霍爾傳感器陶瓷片的中心點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C，邊長L為12mm.

圖6 面板S2俯視圖Figure 6 Plan view of panel S2

這里將空心圓柱體V1與V2相隔h1，是為了便于觀察.在實(shí)際測(cè)量中，只需將兩者貼合即可.在進(jìn)行巖土地下三維位移測(cè)量時(shí)，將空心圓柱體V1埋入巖土滑動(dòng)層，V2則埋入巖土不動(dòng)層.當(dāng)?shù)叵峦翆影l(fā)生相對(duì)位移時(shí)，就可以測(cè)量土層的三維位移情況.如果增加圓柱體V1與V2的數(shù)量，連成葫蘆串，就可測(cè)量大厚度土層的三維位移情況.

進(jìn)行如圖7的磁鋼位移標(biāo)定實(shí)驗(yàn).為配合實(shí)驗(yàn)，搭建如圖8的測(cè)量系統(tǒng).

圖7 位移實(shí)驗(yàn)Figure 7 Displacement experiment

圖8 測(cè)量系統(tǒng)Figure 8 Measurement system

本文設(shè)計(jì)的標(biāo)定和測(cè)試實(shí)驗(yàn)是在7SC405高精度五軸運(yùn)動(dòng)臺(tái)上進(jìn)行的.將霍爾傳感器的位置固定，并將磁鋼固定在7SC405運(yùn)動(dòng)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)臂（非金屬材質(zhì)）上.通過上位機(jī)控制運(yùn)動(dòng)臺(tái)的動(dòng)作，精確改變磁鋼與傳感器之間的相對(duì)位置.圖7中，以霍爾傳感器陶瓷片中心點(diǎn)正上方h4（13.5mm）處為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立xz直角坐標(biāo)系.z軸垂直于霍爾傳感器所在平面，且經(jīng)過陶瓷片中心點(diǎn).x軸平行于霍爾傳感器所在平面.

首先，讓圓柱形磁鋼下端面的中心點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，然后使之水平向右移動(dòng).每次移動(dòng)0.2mm，采集霍爾傳感器輸出的電壓值，一共移動(dòng)100次.然后，讓磁鋼回到坐標(biāo)系原點(diǎn)，并增加高度0.2mm，重復(fù)同樣的實(shí)驗(yàn).接著，重復(fù)前兩步的實(shí)驗(yàn).整個(gè)實(shí)驗(yàn)將得到一個(gè)100行100列的二維數(shù)組.利用MATLAB進(jìn)行三維繪圖，如圖9.

圖9 電壓采集分布圖Figure 9 Distribution map of sampled voltage

當(dāng)磁鋼逐漸遠(yuǎn)離霍爾傳感器，無論是沿著x軸方向或是z軸方向，傳感器輸出電壓都將相應(yīng)減小.在x軸及z軸坐標(biāo)最小處，傳感器輸出電壓達(dá)到最大值.相反，在x軸及z軸坐標(biāo)最大處傳感器輸出電壓最小，因?yàn)榇藭r(shí)霍爾傳感器與釹鐵硼永磁體之間的相對(duì)距離最大.對(duì)圖9進(jìn)一步處理，利用MATLAB繪制等高線，每一條等高線代表相同的電壓值，且相鄰兩條等高線之間的差值是相同的，如圖10.圖10中可以看到，等高線基本上是單調(diào)遞減的.

圖10 15條等高線分布圖Figure 10 Distribution map of 15contour lines

回顧之前的位移標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，可以得出這樣的結(jié)論：當(dāng)磁鋼在一條等高線上移動(dòng)時(shí)，霍爾傳感器輸出的電壓將不會(huì)改變.由于磁鋼是圓柱體，且沿著中軸線被磁化，那么其磁場(chǎng)應(yīng)該是關(guān)于它的中軸線對(duì)稱分布的.將等高線繞著z軸旋轉(zhuǎn)一圈，可以得到一個(gè)三維等值曲面.當(dāng)磁鋼在這個(gè)等值曲面上移動(dòng)時(shí)，霍爾傳感器輸出的電壓值不變.再看之前的傳感器俯視圖（圖6），當(dāng)磁鋼處在霍爾傳感器陣列所在平面的上方時(shí)，三個(gè)霍爾傳感器將輸出三個(gè)電壓值.根據(jù)之前所述的磁鋼位移標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，依據(jù)每一個(gè)電壓值可以得到相應(yīng)的等值曲面.兩個(gè)等值曲面相交得到一條曲線，這條曲線與第三個(gè)等值曲面相交就能得到一個(gè)唯一交點(diǎn)，交點(diǎn)的三維坐標(biāo)就是磁鋼下端面中心點(diǎn)的坐標(biāo).

以上闡述了此測(cè)量方法在理論上的可行性.理想的交點(diǎn)計(jì)算方法是利用三條空間曲線直接計(jì)算求取交點(diǎn)，這三條空間曲線分別對(duì)應(yīng)于三個(gè)等值曲面.但從MATLAB中能提取的僅僅是等高線上離散點(diǎn)的坐標(biāo)，并不是等高線的函數(shù)表達(dá)式.由于對(duì)離散點(diǎn)采用曲線擬合的方法獲得函數(shù)表達(dá)式，其誤差較大，故不妨換一個(gè)角度思考問題：假設(shè)已經(jīng)得到能夠準(zhǔn)確表達(dá)等高線的函數(shù)表達(dá)式，用一個(gè)平行于xy平面的切面橫切上文中提到的三個(gè)等值曲面，那么一定能得到三個(gè)圓.設(shè)三個(gè)等值曲面交點(diǎn)的坐標(biāo)是（x0，y0，z0），則必定會(huì)有一個(gè)切面z＝z0，使得此切面橫切出來的三個(gè)圓能交與一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是所要求的交點(diǎn).前文述及構(gòu)成一條等高線的是一簇離散點(diǎn)，那么將相鄰的兩個(gè)離散點(diǎn)全部用直線相連就能得到一條折線.將此折線同樣繞著z軸旋轉(zhuǎn)一圈，也能得到一個(gè)等值曲面，只是這個(gè)等值曲面并不光滑.用一個(gè)切面z＝z1去橫切三個(gè)這樣的等值曲面，也能得到三個(gè)圓.當(dāng)z1足夠接近甚至是等于z0時(shí)，能確保橫切出來的三個(gè)圓當(dāng)中，有兩個(gè)圓相交于兩點(diǎn).當(dāng)然，無論這兩個(gè)點(diǎn)當(dāng)中的哪一個(gè)點(diǎn)與第三個(gè)圓圓心之間的距離都可能不等于第三個(gè)圓的半徑，但只要兩者相差的值小于某個(gè)設(shè)定值，就可以認(rèn)為三個(gè)圓能交與一點(diǎn)，由此也就計(jì)算出了三個(gè)等值曲面的交點(diǎn).實(shí)際操作中，利用 MATLAB得到40條等高線對(duì)應(yīng)的離散點(diǎn)的坐標(biāo)，存儲(chǔ)在軟件中.當(dāng)需要用到某個(gè)特定電壓對(duì)應(yīng)的等高線時(shí)，就利用軟件插值去求取相應(yīng)的離散點(diǎn)的坐標(biāo).

圖10所描繪的是20mm×20mm磁鋼位移標(biāo)定實(shí)驗(yàn)中，霍爾傳感器輸出電壓的等高線簇.由于是軟件插值，可以無限增加等高線簇的密度，即近似地認(rèn)為等高線簇構(gòu)成了一個(gè)面.將這個(gè)面繞著z軸旋轉(zhuǎn)一圈，就能得到一個(gè)圓柱體（φ40×h20，單位mm）.如圖6，三個(gè)霍爾傳感器的排列呈一個(gè)等邊三角形.三個(gè)傳感器對(duì)應(yīng)三個(gè)這樣的圓柱體，三個(gè)圓柱體在三維空間中相交得到一個(gè)立體圖形，如圖11.圖中的柱體描繪了測(cè)量的空間范圍，高為20mm，其上下底面如圖12（圖中灰區(qū)域）.也就是說，只要磁鋼下端面的中心點(diǎn)處在這個(gè)柱體中，就能測(cè)量出其所處位置的三維坐標(biāo).

圖11 測(cè)量范圍的三維視圖Figure 11 3Dview of measurement range

圖12 柱體的底面Figure 12 Underside of the cylinder

將測(cè)量裝置埋入巖土深部以后，測(cè)量出此時(shí)磁鋼下端面中心點(diǎn)處的三維坐標(biāo)（x1，y1，z1），也就是起始點(diǎn)坐標(biāo).當(dāng)土層發(fā)生形變，可測(cè)量出形變之后的坐標(biāo)值（x2，y2，z2）.通過簡(jiǎn)單的幾何運(yùn)算可以得到垂直及水平的位移大小值，也可以采用公式（2）得出總位移的大小.

3 數(shù)據(jù)分析

建立圖13的系統(tǒng)三維笛卡爾坐標(biāo)系：

圖13 測(cè)量裝置系統(tǒng)坐標(biāo)系Figure 13 Coordinate system of the measurement equipment

三個(gè)霍爾傳感器陶瓷片的中心點(diǎn)A、B、C在V2上端面上的投影為A0，B0，C0.以B0點(diǎn)為三維笛卡爾坐標(biāo)系的原點(diǎn)，x軸沿著線段B0C0水平向右，y軸同處在V2上端面且垂直于x軸，z軸垂直xy平面向上.實(shí)際制作的測(cè)量裝置，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0，－13.5），C 點(diǎn)的坐標(biāo)為（12.325，0，－13.5），A 點(diǎn)的坐標(biāo)為（5.95，11，－13.5），單位mm.選取一個(gè)8mm×8mm×8mm區(qū)域進(jìn)行測(cè)量，一共216個(gè)點(diǎn).其中x軸坐標(biāo)分別取為2.1625、3.7625、5.3625、6.9625、8.5625、10.1625，y軸和z軸坐標(biāo)分別取為0、1.6、3.2、4.8、6.4、8.

測(cè)量結(jié)果顯示，有些點(diǎn)的x軸坐標(biāo)的測(cè)量誤差能達(dá)到0.5mm，y軸、z軸坐標(biāo)誤差較小.造成這種現(xiàn)象的一個(gè)原因是：圖10中的等高線是基本單調(diào)遞減的，而且等高線的起始段是趨向于水平的.起始段上的兩個(gè)點(diǎn)（x1，y1）、（x2，y2），差值y2－y1遠(yuǎn)小于差值x2－x1.實(shí)際測(cè)量時(shí)，由于時(shí)漂以及溫漂等因素的影響，電路測(cè)得的霍爾傳感器的輸出電壓會(huì)有微小的偏差.這個(gè)偏差的影響相當(dāng)于對(duì)等高線造成了y2－y1的差值，反應(yīng)在測(cè)量結(jié)果上就是x坐標(biāo)的測(cè)量誤差較大.進(jìn)行多次測(cè)量，對(duì)誤差進(jìn)行分析，得出非常相似的規(guī)律，由此表明，算法仍需改進(jìn).利用這些規(guī)律，結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用優(yōu)化算法中的麥夸特法＋通用全局優(yōu)化法進(jìn)行擬合，得到三個(gè)坐標(biāo)各自的補(bǔ)償值的計(jì)算公式.擬合模型均采用如公式（3）的形式：

式（3）其中d為補(bǔ)償值，分別有dx、dy以及dz，對(duì)應(yīng)三個(gè)坐標(biāo)軸.p為常量，x、y、z均為初步測(cè)得的未經(jīng)補(bǔ)償?shù)淖鴺?biāo)值.將初步測(cè)得的值減去補(bǔ)償值就得到了最終的測(cè)量值.選取一次實(shí)驗(yàn)，代入216個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合.三條擬合公式的殘差平方和均小于0.21，相關(guān)系數(shù)均大于0.95.x坐標(biāo)的補(bǔ)償值較大，最大能接近0.4mm，y、z坐標(biāo)的補(bǔ)償值較小.這里只將補(bǔ)償值dx計(jì)算公式的常量p羅列如下：35.38，－1.28，－1.86，－3.52，0.718，－0.436，2.64，－0.057，0.036，－0.182，72.142，6.07，－8.1，－5.155，－0.013，－0.328，3.491，－0.0288，0.0324，－0.265.將得到的三條補(bǔ)償公式去修正另幾次實(shí)驗(yàn)的測(cè)量結(jié)果，效果較好.進(jìn)行一次新的實(shí)驗(yàn)，并加入補(bǔ)償公式進(jìn)行校準(zhǔn)，一共測(cè)量216個(gè)點(diǎn)，x軸坐標(biāo)分別取為2.1625、3.7625、5.3625、6.9625、8.5625、10.1625，y軸和z軸坐標(biāo)分別取為0、1.6、3.2、4.8、6.4、8.圖14表示的是x坐標(biāo)測(cè)量的情況，216個(gè)點(diǎn)中x坐標(biāo)為2.1625的一共有36個(gè)點(diǎn)，其他五種取值同理.

圖14 x坐標(biāo)測(cè)量Figure 14 x－coordinate measurement

圖中橫坐標(biāo)表示第1到第36個(gè)點(diǎn)，縱坐標(biāo)表示x坐標(biāo)值.星點(diǎn)表示最終測(cè)量的坐標(biāo)值，黑線表示實(shí)際的坐標(biāo)值，兩者的差值就是實(shí)際測(cè)量的誤差.同樣地，y軸及z軸坐標(biāo)的測(cè)量誤差如圖15、圖16.

由于磁鋼產(chǎn)生的磁場(chǎng)分布非線性，空間中不同區(qū)域的點(diǎn)的測(cè)量精度是不同的，這點(diǎn)可以在圖形中反應(yīng)出來，即誤差有大有小.

4 結(jié) 語

土體的運(yùn)動(dòng)將改變傳感器與磁鋼之間的相對(duì)位置，采用上述方法可計(jì)算出土體變形前后磁鋼的三維坐標(biāo)，通過簡(jiǎn)單的幾何運(yùn)算就可以得到位移的大小值.本方案設(shè)計(jì)的三維位移測(cè)量方法能較全面地測(cè)量地下土層的形變情況，并達(dá)到一定的測(cè)量精度，從而為地質(zhì)災(zāi)害地下位移監(jiān)測(cè)提供了一種新的解決方案.

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