淺談基本不等式的應(yīng)用

陳明發(fā)

摘 要：基本不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要的不等式，在解題中應(yīng)用十分廣泛.靈活應(yīng)用基本不等式解題是高考命題的熱點(diǎn)，是教與學(xué)的重點(diǎn)及難點(diǎn).通過舉例來探討基本不等式在解題中的一些應(yīng)用及注意事項(xiàng)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中充分經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，從而形成自己對(duì)基本不等式的突破策略，培養(yǎng)學(xué)生的歸納、總結(jié)能力.

關(guān)鍵詞：不等式；中學(xué)數(shù)學(xué)；基本不等式；函數(shù)最值

一、用于求最值

運(yùn)用基本不等式是求最值的一種常用方法，必須滿足“一正、二定、三相等”這三個(gè)條件.但往往不能直接套用，通常要經(jīng)過恰當(dāng)?shù)刈冃尾拍苓\(yùn)用.

已知x>0，y>0，則

（1）積定，和最小.

如果積xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值是

2 .

（2）和定，積最大.

如果和x+y是定值S，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy有最大值是 .

例1.求函數(shù)y=x+ （x<0）的最大值.

分析：因?yàn)閤<0，所以先要“調(diào)整”符號(hào)，后再對(duì)x進(jìn)行變形.

解：∵x<0，

∴y=x+ =-（-x）+ ≤-2 =- .

當(dāng)且僅當(dāng)x=- 時(shí)，等號(hào)成立，故ymax=- .

評(píng)注：此題的關(guān)鍵就是對(duì)數(shù)的符號(hào)的調(diào)整，滿足是在正數(shù)的條件下運(yùn)用基本不等式.

二、用于證明不等式

利用基本不等式證明不等式，應(yīng)先觀察題目的條件是否滿足基本不等式的使用條件，若不滿足，則應(yīng)通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配系數(shù)、“1”的代換等方法，使其滿足，再結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，達(dá)到證明的目的.

例2.已知a>0，b>0，c>0，d>0，求證： + ≥4

證明： + = + + + =（ + ）+（ + ）≥2+2=4.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b且c=d，等號(hào)成立.

故 + ≥4.

評(píng)注：此題考查了常見結(jié)論“ + ≥2（a、b同號(hào)）”的應(yīng)用.其常用的結(jié)論還有 ≤ ≤ ≤ （a、b∈R+）.

三、用于大小的比較

例3.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，試比較a2+b2+c2，ab+bc+ac， 的大小.

解：∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）=3（a2+b2+c2）.

∴a2+b2+c2≥ .

∵a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

b2+c2≥2bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立.

a2+c2≥2ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立.

三個(gè)不等式相加得：a2+b2+c2≥ab+bc+ac，

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥3（ab+bc+ac），

∴ab+bc+ac≤ ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立.

∴ab+bc+ac≤ ≤a2+b2+c2.

評(píng)注：當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立，并且要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)，因此，在利用基本不等式處理問題時(shí)，列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法.

四、用于求取值范圍

例4.若a<0，0

分析：a>1，0

解：∵logab+logba=-（-logba）+（- ）

又（-logab）+（- ）≥2 ∴l(xiāng)ogab+logba≤-2

當(dāng)且僅當(dāng)logab=logba，即當(dāng)b= 時(shí)，等號(hào)成立.

因此，所求的取值范圍為（-∞，-2].

五、用于解實(shí)際生活中的問題

例5.某廠花費(fèi)50萬元買回一臺(tái)機(jī)器，這臺(tái)機(jī)器投入生產(chǎn)后每天要付維修費(fèi)，已知第x天應(yīng)付的維修費(fèi)為 （x-1）+500元.機(jī)器從投產(chǎn)到報(bào)廢共付的維修費(fèi)與購買機(jī)器費(fèi)用的和均攤到每一天，叫做每天的平均損耗，當(dāng)平均損耗達(dá)到最小值時(shí)，機(jī)器應(yīng)當(dāng)報(bào)廢.

（1）將每天的平均損耗y（元）表示為投產(chǎn)天數(shù)x的函數(shù)；

（2）求機(jī)器使用多少天應(yīng)當(dāng)報(bào)廢？

解：（1）機(jī)器投產(chǎn)x天，每天的平均損耗是

y=

= 500000+500x+ x（x-1）= + +499

（2）y= + +499 ≥2 +499

=200+499 =999 .

當(dāng)且僅當(dāng) = ，即當(dāng)x=2000時(shí)，等號(hào)成立.

所以，這臺(tái)機(jī)器使用2000天應(yīng)當(dāng)報(bào)廢.

評(píng)注：利用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí)，首先要認(rèn)真審題，分析題意，建立合理的不等式模型，最后通過基本不等式解題.注意最常用的兩種題型：積一定，和最??；和一定，積最大.

基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在歷年高考試題中有廣泛的應(yīng)用.數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要讓學(xué)生理解并掌握以上幾種常見的類型，使學(xué)生在解決此類問題時(shí)思路清晰，從而加快解題的速度和提高解題的正確率；并且要對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)，注意突出重難點(diǎn)，使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上更加容易記憶，能夠牢固掌握知識(shí).

參考文獻(xiàn)：

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[2]趙建勛.淺談均值不等式的應(yīng)用.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2011（5）.

[3]姜建平.例談基本不等式的運(yùn)用.數(shù)理化解題研究：高中版，2012（12）.

（作者單位 福建省仙游縣華僑中學(xué)）