不確定Sigma－Delta調(diào)制器的魯棒濾波

王英俊，王武，王騫

(福州大學電氣工程與自動化學院，福建福州 350116)

0 引言

隨著數(shù)字信號處理器(digital signal processor，DSP)在工業(yè)和生活中的廣泛應用，引發(fā)了對高效率、高速、高精度模數(shù)轉換器的強烈需求.傳統(tǒng)的ADC以奈奎斯特速率進行直接采樣，無法達到很高的精度.而Sigma－Delta調(diào)制器(Sigma－Delta modulator，SDM)引入過采樣和反饋技術，使其具有高精度、高線性、便于與數(shù)字系統(tǒng)集成等優(yōu)點［1］.

為了提高SDM性能，目前普遍采用的結構有單回路高階、級聯(lián)結構以及多位調(diào)制器結構［2］.級聯(lián)調(diào)制器結構能在低采樣率下實現(xiàn)高階噪聲整型同時能很好避免電路不穩(wěn)定現(xiàn)象.然而由于存在電路補償部分，這種結構對電路的非理想性比較敏感.因此級聯(lián)結構中電路結構不確定性的補償和校正成為了近年來研究的熱點.至目前為止對SDM的不確定性問題描述仍然局限于采用凸多面體或轉化為連續(xù)域的形式進行描述［3］，采用更加直接的描述方法研究設計濾波器未見有文獻報道.

本研究基于線性區(qū)間系統(tǒng)的方法設計魯棒控制器.利用MARKOV區(qū)間算法將級聯(lián)SDM的參數(shù)不確定性問題描述為在一個區(qū)間范圍內(nèi)波動但波動幅值已知的區(qū)間矩陣，其等效描述形式類似于范數(shù)有界攝動形式.針對這一類區(qū)間系統(tǒng)，運用LMI方法給出魯棒H∞控制器存在的充分條件.最后通過實際數(shù)字仿真說明了濾波器的設計過程及其有效性.

1 問題描述

考慮三階級聯(lián)2－1結構的SDM［4］，如圖1所示，其中Hi(z)(i=1，2，3)為積分模塊，P(z)和Q(z)為數(shù)字校正濾波器.第一級的輸出信號可表示為:

其中:STF1和NTF1為第一級的信號傳遞函數(shù)和噪聲傳遞函數(shù)，可表示為:

第二級回路可大大增加系統(tǒng)的信噪比，圖1中第一級輸出與內(nèi)部量化器信號相減可得到量化器噪聲E1的模擬信號形式，將E1輸入到另一個SDM回路中形成第二級結構.第二級輸出信號可表示為:

其中:STF2和NTF2為第二級的信號傳遞函數(shù)和噪聲傳遞函數(shù)，可表示為:

數(shù)字校正電路以兩級輸出信號V1和V2作為輸入，并通過匹配消除第一級量化誤差E1.從式(1)和(3)可得到匹配條件:

選擇P(z)=STF2(z)和Q(z)=NTF1(z)，此時整體輸出如式(6)所示，其噪聲整形效果等效于三階單回路SDM，但穩(wěn)定性與二階SDM相當(階次越高穩(wěn)定性越差).

理想情況下通過式(5)設計的濾波器可以使SDM達到很好的信噪比.然而在實際情況下由于電路的采樣時鐘抖動、熱噪聲以及運算放大器參數(shù)(包括白噪聲、有限直流增益、有限帶寬、轉換速率和飽和電壓)的影響［5］，導致第一級量化誤差E1無法完全抵消.另外，由于第二級調(diào)制器輸入E1的幅值相對于第一級U小很多，因此第一級積分器的非理想因素占主導因素，第二級積分器可采用理想積分器進行模擬.綜上所述，為了討論方便僅假設第一級調(diào)制器參數(shù)具有不確定性，第二級調(diào)制器工作在理想情況下.此時設計問題可表述為:設計魯棒濾波器Q(z)，使得級聯(lián)SDM在非理想情況下工作時，Q(z)能滿足以下優(yōu)化問題:

其中:T(z)=z－1，NTF1a(z)表示非理想情況下第一級調(diào)制器的噪聲傳遞函數(shù).

為了求解式(7)的優(yōu)化問題，首先將其轉換為狀態(tài)空間表達式的描述形式，并定義如下:

此時T(z)(NTF1a－Q(z))的狀態(tài)空間描述為:

由于第一級調(diào)制器的非理想性，式(8)的參數(shù)將在一個動態(tài)范圍內(nèi)變化.通過MARKOV變換，將參數(shù)的攝動問題描述為區(qū)間矩陣，并利用LMI求解魯棒濾波器，即求解以下問題:

2 線性區(qū)間系統(tǒng)的MARKOV分析

考慮圖1的系統(tǒng)，針對實際電路的非理想性，包括運放的有限增益和開關電容不匹配等問題，將積分器的非理想性表述為增益和極點的不確定性［6］.如前所述，本文主要分析第一級中二階積分器的不確定性對系統(tǒng)的影響，H1(z)和H2(z)的傳遞方程可表述為:

其中:a1，a2∈［amin，1］;p1，p2∈［pmin，1］.

此時式(8)的狀態(tài)空間描述為:

已知T(z)=z－1，式(9)的狀態(tài)空間描述為:

將式(14)～(16)代入式(11)中的矩陣可看出，系統(tǒng)的增益和極點不確定性僅對矩陣A產(chǎn)生影響，使矩陣A變?yōu)椴淮_定矩陣.此時A可表示為:

根據(jù)MARKOV運算法則［7］，式(17)可描述為如下區(qū)間形式:

其中:

通過以上MARKOV運算，將系統(tǒng)參數(shù)不確定性描述成式(18)的區(qū)間矩陣形式.根據(jù)文獻［8－9］，區(qū)間矩陣可等價描述為:

其中:A0=(AL+AH)/2，

ei(i=1，2，3)為3階單位矩陣的第i列，顯然FA≤I.

同理有

其中:

3 魯棒H∞濾波器設計

給出線性系統(tǒng)在區(qū)間矩陣變化時魯棒H∞濾波器可解的充分條件.在給出濾波器的構造方法之前，先提供以下引理.

引理1 假設濾波器(AQ，BQ，CQ，DQ)已知，對于在式(18)中的區(qū)間變化時，系統(tǒng)滿足的充分條件是存在矩陣P=PT＞0以及G使得

證明 引理1的證明可參考文獻［10］中的定理2.

在引理1中，假設濾波器(AQ，BQ，CQ，DQ)是已知的，然而本研究的目的是設計濾波器滿足式(12)的條件.也就是說式(21)中的濾波器參數(shù)(AQ，BQ，CQ，DQ)為需要確定的變量，因此式(21)實際上是一組非線性矩陣不等式.為了能夠使用標準的LMI方法求解控制器［11］，現(xiàn)給出如下定理.

證明 首先將式(20)代入式(21)中，有:

其中:

根據(jù)文獻［12］，式(25)等價為:

由Schur補引理可知，式(26)等價為:

由式(27)很容易得出G+GT－P＞0，由P＞0可得出G+GT＞0且矩陣G是非奇異陣.可將G和G－1分解成如下形式:

并作如下定義:

定理得證.

通過定理1可有效求解系統(tǒng)增益極點在給定區(qū)間變化時的濾波器設計問題.利用MATLAB中的LMI工具箱可求解式(23)的優(yōu)化問題，并設計系統(tǒng)(10)中的全維和降維濾波器.

4 仿真分析

設計兩種類型的校正濾波器，一種是通過定理1設計的濾波器，可用式(30)表示;另一種是根據(jù)公式(5)設計的濾波器(傳統(tǒng)方式濾波器).為方便下文比較，假設式(14)中增益和極點變化程度相同，即a1=a2=p1=p2=gain_pole，并設系統(tǒng)增益極點變化下界amin=pmin=range.取range=0.95.根據(jù)定理1的描述，采用Matlab LMI Toolbox［13］(使用函數(shù)mincx)求解優(yōu)化問題式(23)，可得到γ=0.100 4，濾波器為:

利用Matlab Simulink建立圖1的仿真模型，調(diào)制器使用的是一位量化器，過采樣率選為32，并將系統(tǒng)的非理想性表示為增益極點的不確定性.調(diào)用Delta－Sigma Toolbox［12］對建立的模型進行仿真(使用函數(shù)simulateSNR和calculateSNR)，其中輸入信號為正弦波信號，計算輸出信號的信噪比和功率譜密度.圖2給出了輸入信號幅值從－70 dB變化到0 dB時，非理想條件下(gain_pole=0.97)調(diào)制器輸出的信噪比.從圖2可看出，當不確定性參數(shù)在給定范圍內(nèi)變動且變化程度較大時，通過定理1設計的魯棒濾波器比傳統(tǒng)濾波器獲得了更高的信噪比，整體的信噪比大約提高了5 dB，動態(tài)范圍增加了10 dB(此時為70 dB).圖3給出了此時級聯(lián)2－1調(diào)制器輸出比特流的功率頻譜密度分布(輸入幅值取－10 dB).從圖3中可以看出，級聯(lián)SDM的三階噪聲傳遞函數(shù)對量化噪聲表現(xiàn)為高通特性，噪聲在基帶內(nèi)得到很好的抑制.對高頻部分噪聲可通過后續(xù)數(shù)字濾波電路把帶外噪聲濾除，使系統(tǒng)信噪比得到提高.

圖2 gain_pole=0.97時輸出信噪比Fig.2 Output SNR when gain_pole=0.97

圖3 級聯(lián)結構輸出的功率譜密度Fig.3 Output PSD of cascaded structure

進一步仿真表明，當系統(tǒng)不確定性變化程度較小、系統(tǒng)的增益極點與理想情況較為接近時，傳統(tǒng)濾波器將表現(xiàn)出更好的性能，這是因為系統(tǒng)越接近理想情況將與傳統(tǒng)濾波器的匹配程度越高.圖4統(tǒng)計了非理想?yún)?shù)在［0.95 1］區(qū)間內(nèi)變動時，魯棒濾波器和傳統(tǒng)濾波器輸出的信噪比均差.可以看出，當非理想?yún)?shù)取值位于［0.984 1］之間時(將此區(qū)間稱為魯棒濾波器的盲區(qū))，傳統(tǒng)濾波器輸出的信噪比將高于魯棒濾波器.

圖4 range=0.95時兩種濾波器輸出信噪比均差Fig.4 Average deviation of output SNR between two filter when range=0.95

圖5 range=0.98時兩種濾波器輸出信噪比均差Fig.5 Average deviation of output SNR between two filter when range=0.98

為了進一步提高非理想性參數(shù)在小范圍內(nèi)波動時魯棒濾波器的性能，可重新設計濾波器.改變增益極點變化下界range=0.98，根據(jù)定理1重新進行LMI求解.此時γ=0.042 0，求得的濾波器為:

重新將求得的控制器代入系統(tǒng)進行仿真，仿真結果如圖5所示.與圖4比較可看出，此時魯棒濾波器的性能有了很大的提升，盲區(qū)減少了50%(此時的盲區(qū)為［0.992 1］).非理想?yún)?shù)在［0 0.992］內(nèi)變動時，魯棒濾波器比傳統(tǒng)濾波器獲得了更好的性能.綜合以上分析知，魯棒濾波器適用于由低成本器件構成的調(diào)制器中，此時魯棒濾波器能有效降低參數(shù)非理想性對性能的影響，提高輸出信噪比并增加系統(tǒng)的動態(tài)范圍.而傳統(tǒng)濾波器更適合應用于采用高精度、昂貴調(diào)制器設計的電路中.

5 結語

對具有非理想性的級聯(lián)Sigma－Delta調(diào)制器的魯棒校正濾波問題進行研究，基于MARKOV理論，采用區(qū)間矩陣和線性矩陣不等式方法，給出了魯棒濾波器存在的充分條件.仿真分析表明，當調(diào)制器偏離理想程度較大時，魯棒濾波器比傳統(tǒng)濾波器獲得了更好的信噪比，因此魯棒濾波器更適用于采用低成本電路構成的調(diào)制器中.

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