數(shù)學(xué)建模中解題策略的教學(xué)探究

郭 嘯

（長沙師范學(xué)院初等教育系，湖南長沙410100）

數(shù)學(xué)建模中解題策略的教學(xué)探究

郭 嘯

（長沙師范學(xué)院初等教育系，湖南長沙410100）

數(shù)學(xué)問題的解題策略能在數(shù)學(xué)建模過程中為選擇建模方法和制定建模步驟提供重要指導(dǎo).本文總結(jié)了數(shù)學(xué)建模中基本的解題策略，探討了數(shù)學(xué)建模解題策略的教學(xué)原則.結(jié)合具體案例在數(shù)學(xué)建模中開展實(shí)施解題策略教學(xué)的探索與實(shí)踐，為數(shù)學(xué)建模中解題策略的教與學(xué)提供了有價值的參考.

數(shù)學(xué)建模；解題策略；案例教學(xué)

1 前言

隨著高等教育教學(xué)的改革，大學(xué)生問題解決能力的培養(yǎng)已成為數(shù)學(xué)建模課程和實(shí)踐活動的核心目標(biāo).教育心理學(xué)的研究(邵瑞珍，1990)表明,傳授學(xué)生有效的解題策略，加強(qiáng)對學(xué)生解題策略的訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力的最有效做法.我國數(shù)學(xué)教育界對解題策略課題的研究起步較晚,與數(shù)學(xué)建模結(jié)合的系統(tǒng)理論尚未形成.本文總結(jié)數(shù)學(xué)建模問題中的基本解題策略，結(jié)合案例探討如何在數(shù)學(xué)建模中開展解題策略的教學(xué)和訓(xùn)練.

2 解題策略的內(nèi)涵與意義

數(shù)學(xué)問題解題策略是指在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，借以思考假設(shè)、選擇和采取解決方法與步驟的方針與規(guī)則[1],它是對解題途徑的概括性認(rèn)識[2].數(shù)學(xué)建模是使用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際應(yīng)用問題，數(shù)學(xué)建模過程是積極進(jìn)行思維加工的活動過程，自然會受到數(shù)學(xué)解題策略思維的影響.數(shù)學(xué)問題解題策略能為建模策略的確定、選取解決方法和制定解決步驟提供重要指導(dǎo).關(guān)于數(shù)學(xué)建模認(rèn)知機(jī)制的研究表明[3]，掌握一般性的解題策略有助于數(shù)學(xué)建模過程的順利進(jìn)行，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中融入一般性解題策略知識能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

本文在已有的研究基礎(chǔ)上[4][5]，結(jié)合數(shù)學(xué)建模競賽中的問題分析，將數(shù)學(xué)建模中常用的基本解題策略歸納如下.

2.1 模式識別

在長期解決數(shù)學(xué)問題的過程中，主體對所積累的知識經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行加工，根據(jù)問題的目標(biāo)和規(guī)律逐漸總結(jié)出典型結(jié)構(gòu)與重要類型——[6]模式.當(dāng)遇到新問題時，首先要辨別題目的類型屬于哪種模式，以便與已有的知識經(jīng)驗(yàn)發(fā)生聯(lián)系，這就是模式識別的解題策略.

2.2 化歸變換

當(dāng)問題難以直接解決時，根據(jù)問題的性質(zhì)、關(guān)系等特點(diǎn)，通過轉(zhuǎn)化過程將其歸結(jié)為另一個比較容易解決的或已經(jīng)解決過的等價問題.它所使用的方法主要就是將數(shù)學(xué)問題表述形式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)換的原則就是：簡單化、熟悉化、直觀化.除了問題表述的等價轉(zhuǎn)化，將問題分為幾個小問題也屬于化歸變換.

2.3 有效增設(shè)

在不改變問題目標(biāo)和性質(zhì)的前提下，增加條件使問題的解決更容易，這就是有效增設(shè).構(gòu)造輔助元素方法、對偶法、設(shè)置作為子目標(biāo)的一個或多個中間結(jié)論的方法、挖掘隱含條件優(yōu)化假設(shè)等均是這一策略的具體體現(xiàn).

2.4 整體策略

從問題的整體結(jié)構(gòu)出發(fā)進(jìn)行觀察、分析、處理,從全局上把握條件與結(jié)論及其間聯(lián)系,把握解題各部分、各環(huán)節(jié)間的聯(lián)系,應(yīng)擺脫陷于局部細(xì)節(jié)中一時難以弄清的復(fù)雜計(jì)算與繁瑣討論,避免各解題環(huán)節(jié)的脫節(jié)與孤立.通常所要求的在解題中進(jìn)行多向立體思維、思路探索中的及時反饋-評價-調(diào)控及解題后的全面反思等方法都是這一策略的具體體現(xiàn).

3 數(shù)學(xué)建模中解題策略的教學(xué)研究

3.1 教學(xué)原則

3.1.1 重視解題策略的知識性教學(xué)，開展樣例教學(xué)

根據(jù)對數(shù)學(xué)建模認(rèn)知的研究表明[3]，專家和新手在解決問題時所使用的策略方面存在著差異，相當(dāng)部分學(xué)生希望老師教給他們一般的思維策略與方法.因此，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)將解決數(shù)學(xué)問題的一般思維策略提煉出來，較為系統(tǒng)化地講授給學(xué)生.但解題策略比較寬泛，在與數(shù)學(xué)建模的結(jié)合上也較為薄弱.樣例教學(xué)是向?qū)W生書面呈現(xiàn)一批解答好的例題，學(xué)習(xí)、研究別人已建立的現(xiàn)成數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)建模的思想方法.在這些豐富的數(shù)學(xué)建模問題中蘊(yùn)含著大量具體的數(shù)學(xué)建模策略性知識，樣例教學(xué)是讓學(xué)生在領(lǐng)悟與模仿中建立數(shù)學(xué)建模解題策略知識認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基本教學(xué)策略.

3.1.2 加強(qiáng)解題策略的元認(rèn)知訓(xùn)練，實(shí)施變式練習(xí)

國內(nèi)外已有關(guān)于問題解決思維策略訓(xùn)練研究的結(jié)果(AlisonKin，1991，p307-317;程素萍，1996，pl6-19)表明，元認(rèn)知策略監(jiān)控、指導(dǎo)思維策略的運(yùn)用，元認(rèn)知訓(xùn)練比一般思維訓(xùn)練具有更好的作用.一般思維策略訓(xùn)練更多地關(guān)注解題策略的含義，屬于知覺水平的教學(xué)，其結(jié)果是學(xué)生可能了解使用策略的程序，但無法掌握策略的應(yīng)用.將解題思維策略教學(xué)與元認(rèn)知訓(xùn)練結(jié)合起來，使學(xué)生將注意力不僅指向問題本身的加工而且指向自己加工策略的認(rèn)知過程、教學(xué)中通過設(shè)置不同的問題情境，將一個策略原型迅速而恰當(dāng)?shù)靥釤?、轉(zhuǎn)變到某一模型上；或是將一個領(lǐng)域內(nèi)的模型快捷、靈活地轉(zhuǎn)移到另一個領(lǐng)域.在變式練習(xí)中讓學(xué)生體會策略選擇、加工、調(diào)節(jié)的過程，領(lǐng)悟評價各種數(shù)學(xué)建模策略的方法，增強(qiáng)學(xué)生對如何使用解題策略的元認(rèn)知訓(xùn)練.

3.2 教學(xué)案例

教學(xué)中可以開展歷年大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽賽題分析和總結(jié)將增加學(xué)生的解題策略知識，提高策略模式的識別和應(yīng)用能力.比如，圖論理論和方法在大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中都有廣泛應(yīng)用，如歐拉圖、染色、最短路等.但是實(shí)際問題的解決往往是在對已有模型采用多種解題策略實(shí)施加工改進(jìn)的創(chuàng)新應(yīng)用.下面結(jié)合2012年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模D題給出解題策略的一個教學(xué)案例.

問題1提出的一個機(jī)器人在二維固定場景中的避障問題，行走規(guī)則和障礙物的數(shù)學(xué)描述等詳見[6].以下分析講解本題第一問，不考慮機(jī)器人移動時間，設(shè)計(jì)從指定起點(diǎn)到達(dá)指定目標(biāo)點(diǎn)的最短避障路徑.

解題策略分析：從給出的平面場景看，由于機(jī)器人并沒有指定的移動路徑，所以本題沒有給出網(wǎng)絡(luò)圖，想通過模式識別直接應(yīng)用已有的圖論問題模型求解并不可行.如果能通過分析給出可行路徑的范圍，在這個范圍內(nèi)尋找最短路徑則可以借鑒圖論模型解決.于是本題分解為兩個子問題：尋找可行路徑圖→得到連通圖求指定兩頂點(diǎn)的最短路徑.這種將問題分解是化歸變換策略最常見的一種應(yīng)用.

首先解決求解從O點(diǎn)到A點(diǎn)的可行路徑問題.兩點(diǎn)間直線距離最短，若將O點(diǎn)與A點(diǎn)用直線連接則穿過了障礙物，但實(shí)際行走時不能穿過障礙物.可假設(shè)該直線有彈性，為繞過障礙物且保持直線拉伸距離最小，所以直線被拉伸后必然與障礙物邊沿相切.由于拉伸方向不同，產(chǎn)生的可行路徑有多條.機(jī)器人只以圓弧路徑轉(zhuǎn)彎，經(jīng)過的路障頂點(diǎn)要進(jìn)行圓角化，在路障頂點(diǎn)處增加10個單位半徑為10個單位的圓見圖1，路徑為OE—EF—FB,OG—GH—HB.以上尋找可行路徑的思想就是從原題中挖掘內(nèi)涵，增加條件解決問題，這就是有效增設(shè)策略.有效增設(shè)策略在歷年數(shù)學(xué)建模賽題中都有使用，包括增添輔助參數(shù)、設(shè)置區(qū)域劃分、引入過程變量.通過比較可行路徑，可得到最短路徑即O→E→F→B長度約為271.

圖1

題目還要求找出O到其余多點(diǎn)的最短路徑，避障網(wǎng)絡(luò)圖更加復(fù)雜見圖2.在圖論中圖2中網(wǎng)絡(luò)圖是連通圖，去掉回路中的任何邊都不會影響圖的連通性質(zhì).意識到這個本質(zhì)特征，則求最短路徑就等價于尋找權(quán)重之和最小的生成樹，即最小生成樹問題.這種通過問題的分析，擺脫非本質(zhì)因素的干擾和束縛抽取問題的本質(zhì)特征，對問題進(jìn)行準(zhǔn)確的模式識別和歸類的解題策略，這就是在數(shù)學(xué)建模中最常用的模式識別策略.

圖2

通過分析并結(jié)合O點(diǎn)到A點(diǎn)最短路的求解過程，讓學(xué)生得出解題策略：增設(shè)障礙物的圓角尋找有效切線→化歸分解先找出可行路徑→轉(zhuǎn)換得到連通圖→應(yīng)用圖論的最小生成樹模型求解.以從O點(diǎn)到B點(diǎn)為例下面給出解決方案. O→B點(diǎn)有效路徑的連通圖見圖3，通過求解最小生成樹可以得到O→B點(diǎn)的最短路徑為O→B1→B3→C1→C3→D1→B.

圖3

〔1〕李明振.數(shù)學(xué)問題解決策略及其訓(xùn)練研究[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)),1998(2):72-76.

〔2〕黃超駿.高中數(shù)學(xué)解題策略與策略性知識的教學(xué)[D].重慶:西南師范大學(xué),2002.

〔3〕李明振.數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知機(jī)制及其教學(xué)策略研究[D].重慶:西南大學(xué),2007.

〔4〕羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社, 2008.361-433.

〔5〕江高文.數(shù)學(xué)新思維:中學(xué)數(shù)學(xué)思維策略與解題藝術(shù)[M].武漢:華中師范大學(xué)出版社,2002.2-52.

〔6〕2012年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽賽題:http:// www.mcm.edu.cn/problem/2012.

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A

1673-260X（2013）12-0007-02