基于可重生PSO的雙層產品組合決策問題

鄭永前，喻賽君

（同濟大學 機械工程學院，上海 200092）

0 引言

在易變的市場環(huán)境下，制造企業(yè)將目標定位于盡可能利用一切可用資源來獲得最大利益。然而，在生產制造過程中，系統所受到的約束限制了企業(yè)目標的實現。這些約束可能是有形的約束，如機器、銷售商等；也有可能是無形的約束，如企業(yè)管理、國家政策和生產柔性等。

在綜合的生產計劃中，當企業(yè)的生產能力受到限制而不能生產所有需要的產品時，企業(yè)需要進行產品組合決策，以確定使利潤最大的多產品混合生產的產量。在微利經營的競爭環(huán)境中，企業(yè)受到有限的資源和生產能力的限制，如何權衡產品的種類和數量，進一步確定企業(yè)的生產計劃，充分利用資源，優(yōu)化其組合使其整體效益最佳，是企業(yè)常見的決策之一。產品組合決策的目標是在資源限制下增加產出，減少庫存和操作費用，以獲取企業(yè)的最大利潤。本文對生產中所遇到的問題，在經典產品組合決策（Product Mix Decision，PMD）問題的基礎上，對將原材料的選擇加工成半成品到生產出最終產品的組合過程進行了系統描述，并通過實際生產論證了這一過程。

已有部分學者對單一的PMD問題進行了研究，但基本上都是固定模型的PMD問題，并且都是直接在生產過程指定機器上進行加工。目前，解決經典PMD問題主要有以下幾種方式：

（1）常用的以整數規(guī)劃［1］為基礎的數學規(guī)劃，其優(yōu)點在于方便得出最優(yōu)解，但是線性規(guī)劃的使用必須是靜態(tài)值，而且在處理大規(guī)模問題上很難得出有效解。

（2）利用會計學的方法，這類方法包括活動的成本分析（Activity Based Costing，ABC）［2］和完全成本法（Full Cost Technique，FCT）等，這類方法依賴于成本的變動，而在生產過程中，通常很難對成本進行嚴密定義。

（3）運用基于瓶頸的約束理論（Theory of Constraints，TOC）對PMD問題進行求解。文獻［3－4］運用TOC算法對產品進行組合決策，給出了問題的有效解。TOC通過識別系統主要瓶頸，關注主要資源對產品進行決策。但由于TOC本身的限制，在約束瓶頸大于一個時，受到瓶頸約束，不能準確識別關鍵瓶頸，或者在問題規(guī)模較大時很難獲得產品的有效組合。

（4）運用智能算法求解。由于智能算法適用于解決大規(guī)模實際生產問題，并且不需要借助具體的表達形式，運用相對靈敏方便，適合求解大規(guī)模復雜問題。如遺傳算法［5］、模擬退火算法［6］、混合模擬退火禁忌表法［7］等。對于PMD問題，需要考慮其市場需求的來源，文獻［8］給出了市場需求不確定情況下對產品進行博弈決策，并通過納什均衡進行求解的方法。但是這種方法通常運用在競爭企業(yè)少的大型壟斷性企業(yè)生產，難以適應競爭強的多企業(yè)生產。其他需求來源于受訂單約束［9］或者歷史數據的統計［10］。由于大部分企業(yè)的數據缺乏整理和分析，只能根據經驗估算，給實際生產造成偏差而帶來損失。隨著市場的不斷發(fā)展和變化，為了減少不必要的庫存，滿足顧客多變的需求以適應個性化的市場，企業(yè)越來越趨向于從拉動型生產轉向訂單生產。本文在考慮市場導向的實際生產的情況下，根據訂單生產對產品的需求進行規(guī)劃。

PMD問題的NP性質使其增加或減少任何一種產品都會產生多種PMD。由于產品組合中的瓶頸約束［11］通常不止一個，解決NP性質的產品組合問題會遇到很多難題。在主要的約束上，以上文獻通常只考慮原材料限制［12］或者機器加工能力限制［13］兩者之一對生產進行約束，但實際的生產過程是連續(xù)的，不可能只涉及其中的某一面。本文將在考慮這兩個約束的基礎上對生產過程建立模型進行集成分析，運用可重生的粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法來解決企業(yè)實際生產中的問題。

1 問題描述與建模

1．1 雙層產品組合決策問題分析

本文所要解決的PMD問題是對單一層次的產品組合問題的縱向提升，是對產品從原材料選擇、機器加工選擇到部件組合過程的整體問題的解決。傳統的單一型PMD問題，即是在限定機器加工能力的情況下只考慮加工過程中的機器選擇，或者只對原材料進行選擇限制的問題，本文將對實際生產中遇到的機器及組合約束進行分析求解。

本文所要分析的是線束企業(yè)具體加工制作的實際生產過程，其生產加工過程如圖1所示。

在產品加工過程中，首先將成卷的線束在機器上切割成所需要的各種不同類型的線束半成品，生產的線束不一樣，加工過程也不一樣，需要選擇在不同機器上進行切割以及壓端口等操作。線束切割加工完成后，需要對不同種類的線束進行組裝，以獲得最終客戶所要求的產品。該生產過程可以看作是一個由兩個子過程構成的PMD問題的具體結合。第一個子過程是對半成品的生產組合過程，其中機器加工能力不允許超過額定負載。同時，生產加工過程中需要對機器進行選擇，以確定每一種中間品生產的機器選擇和生產過程。在部件生產批量一定的條件下，決定每一中間品的生產批次。第二個子過程根據產品需求將第一個子過程生產的半成品根據產品需求進行組合，形成最終產品。問題過程的描述簡化圖如圖2所示。

PMD問題通常被多種因素約束，除了市場的需求約束及產品與組合部件或機器之間的約束關系之外，主要還受生產資源不足和機器加工能力限制等約束。PMD問題即在這些約束的基礎上確定需要生產的產品類型和數量，以達到公司所要求的目標。

PMD問題可以描述為：在多品種生產過程中，m種產品的最優(yōu)生產產量的組合關系為P＝（P1，P2，…，Pm），各產品的最終產量由制造環(huán)節(jié)的約束決定。

多品種生產過程中，由于產品種類多，市場需求易變，生產設施復雜，機器、原材料和產品的工藝路線等相互影響、相互作用，相應的生產系統也非常復雜。不同產品加工過程中，所需要占用的機器和物料不同，加工工藝也不盡相同，產品最終生產量的組合實際上就是對資源的競爭關系。因此，在對PMD問題進行求解之前，需要進行如下假設：

（1）所有產品在對資源（包括原材料和機器）的使用上地位平等，不存在先后優(yōu)先次序問題，不存在一種產品對另一種產品的壓制現象。

（2）產品加工順序由加工工藝決定，不能更改，同一部件加工有工序先后順序，生產過程需嚴格按照工藝過程進行。

（3）將產品的準備時間分攤到批量加工過程中，不單獨考慮產品的準備時間。

（4）一臺設備一旦開始加工一道工序，就不能中斷。同一時間，兩道工序不能在同一機器上同時加工。

（5）從零時刻開始，所有部件都可以被加工。（6）最終產品數必須為整數。

1．2 數學模型

對于一個包含k種產品、m臺機器和n種中間品的多品種產品生產線的問題，對生產中的產品、中間品、機器、機器選擇、機器能力和中間品批次進行數學描述：

（1）產品

企業(yè)生產p種產品，表示為P1，P2，…，Pk…，每個產品由多種中間品組成，第k種產品的需求量為Dk。

（2）中間品

生產每個產品需要n種中間品，中間品表示為N1，N2，…，Nn。第i種中間品的總生產量為Qi，加工批量為Loti，在第j臺機器上的加工批次為Xij。生產第k種產品所需要的第i種中間品的數量為Lik。

（3）機器

中間品由m臺機器加工而成，機器表示為M1，M2，…，Mm。機器j的約束條件為Cj。生產的n種中間品在m臺機器上進行加工，并且第i個中間品在機器j上加工一個批量的標準工時為tij。

（4）機器選擇

在生產過程中，每一中間品i的生產要經過一個或多個工藝過程，中間品的加工機器選擇過程表示如下：按機器加工方式的不同，將機器分類為T1，T2，T3，…，Tg，

中間品i的工藝過程需要的機器集合表示為Gi＝｛Tx，Ty，…，Tz｝。

對于任意中間品的同一工藝過程，在其規(guī)定的機器分類中可以自由選擇機器。工藝過程不同，選擇加工的機器分類集也不同。

例如有5臺機器，T1表示機器1，2，3，T2表示機器4，5，則T1＝｛1，2，3｝，T2＝｛4，5｝。若加工中間品i可選擇的機器為機器1，2，3，則Gi＝｛T1｝。

（5）機器能力

在生產過程中，機器的最大加工能力用符號C表示。

加工n種中間品與m臺機器的時間關系矩陣

tij表示第i種中間品在第j個機器上的單位加工時間。如t12表示中間品1在第2個機器上加工所需要的時間，其值可以為0或者加工工序的定時工額。

（6）中間品批次

n個中間品與m臺機器之間的加工批次關系矩陣

Xij表示第i種中間品在第j臺機器上的加工批次。如X11＝5表示在第1臺機器上加工了5個批次的中間品1。

1．3 目標函數

公司營運的最終目的是獲益，因此目標函數設為最終產品的有效產出：

式中：Tk表示生產單位產品的有效產出，Sk表示第k種產品的決策變量。

1．4 約束條件

（1）因為中間品的生產方式為批量生產，而產品組合是按量生產，所以在對產品進行組合前先要確定中間品的總數。

式中Qi表示中間品i的生產數量。

（2）對機器加工能力的約束，即在產品生產過程中機器的負載一定，因此在加工時要對中間品的加工進行約束，使其不超過機器負載。

式中Cj表示機器j的最大加工能力。

（3）產品對中間品需求的約束，即一個成品由一個或多個中間品組合而成，因此任何一種中間品的使用數量不能超出其生產數量。

式中Lik表示組裝成產品i所需要的第k種中間品的數量。

（4）最終的產品生產數量需要滿足市場的需求。因為企業(yè)是訂單型拉動生產企業(yè)，所以最終的產品數量不能大于訂單的需求量。

式中Dk代表第k種產品的訂單需求量。

（5）最終的產品數量及中間品批次應滿足整數條件。

2 模型求解

2．1 基本粒子群算法

PSO算法［14］是一種群體智能算法，該算法采用群體和進化的概念，由鳥類群體飛行覓食行為演化而來。PSO算法通過粒子與群體間的相互競爭和合作，在信息共享的基礎上尋找每個粒子的最好位置pbest，并不斷趨近群體中的最優(yōu)粒子gbest，從而實現復雜空間最優(yōu)解的搜索。PSO算法利用無質量無體積的粒子個體對其進行規(guī)劃，使其具有群體性能的特點來對復雜型的問題進行優(yōu)化求解，在智能優(yōu)化算法中具有個體數目少、計算簡單、花費時間少且魯棒性好的優(yōu)點。

在PMD中運用PSO算法，需要初始化粒子的參數和種群數，并對種群中所有粒子的適應值函數進行評價，以獲得最好的適應值。

在種群中，每個粒子都根據以下公式對速度和位置進行更新迭代：

式中：i為迭代次數；ω為慣性權重，慣性權重越大，收斂速度越快；c1和c2為學習因子，是正常數，用來調節(jié)全局最優(yōu)粒子和種群中個體最優(yōu)粒子飛行方向的步長，通常取c1＝c2＝2；r1和r2為［0，1］之間的隨機數。

2．2 可重生粒子群算法

對于雙層PMD問題，由于運算過程中涉及的數據多、過程復雜、規(guī)模較大，容易陷入局部最優(yōu)。為了提高粒子的全局搜索能力，使其不會被局部最優(yōu)解限制，本文運用重生粒子對算法進行改進，如圖3所示。本文借鑒文獻［15］提出了粒子的重生思想，構建嵌套的PSO算法來對問題求解，并且在外層算法中運用可重生PSO算法來提高粒子的全局搜索能力。改進的可重生PSO算法如下。

步驟1 初始化種群大小和參數，設定種群數量為300，設置參數c1＝c2＝2，ω＝0．5。

步驟2 設定一個閾值ε。

步驟3 根據適應值函數計算粒子的適應值，求出每個粒子的歷史最優(yōu)值pbest、歷史最優(yōu)值的平均值以及種群在本次搜索中的最優(yōu)值gbest。

步驟4 將本次搜索中比歷史最優(yōu)平均值小的粒子值視為適應值較小值粒子若本次搜索中的最優(yōu)值gbest與適應值較小者之間的距離小于閾值ε，則適應值較小者無需重新生成，否則重新生成適應值較小者。

步驟5 根據粒子的適應度函數更新速度Vi和位置Xi。

步驟6 判斷是否滿足終止條件，若滿足，則停止迭代，輸出最優(yōu)解；否則，轉步驟3。

標準PSO算法經常會遭遇因過早收斂而受困于局部最優(yōu)解的問題，可重生PSO算法在兼顧粒子局部搜索能力的基礎上，在每一迭代中對偏離最優(yōu)位置的粒子進行篩選和重新生成，提高粒子的全局搜索能力，使其能更好地趨近全局最優(yōu)解，提高解的質量。本文采用雙層組合算法，其外層解的適應值具有一定的波動性，當問題規(guī)模不斷擴大時，運用基本PSO算法很容易陷入局部最優(yōu)，因此本文運用可重生機制使其跳出局部最優(yōu)來提高全局搜索能力。

2．2．1 粒子的表達方式

本文算法包括外層和內層兩部分。外層算法主要針對中間品選擇機器進行加工，內層算法主要針對產品的組合過程。其中，外層算法將各中間品的批次作為算法的適應值，內層算法在外層算法的基礎上選擇中間品進行組合，產生產品的組合量。

將PMD問題的可行解設想為粒子的n維搜索空間，其中n在內層算法中表示該問題中產品的數量，在外層算法中表示中間品的加工批次，粒子在某時刻所處的位置xi＝（xi1，xi2，…，xin）表示問題的一個可行解，其中xij（i＝1，2，…，m，j＝1，2，…，n）代表內層算法中相應各產品的生產數量，在外層算法中代表各中間品的加工批次，m表示種群規(guī)模大小。粒子通過不斷地更新迭代，獲取種群的gbest，即問題的目標函數適應值，逐漸到達最佳適應值的位置，即產品的最佳組合方案。

2．2．2 編碼方式

本文采用基于產品的組合和中間品加工批次順序作為內外層粒子的編碼方式，直接將產品組合和中間品的加工作為粒子的位置編碼。粒子中的每一個元素對應相應的產品／中間品的產品數量／加工批次，根據產品數量／中間品的加工批次在粒子中出現的順序，確定產品組合和中間品加工方案。由于PMD問題具有離散性和多變量性，把粒子的位置值靠小取整作為中間品生產批次／產品的生產數量，每一個粒子代表一種組合方案。如圖4所示，對于中間品來說，每一個粒子的位置代表相應順序的中間品的批次，如第一位置代表著中間品1的生產批次。PSO算法是連續(xù)的，其位置值也是連續(xù)的，而在實際生產過程中所生產的數量或者批次都是整數，因此在使用位置時要對批次進行靠小取整，實現粒子的整數約束（約束條件5），取整公式為Xi＝［Xi］。如圖4所示，第一個粒子的位置8．06代表生產8個批次（Lot）的第一種中間品，…，依此類推。

2．2．3 粒子的初始生成

初始種群的生成質量對算法的后續(xù)求解及優(yōu)化有重要影響，若完全隨機地生成初始解，則有可能會給后續(xù)算法求解過程中產生大量不可行解，降低算法求解的優(yōu)越性。在外層算法中，中間品批次的數量不容易界定，然而一般中間品的生產批次最大在20 Lot左右，因此外層粒子初始值的生成范圍為［0，20］；在內層算法中，產品數量的需求由訂單約束，產品的數量組合范圍已確定，內層粒子的初始生成范圍為［0，Dk］（Dk為產品k的訂單需求），如果粒子的生成超出其范圍，則對粒子進行重新生成，直到滿足初始生成的約束條件。由此確定內外層粒子的初始解生成方式，使粒子滿足模型中的約束條件（4），即0≤Sk≤Dk，k＝1，2，…，p。

2．2．4 不可行解的處理

對于算法過程中產生的不可行解的處理，本文采用懲罰函數進行約束。

（1）中間品對機器加工能力的約束（約束條件2） 在外層算法中，對于任何粒子，當在任一機器上的中間品加工時間超過其負荷時間時，該解定義為不可行解。對外層算法設置懲罰函數值

式中：tij表示第i種中間品在第j個機器上的單位加工時間，Xij表示第i種中間品在第j臺機器上的加工批次，Cj為機器j的負荷時間。在每一次迭代中，通過機器j上的加工時間判定中間品是否超過機器j的負荷能力，若超出，則取值為超出時間，此時懲罰值為正；否則，取值為0。對所有機器的加工能力負荷情況進行判斷，并對各機器的懲罰值求和，返回作為本次迭代中該粒子外層算法的懲罰值。

（2）產品對中間品需求的約束（約束條件3）在內層算法中，對于任何粒子，當產品對任一中間品的需求超過其實際生產數量時，該粒子的解定義為不可行解。設置粒子的懲罰值

式中：Sk表示第k種產品的決策變量，Lik表示組裝成產品i所需要的第k種中間品的數量，Qi為中間品i的實際生產數量。在每次迭代中，對產品消耗中間品的數量進行判定。若產品對中間品的需求量超出中間品的生產數量，則此中間品懲罰值為超出數量；若中間品數量能滿足產品需求，則粒子懲罰值為0。對所有中間品，判斷其使用情況是否超出其生產量，并將所有中間品的懲罰值求和，返回作為本次迭代中該粒子內層算法的懲罰值。

只有當內外層粒子的懲罰值都為0時，粒子才被認定為有效粒子，其所代表的解為有效解。

2．2．5 適應值計算

在計算適應值的過程中，需要同時考慮目標函數和懲罰函數值，因此將適應值函數設置為fitness（x）＝f（x）－gs（x）。其中：f（x）為目標函數值，s（x）為懲罰函數值，g為懲罰因子，由實驗得出。當粒子的懲罰值s（x）＝0時，粒子的適應值函數即為目標函數f（x）；當s（x）＞0時，粒子的適應值為本次迭代的目標函數值f（x）－gs（x），通過調整粒子的適應值對粒子進行約束，改變粒子的當前搜素方向，使其偏離不可行解，朝其他方向飛行。

2．2．6 終止準則

終止準則為迭代100次后停止運算。

3 實驗結果分析

在Windows XP平臺上運用Visual C＃進行編程，利用文中提出的嵌套算法對PMD問題進行求解。本文將通過兩種規(guī)模的問題對模型進行評價和分析。

對于10×3×5的小規(guī)模問題，設定閾值ε＝1 000。運用線性規(guī)劃中的Lingo軟件對其進行求解，得出最優(yōu)解為6 654，其產品的組合為（396，339，510，222，0）。將可重生算法進行編程后運行5次，對結果的分析如表1所示。5次結果分別為（6 467，6 654，6 650，6 350，6 648），平均值為6 553．8，運行平均時間為98s。對表1的結果與最優(yōu)解進行分析比較可知，本文所提算法能有效獲得可行解，表明在小規(guī)模問題上，本文所提算法能夠很好地得到全局最優(yōu)，并且次優(yōu)解的質量也相當高。

表1 可重生PSO與線性規(guī)劃求解結果對比

20×6×10的大規(guī)模問題，即20種原材料在6臺機器上進行加工，最終決策產品為10種的組合問題，根據程序的多次運行后，設定閾值ε＝3 000；內層懲罰因子g1＝15，外層懲罰因子g2＝1 500。隨機運行10次，最優(yōu)解為16 928。

在智能算法的運用中，用基本PSO算法和遺傳算法與可重生PSO算法進行對比，所有智能算法解的產生機制相同并各自運行10次，其中遺傳算法的參數如下：種群為100，交叉率為0．8，變異率為0．2。三種智能算法的求解情況如表2所示。從表2可以看出：在解的質量上，無論是最優(yōu)解還是平均解，PSO算法得出的解要比遺傳算法的質量高，其中又以可重生PSO算法的結果最優(yōu)。在同樣的迭代次數內，遺傳算法因為變異和交叉需要消耗大量時間，而且解的穩(wěn)定性不容易控制，所以尋優(yōu)過程花費的時間明顯大于PSO算法。在PSO算法中，由于可重生PSO算法增加了優(yōu)化篩選的重生機制，在解的獲取上能跳出局部循環(huán)，相對于基本PSO算法能給出更高質量的解。

表2 算法求解對比

智能算法的尋優(yōu)收斂過程如圖5所示。從圖5可以看出，在同樣的迭代數下，PSO算法的收斂比遺傳算法迅速，而且解的質量穩(wěn)定，與基本PSO算法相比，在解已經基本穩(wěn)定的情況下，即在迭代70代、穩(wěn)定38代后，可重生PSO算法還能不斷更新，跳出原有循環(huán)，獲得更優(yōu)的解。

運用可重生PSO算法得出的產品最優(yōu)生產組合如圖6所示，產品的組合形式為（381，359，421，507，573，318，334，320，208，188）。機器的負荷情況為（8，8，6，77，8，7．33，6．88），其中一半機器達到了其滿載負荷，總體上達到了生產能力的93．7%，具體負荷情況如圖7所示。中間品使用情況如圖8所示，其中40%的中間品使用量差不多達到了100%，產品需求最多的中間品S1，S20，S15的利用率達到了99．96%以上，中間品的總利用率達到了73．4%，其中大部分中間品剩余是由批量加工引起的。

4 結束語

本文在實際生產的基礎上，提出兩層PMD并建立模型。在小型問題上，通過與最優(yōu)結果的對比證明了可重生PSO算法的可行性，在中大型問題求解上，運用線性規(guī)劃求解失敗。在運用智能算法對問題進行求解的過程中，將可重生PSO算法與遺傳算法以及未改進的PSO算法解的結果進行對比，結果表明可重生PSO算法能更好地解決實際生產問題，并給出了可行解。

在后續(xù)研究中，將進一步考慮企業(yè)的發(fā)展要求，將企業(yè)提交訂單的滿足度放入模型中，構建多目標的雙層產品組合決策模型。同時，分析系統生成中所能遇到的其他約束，建立更加完善的適應復雜生產系統的應用模型。

［1］COMAN A，RONEN B．Production outsourcing：a linear programming model for the theory－of－constraints ［J］．International Journal of Production Research，2000，38 （7）：1631－1639．

［2］KARAKAS E，KOYUNCU M，EROL R，et al．Fuzzy programming for optimal product mix decisions based on expanded ABC approach ［J］．International Journal of Production Research，2010，48（3）：729－744．

［3］LINHARES A．Theory of constraints and the combinatorial complexity of the product－mix decision ［J］．International Journal of Production Economics，2009，121（1）：121－129．

［4］WANG Junqiang，SUN Shudong．Multiform hybrid decision for TOC product mix optimization with extending capacity of outsourcing based on immune algorithm［J］．Acta Aeronautica ET Astronautica Sinica，2007，28（5）：1216－1229（in Chinese）．［王軍強，孫樹棟．考慮外包混合形式的TOC產品組合優(yōu)化研究［J］．航空學報，2007，28（5）：1216－1229．］

［5］ONWUBOLU G C，MUTINGI M．A genetic algorithm approach to the theory of constraints product mix problems［J］．Production Planning ＆ Control，2001，12（1）：21－27．

［6］CHAHARSOOGHI S K，JAFARI N．A simulated annealing approach for product mix decisions ［J］．Scientia Iranica，2007，14（3）：230－235．

［7］MISHRA N，PRAKASH，TIWARI M K，et al．Hybrid tabusimulated annealing based approach to solve multi－constraint product mix decision problem［J］．Expert Systems with Applications，2005，29（2）：446－454．

［8］YANG Ting，ZHANG Dinghua，CHEN Bing，et al．Game decision for product mix under output demand uncertainty［J］．Computer Integrated Manufacturing Systems，2011，17（5）：1040－1049（in Chinese）．［楊 挺，張定華，陳 冰，等．產量需求不確定下產品組合的博弈決策［J］．計算機集成制造系統，2011，17（5）：1040－1049．］

［9］ZHANG Renqian，XIAO Yiyong．A research on Agent－based heuristic production planning of product Mix considering buildto－order［J］．Systems Engineering——Theory ＆ Practice，2007，27（10）：54－62（in Chinese）．［張人千，肖依永．面向訂單基于Agent的啟發(fā)式產品組合生產計劃研究［J］．系統工程理論與實踐，2007，27（10）：54－62．］

［10］HASUIKE T，ISHII H．Product mix problems considering several probabilistic conditions and flexibility of constraints［J］．Computers ＆ Industrial Engineering，2009，56（3）：918－936．

［11］ONWUBOLU G C．Tabu search－based algorithm for the TOC product mix decision［J］．International Journal of Production Research，2001，39（10）：2065－2076．

［12］ONWUBOLU G C，MUTINGI M．Optimizing the multiple constrained resources product mix problem using genetic algorithms［J］．International Journal of Production Research，2001，39（3）：1897－1910．

［13］YE Taofeng，HAN Wenmin．A method for determining product Mix based on bottleneck［J］．Industrial Engineering and Management，2004，9（2）：75－77（in Chinese）．［葉濤鋒，韓文民．基于瓶頸的產品組合決策方法［J］．工業(yè)工程與管理，2004，9（2）：75－77．］

［14］KENNEDY J，EBERHART R C．Particle swarm optimization［C］／／Proceedings of the IEEE International Conference on Neural Networks．Washington，D．C．，USA：IEEE，1995：1942－1948．

［15］ZHANG Jie，FENG Junhong．Dynamic particle swarm optimization based on dynamic distance threshold and regeneration mechanism［J］．Application Research of Computers，2009，26（12）：4526－4529（in Chinese）．［張 捷，封俊紅．基于動態(tài)距離閾值和重生機制的動態(tài)微粒群優(yōu)化［J］．計算機應用研究，2009，26（12）：4526－4529．］