基于圖論的股權(quán)多屬性拍賣雙邊匹配及仿真

鄭君君，張 平，胡曉詩，蔣偉良

(武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，湖北 武漢 430072)

股權(quán)拍賣作為一種有效的價(jià)格揭示機(jī)制和資源配置方式，是風(fēng)險(xiǎn)投資退出的方式之一。在風(fēng)險(xiǎn)投資退出市場中，參與股權(quán)拍賣的風(fēng)險(xiǎn)投資家和外部投資者都有多個(gè)，是一個(gè)典型的雙邊市場，在其中發(fā)生的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)可以視為買方群體和賣方群體之間的匹配問題。與杰出的投資者、投資機(jī)構(gòu)建立合作伙伴關(guān)系是所有現(xiàn)實(shí)市場參與主體的追求，筆者對參與主體的評價(jià)高低用優(yōu)先序來衡量，風(fēng)險(xiǎn)投資家更愿意和擁有較高優(yōu)先序的外部投資者建立匹配關(guān)系，優(yōu)先序則是“富者越富”這一銀行家悖論的體現(xiàn)。鑒于此，筆者認(rèn)為有必要結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)投資退出市場的現(xiàn)實(shí)狀況，對市場中股權(quán)拍賣參與主體進(jìn)行雙邊匹配的研究。

1 文獻(xiàn)綜述

在風(fēng)險(xiǎn)投資退出市場中往往存在多個(gè)買方和多個(gè)賣方，因而是一個(gè)雙邊市場[1]。BERTONI等進(jìn)行了風(fēng)險(xiǎn)資本和風(fēng)險(xiǎn)企業(yè)的雙邊匹配研究，認(rèn)為搜尋成本和風(fēng)險(xiǎn)投資市場的發(fā)展程度是重要影響因素[2]。風(fēng)險(xiǎn)投資退出市場中主要的參與主體構(gòu)成了一個(gè)典型的小世界網(wǎng)絡(luò)，而WASSERMAN等將圖論視為網(wǎng)絡(luò)研究的重要方法，可以用來描述網(wǎng)絡(luò)主體之間的信息流動(dòng)和交互[3]。黨興華等通過修正GS模型建立了一個(gè)一對多網(wǎng)絡(luò)匹配模型，刻畫了技術(shù)創(chuàng)新網(wǎng)絡(luò)的形成和演化過程[4]。

股權(quán)拍賣雙邊市場上外部投資者和風(fēng)險(xiǎn)投資家處于匹配關(guān)系的動(dòng)態(tài)演化過程中，直接體現(xiàn)為交易關(guān)系的建立和湮滅，SORENSEN分析指出風(fēng)險(xiǎn)投資雙邊選擇市場存在顯著的影響力效應(yīng)和市場分類效應(yīng)，經(jīng)驗(yàn)豐富的風(fēng)險(xiǎn)投資家和具有高收益潛力的風(fēng)險(xiǎn)企業(yè)往往更受歡迎，市場參與主體的擇優(yōu)行為成為風(fēng)險(xiǎn)投資市場中雙邊匹配的重要特點(diǎn)[5]。曹國華等運(yùn)用GALE和SHAPLEY首創(chuàng)的學(xué)院錄取模型[6]，建立了風(fēng)險(xiǎn)投資家和風(fēng)險(xiǎn)企業(yè)家的雙邊匹配模型，得到了博弈模型中唯一的穩(wěn)定均衡解[7];陳希從決策分析和公理設(shè)計(jì)的視角建立了雙邊匹配的評價(jià)指標(biāo)體系，構(gòu)建了風(fēng)險(xiǎn)投資家和風(fēng)險(xiǎn)企業(yè)的多目標(biāo)匹配模型[8]。

綜上所述，國內(nèi)外學(xué)者側(cè)重于討論雙邊匹配的約束條件以及匹配效果等問題，然而股權(quán)拍賣存在多屬性特點(diǎn)，有別于傳統(tǒng)拍賣，風(fēng)險(xiǎn)投資退出股權(quán)拍賣的雙邊匹配也和一般雙邊匹配有所不同。鑒于此，筆者首先運(yùn)用雙邊匹配的相關(guān)原理結(jié)合圖論分析，設(shè)計(jì)風(fēng)險(xiǎn)投資退出市場中單屬性的股權(quán)拍賣雙邊匹配機(jī)制，然后將其拓展為包含搜尋能力、匹配差異閾值的股權(quán)多屬性雙邊匹配機(jī)制，通過Netlogo仿真進(jìn)行匹配分析以證明所設(shè)計(jì)機(jī)制的適用性。

2 基于圖論的股權(quán)拍賣單屬性匹配機(jī)制

2.1 股權(quán)拍賣雙邊匹配機(jī)制

當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)投資家采用股權(quán)拍賣減持其欲出售的股權(quán)時(shí)，由于風(fēng)險(xiǎn)投資市場同時(shí)存在著多個(gè)賣方和多個(gè)買方，故需要考慮市場中的雙邊匹配問題。假設(shè)市場可以根據(jù)外部投資者以往的業(yè)績和聲譽(yù)等因素對其形成或高或低的評價(jià)，評價(jià)的高低代表了其在市場中所得到的優(yōu)先序，同時(shí)考慮市場中外部投資者和風(fēng)險(xiǎn)企業(yè)家的不同偏好，進(jìn)行如下假設(shè):

假設(shè)1風(fēng)險(xiǎn)投資退出市場中有m個(gè)賣方和n個(gè)買方，目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)合理的一對一匹配。

假設(shè)2每個(gè)買方均有完全的、可傳遞的、嚴(yán)格的偏好，表明若策略a優(yōu)于b，同時(shí)b優(yōu)于c，那么策略 a 優(yōu)于 c，即 a?b，b?c?a?c。

假設(shè)3若存在參與主體 m1、m2和 w1、w2，其中(m1，w1)和(m2，w2)是已有的匹配，但 m1更愿意與w2合作，同時(shí)m2更愿意與w1合作，則稱已有的匹配是不穩(wěn)定的雙邊匹配。

假設(shè)4在風(fēng)險(xiǎn)投資退出市場的匹配過程中，外部投資者是建立股權(quán)交易關(guān)系的發(fā)起者，首先向風(fēng)險(xiǎn)投資家發(fā)出要約，風(fēng)險(xiǎn)投資家可以選擇接受或者拒絕。

假設(shè)5對于優(yōu)秀的外部投資者，所有風(fēng)險(xiǎn)投資家都認(rèn)為其優(yōu)秀，則風(fēng)險(xiǎn)投資家對每一個(gè)外部投資者的優(yōu)先序是一致的。

根據(jù)以上分析及假設(shè)條件，設(shè)計(jì)股權(quán)拍賣雙邊匹配程序:每個(gè)買方向其購買意向最高的股權(quán)賣方發(fā)出要約，隨后每個(gè)賣方認(rèn)可其中具有最高優(yōu)先序的買方，同時(shí)拒絕其他買方;依此類推，每個(gè)在前一步被拒絕的買方，繼續(xù)向未匹配成功的賣方發(fā)出要約;每個(gè)賣方在眾多向其發(fā)出要約的買方當(dāng)中選擇最高優(yōu)先序的買方，同時(shí)拒絕其他買方。

2.2 股權(quán)拍賣匹配機(jī)制的圖論描述

為了研究方便，假設(shè)對m=7個(gè)賣方和n=5個(gè)買方進(jìn)行拍賣匹配研究，其中外部投資者的優(yōu)先序從 n1到 n5逐漸降低，m1、m2、m3分別與 n1、n2、n3有達(dá)成股權(quán)交易關(guān)系的意向。上述5個(gè)外部投資者對7個(gè)風(fēng)險(xiǎn)投資家的匹配偏好表示如下:

現(xiàn)借鑒ABDULKADIROGLU和SONMEZ設(shè)計(jì)的頂端調(diào)換循環(huán)機(jī)制[9]，可以得到如圖1所示的匹配偏好第1步循環(huán)圖，其中每個(gè)外部投資者用一個(gè)箭頭指向其最有匹配意向的風(fēng)險(xiǎn)投資家，如n1指向m3;每個(gè)目前已經(jīng)有匹配意向的風(fēng)險(xiǎn)投資家指向?qū)?yīng)的外部投資者，如m1指向n1;對于目前沒有達(dá)成匹配關(guān)系的風(fēng)險(xiǎn)投資家全部指向優(yōu)先序最高的外部投資者，表明均想與最好的外部投資者匹配，如m7指向n1。從圖1中可以看出，n1→m3→n3→m5→n1形成了圖中唯一的循環(huán)，那么在n1與m5匹配同時(shí)，n3與m3匹配是此循環(huán)階段最優(yōu)的結(jié)果。

重復(fù)上述的步驟，繼續(xù)進(jìn)行第2步、第3步和第4步的循環(huán)，如圖2～圖4所示。通過實(shí)行拍賣匹配機(jī)制，風(fēng)險(xiǎn)投資家與外部投資者之間的匹配關(guān)系發(fā)生了顯著的變化，如表1和表2所示。

上述股權(quán)拍賣雙邊匹配機(jī)制不僅實(shí)現(xiàn)了風(fēng)險(xiǎn)投資家與外部投資者之間的穩(wěn)定匹配，而且滿足帕累托有效、激勵(lì)相容以及對風(fēng)險(xiǎn)投資家的適當(dāng)保護(hù)這3個(gè)目標(biāo)，其中:

圖1 匹配偏好第1步循環(huán)圖

圖2 匹配偏好第2步循環(huán)圖

圖3 匹配偏好第3步循環(huán)圖

圖4 匹配偏好第4步循環(huán)圖

表1 初始匹配關(guān)系

表2 最優(yōu)匹配關(guān)系

(1)帕累托有效。在每步循環(huán)中外部投資者和其最希望交易的風(fēng)險(xiǎn)投資家建立匹配關(guān)系，不存在使外部投資者效益更高的匹配方式。不但體現(xiàn)了市場的雙向選擇機(jī)制，還使得風(fēng)險(xiǎn)投資家可以達(dá)成最有利于自身利益的匹配方式。

(2)激勵(lì)相容。該機(jī)制使得市場運(yùn)行能夠消除信息不對稱的影響，外部投資者的競買報(bào)價(jià)高于其真實(shí)估值是個(gè)體非理性的行為，最終面臨贏者詛咒問題;若競買報(bào)價(jià)低于其真實(shí)估值，風(fēng)險(xiǎn)投資家在市場規(guī)律作用下將會(huì)選擇擁有更高競買報(bào)價(jià)的其他外部投資者。則在該機(jī)制中，外部投資者如實(shí)報(bào)告自身的真實(shí)估值將能夠建立對其最優(yōu)的交易匹配關(guān)系。

(3)對風(fēng)險(xiǎn)投資家的保護(hù)。保證任何新的匹配方式都不會(huì)使風(fēng)險(xiǎn)投資家的效用降低，即通過重新匹配的利益不低于已有匹配意向的所得利益，可以對風(fēng)險(xiǎn)投資家形成一定程度的保護(hù)。每一位風(fēng)險(xiǎn)投資家重新獲得的匹配關(guān)系不會(huì)劣于最初的匹配關(guān)系，如m3的匹配對象從n3變化為n1(見表1和表2)。

3 多屬性拍賣雙邊匹配

多屬性特點(diǎn)是股權(quán)不同于其他商品的重要特點(diǎn)之一，股權(quán)的價(jià)值體現(xiàn)在兩個(gè)方面:股權(quán)的即時(shí)估價(jià)和未來增值估價(jià)。風(fēng)險(xiǎn)投資者往往會(huì)對股權(quán)的價(jià)格屬性和質(zhì)量屬性加以考察，因而股權(quán)多屬性拍賣雙邊匹配應(yīng)該充分考慮外部投資者和風(fēng)險(xiǎn)投資家在價(jià)格屬性和質(zhì)量屬性兩個(gè)維度上估值的差異。筆者運(yùn)用上述頂端循環(huán)機(jī)制的原理進(jìn)行股權(quán)多屬性拍賣雙邊匹配研究，為了更加貼近風(fēng)險(xiǎn)投資退出市場和市場參與主體的現(xiàn)實(shí)狀況，增加如下假設(shè)條件:

假設(shè)6股權(quán)競買考慮價(jià)格屬性p和質(zhì)量屬性q兩個(gè)維度，報(bào)價(jià)均服從[0，10]上的隨機(jī)分布。

假設(shè)7在參與主體之間的匹配過程中存在競買信息的流動(dòng)，將其匹配策略隨著每一次信息流動(dòng)引起的變化視為一個(gè)輪次，記第t輪外部投資者i的搜索范圍為si(t)，當(dāng)外部投資者在較小范圍的網(wǎng)絡(luò)中未達(dá)成匹配聯(lián)系時(shí)將擴(kuò)大搜索范圍，即 si(t+1)=si(t)+ki。

假設(shè)8外部投資者和風(fēng)險(xiǎn)投資家對股權(quán)的估值存在差異，當(dāng)兩者對價(jià)格屬性和質(zhì)量屬性的估值差異之和在一定的閾值ε范圍內(nèi)時(shí)有意向達(dá)成匹配聯(lián)系。

假設(shè)9未達(dá)成匹配的參與主體逐漸增加差異閾值 ε，且 ε(t+1)=ε(t)+α，α∈[0，0.2]。

可以得到具體的股權(quán)多屬性拍賣雙邊匹配機(jī)制，即每個(gè)買方在其搜索范圍內(nèi)，向其購買意向最高的股權(quán)賣方發(fā)出要約;隨后買賣雙方就股權(quán)兩個(gè)屬性的估值進(jìn)行信息溝通，賣方在閾值范圍內(nèi)的買方集合中認(rèn)可最高優(yōu)先序的買方。依此類推，每個(gè)在前一步被拒絕的買方在其搜索范圍內(nèi)，繼續(xù)向未匹配成功的賣方發(fā)出要約;每個(gè)賣方在眾多向其發(fā)出要約而未曾被拒絕的買方當(dāng)中，選擇優(yōu)先序最高的買方，同時(shí)拒絕其他買方。

若i和j達(dá)成匹配關(guān)系即Lij=1，則需滿足如下的約束條件:

其中，式(1)表示在第t輪匹配中，外部投資者i在其搜索范圍內(nèi)向其最有合作意向的風(fēng)險(xiǎn)投資家j發(fā)出要約，若i為j所收到要約中優(yōu)先序最高的外部投資者，且其質(zhì)量屬性競價(jià)與價(jià)格屬性競價(jià)之和的差異在閾值ε(t)內(nèi)，則i與j建立匹配聯(lián)系;式(2)和式(3)分別為閾值和搜索范圍的條件。

當(dāng) n=50，ε(1)=0，α =0.1，si(1)=0，ki=1時(shí)可以得到如下的仿真結(jié)果，其中人形agents和圓形agents分別代表未達(dá)成匹配關(guān)系和已達(dá)成匹配關(guān)系的市場主體，匹配關(guān)系用直線連接，對仿真結(jié)果進(jìn)行分析，可以得到:

(1)在前3輪匹配中達(dá)成匹配關(guān)系的agents較少(如圖5所示)，由于差異閾值非常小，agents在較小的搜索范圍內(nèi)難以接觸到滿足式(1)的參與主體;隨著差異閾值和搜索范圍的逐漸增大，匹配關(guān)系的建立越來越快，從第3輪開始參與主體之間開始迅速建立匹配關(guān)系，如圖6所示。

(2)達(dá)成匹配關(guān)系的參與主體之間的競價(jià)差異可以分為質(zhì)量屬性差異和價(jià)格屬性差異，對于達(dá)成匹配關(guān)系的 i和 j，即 Lij=1時(shí)，可以得到其中dpij和dqij分別為參與主體i和j對所拍賣股權(quán)的價(jià)格屬性競價(jià)差異和質(zhì)量屬性競價(jià)差異。由此可以得到如圖7所示的匹配關(guān)系配對差異示意圖，市場參與主體能夠和與其差異較小的主體建立匹配關(guān)系，同時(shí)保證新建成的匹配策略優(yōu)于舊匹配策略，前述的股權(quán)多屬性拍賣匹配機(jī)制整合了股權(quán)的質(zhì)量屬性和價(jià)格屬性兩個(gè)維度的競價(jià)，實(shí)現(xiàn)了更有效率的市場匹配。

圖5 匹配關(guān)系動(dòng)態(tài)演進(jìn)

圖6 匹配數(shù)目累計(jì)

圖7 雙邊匹配整體效果

4 算例

為了更加直觀地闡述風(fēng)險(xiǎn)投資退出市場中風(fēng)險(xiǎn)投資家和外部投資者的多屬性雙邊匹配問題，筆者以匹配差異閾值為約束條件來考慮風(fēng)險(xiǎn)投資退出的多屬性雙邊匹配。在某特定類型的風(fēng)險(xiǎn)投資退出市場中，風(fēng)險(xiǎn)投資家A1，A2，…，A5欲出售股權(quán)，存在外部投資者B1，B2，B3參與競買，市場對外部投資者的優(yōu)先序評價(jià)為B1?B2?B3，其匹配偏好 B1:A2?A1?A5?A4?A3;B2:A3?A2?A4?A1?A5;B3:A3?A5?A2?A4?A1。所有外部投資者和風(fēng)險(xiǎn)投資家對于股權(quán)均有價(jià)格屬性和質(zhì)量屬性兩個(gè)維度的估值，其具體估值如表3所示，其中A1和B1已經(jīng)達(dá)成初始匹配意向，當(dāng)允許的匹配差異閾值ε=1且α=0.1時(shí)，可以得到如表4所示的雙邊匹配結(jié)果并且最終達(dá)成了穩(wěn)定的股權(quán)多屬性雙邊匹配關(guān)系，其中，在第3輪匹配中A1和A5的競買估值差異超出了差異閾值，不能達(dá)成匹配關(guān)系，B3在風(fēng)險(xiǎn)投資家群體之中選擇差異較小的A4達(dá)成匹配關(guān)系。

表3 股權(quán)多屬性估值

表4 最終匹配關(guān)系

5 結(jié)論

筆者考慮了風(fēng)險(xiǎn)投資退出雙邊市場中外部投資者群體和風(fēng)險(xiǎn)投資家群體之間的匹配問題，圖論分析結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的股權(quán)拍賣雙邊匹配機(jī)制具有滿足激勵(lì)相容、帕累托有效以及保護(hù)風(fēng)險(xiǎn)投資家的優(yōu)點(diǎn)。同時(shí)，考慮到風(fēng)險(xiǎn)投資退出股權(quán)具有多屬性的特點(diǎn)，將其拓展為股權(quán)多屬性拍賣雙邊匹配機(jī)制，并運(yùn)用Netlogo仿真模擬了市場主體考慮股權(quán)多屬性性質(zhì)時(shí)的雙邊匹配演進(jìn)過程以及市場匹配穩(wěn)定時(shí)的匹配效果，證明所設(shè)計(jì)的股權(quán)多屬性拍賣雙邊匹配機(jī)制具有較好的收斂效果，可以實(shí)現(xiàn)市場整體的高效匹配。

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