陳明發(fā)
摘 要:基本不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要的不等式,在解題中應(yīng)用十分廣泛.靈活應(yīng)用基本不等式解題是高考命題的熱點(diǎn),是教與學(xué)的重點(diǎn)及難點(diǎn).通過舉例來探討基本不等式在解題中的一些應(yīng)用及注意事項(xiàng),讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中充分經(jīng)歷知識(shí)的形成過程,從而形成自己對(duì)基本不等式的突破策略,培養(yǎng)學(xué)生的歸納、總結(jié)能力.
關(guān)鍵詞:不等式;中學(xué)數(shù)學(xué);基本不等式;函數(shù)最值
一、用于求最值
運(yùn)用基本不等式是求最值的一種常用方法,必須滿足“一正、二定、三相等”這三個(gè)條件.但往往不能直接套用,通常要經(jīng)過恰當(dāng)?shù)刈冃尾拍苓\(yùn)用.
已知x>0,y>0,則
(1)積定,和最小.
如果積xy是定值P,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),x+y有最小值是
2 .
(2)和定,積最大.
如果和x+y是定值S,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),xy有最大值是 .
例1.求函數(shù)y=x+ (x<0)的最大值.
分析:因?yàn)閤<0,所以先要“調(diào)整”符號(hào),后再對(duì)x進(jìn)行變形.
解:∵x<0,
∴y=x+ =-(-x)+ ≤-2 =- .
當(dāng)且僅當(dāng)x=- 時(shí),等號(hào)成立,故ymax=- .
評(píng)注:此題的關(guān)鍵就是對(duì)數(shù)的符號(hào)的調(diào)整,滿足是在正數(shù)的條件下運(yùn)用基本不等式.
二、用于證明不等式
利用基本不等式證明不等式,應(yīng)先觀察題目的條件是否滿足基本不等式的使用條件,若不滿足,則應(yīng)通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配系數(shù)、“1”的代換等方法,使其滿足,再結(jié)合不等式的基本性質(zhì),達(dá)到證明的目的.
例2.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求證: + ≥4
證明: + = + + + =( + )+( + )≥2+2=4.
當(dāng)且僅當(dāng)a=b且c=d,等號(hào)成立.
故 + ≥4.
評(píng)注:此題考查了常見結(jié)論“ + ≥2(a、b同號(hào))”的應(yīng)用.其常用的結(jié)論還有 ≤ ≤ ≤ (a、b∈R+).
三、用于大小的比較
例3.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,試比較a2+b2+c2,ab+bc+ac, 的大小.
解:∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+c2)+(a2+c2)=3(a2+b2+c2).
∴a2+b2+c2≥ .
∵a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.
b2+c2≥2bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),等號(hào)成立.
a2+c2≥2ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號(hào)成立.
三個(gè)不等式相加得:a2+b2+c2≥ab+bc+ac,
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥3(ab+bc+ac),
∴ab+bc+ac≤ ,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號(hào)成立.
∴ab+bc+ac≤ ≤a2+b2+c2.
評(píng)注:當(dāng)多次使用基本不等式時(shí),一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立,并且要注意取等號(hào)的條件的一致性,否則就會(huì)出錯(cuò),因此,在利用基本不等式處理問題時(shí),列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟,而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法.
四、用于求取值范圍
例4.若a<0,0
分析:a>1,0
解:∵logab+logba=-(-logba)+(- )
又(-logab)+(- )≥2 ∴l(xiāng)ogab+logba≤-2
當(dāng)且僅當(dāng)logab=logba,即當(dāng)b= 時(shí),等號(hào)成立.
因此,所求的取值范圍為(-∞,-2].
五、用于解實(shí)際生活中的問題
例5.某廠花費(fèi)50萬元買回一臺(tái)機(jī)器,這臺(tái)機(jī)器投入生產(chǎn)后每天要付維修費(fèi),已知第x天應(yīng)付的維修費(fèi)為 (x-1)+500元.機(jī)器從投產(chǎn)到報(bào)廢共付的維修費(fèi)與購買機(jī)器費(fèi)用的和均攤到每一天,叫做每天的平均損耗,當(dāng)平均損耗達(dá)到最小值時(shí),機(jī)器應(yīng)當(dāng)報(bào)廢.
(1)將每天的平均損耗y(元)表示為投產(chǎn)天數(shù)x的函數(shù);
(2)求機(jī)器使用多少天應(yīng)當(dāng)報(bào)廢?
解:(1)機(jī)器投產(chǎn)x天,每天的平均損耗是
y=
= 500000+500x+ x(x-1)= + +499
(2)y= + +499 ≥2 +499
=200+499 =999 .
當(dāng)且僅當(dāng) = ,即當(dāng)x=2000時(shí),等號(hào)成立.
所以,這臺(tái)機(jī)器使用2000天應(yīng)當(dāng)報(bào)廢.
評(píng)注:利用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí),首先要認(rèn)真審題,分析題意,建立合理的不等式模型,最后通過基本不等式解題.注意最常用的兩種題型:積一定,和最??;和一定,積最大.
基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,在歷年高考試題中有廣泛的應(yīng)用.數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要讓學(xué)生理解并掌握以上幾種常見的類型,使學(xué)生在解決此類問題時(shí)思路清晰,從而加快解題的速度和提高解題的正確率;并且要對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié),注意突出重難點(diǎn),使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上更加容易記憶,能夠牢固掌握知識(shí).
參考文獻(xiàn):
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(作者單位 福建省仙游縣華僑中學(xué))