Hilbert空間中無冗g－框架與g－Riesz基的關(guān)系

黃華美，朱玉燦

(福州大學數(shù)學與計算機科學學院，福建福州 350116)

0 引言

Hilbert空間中框架的概念是由Duffin和Schaeffer在1952年研究非調(diào)和Fourier級數(shù)時提出［1］，當時并沒有得到什么發(fā)展.直到1986年，Daubechies，Grossmann和Meyer突出的貢獻［2］，使框架研究吸引了很多學者的目光.隨著對框架理論研究的不斷深入，許多學者對框架理論進行了各種推廣.孫文昌教授在文獻［3］中提出了一種更為一般的框架概念即g－框架.g－框架的提出為框架的發(fā)展提供了另一個方向，在研究的過程中發(fā)現(xiàn)兩者存在著很多的不同.在框架理論中成立的一些定理在g－框架中并不成立.其中之一是在框架理論中的無冗框架與Riesz基是等價的，而在g－框架理論中無冗g－框架與g－Riesz基是不等價.本文主要從兩個方面比較了兩者的差別.首先g－Riesz基可以用線性無關(guān)等價刻畫，舉例說明了無冗g－框架可以是線性相關(guān)的.其次從無冗g－框架與g－Riesz基的兩個等價刻畫中發(fā)現(xiàn)g－Riesz基所要求的條件比無冗g－框架強.最后給出無冗g－框架的另一等價刻畫及討論了fusion框架的擾動.

設U，V是兩個復Hilbert空間，其內(nèi)積為＜·，·＞，范數(shù)為 ·，{Vj}j∈J是U的閉子空間序列，其中J是整數(shù)集Z的子集，L(U，Vj)表示U到Vj的所有有界線性算子的全體.定義線性空間:

和內(nèi)積＜·，·＞:

則l2({Vj}j∈J)是一個復的Hilbert空間.

定義1 序列{Λj:Λj∈L(u，Vj)}j∈J稱為Hilbert空間U關(guān)于{Vj}j∈J的g－框架，如果存在A，B＞0，對任意的f∈U有

成立，稱A，B分別為g－框架的下界和上界.

若僅有右邊不等式成立，則稱{Λj}j∈J為U關(guān)于{Vj}j∈J的g－Bessel序列.

如果A=B=λ，則稱為緊g－框架.若λ=1，則稱為g－Parseval框架.

定義2 序列{Λj:Λj∈L(U，Vj)}j∈J稱為U關(guān)于{Vj}j∈J的無冗 g－框架，如果{Λj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的g－框架但去掉任意一個元素就不是U關(guān)于{Vj}j∈J的g－框架.

定義3［3］序列{Λj}j∈J稱為Hilbert空間U關(guān)于{Vj}j∈J的g－Riesz基，如果滿足下列兩個條件:

1){Λj}j∈J是g－完備的即{f∈U:Λjf=0，j∈J}={0};

2)存在正數(shù)A，B使得對任意有限集合J1?J和任意gi∈Vj，j∈J1有

1 無冗g－框架與g－Riesz基的關(guān)系

引理1 設Λj∈L(U，Vj)，j∈J.則下列兩個敘述等價:

1)序列{Λj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的 g － Riesz基且界為A，B.

由引理1知g－Riesz基一定是線性無關(guān)的，但無冗g－框架卻不一定是線性無關(guān).

例1 設{en}∞n=1為Hilbert空間U的標準正交基，定義有界線性算子Λi:U→C2其中:

則對任意的f∈U，有

以上是無冗g－框架與g－Riesz基的第一個不同之處，接著給出兩者的不同的等價刻畫.先給出一個引理.

引理2 設Λj∈L(U，Vj)，則下面兩個條件等價:

1)序列{Λj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的無冗g－框架，且

2)序列 {Λj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的 g － Riesz基.

定理1 序列{ΛJ}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的g－框架，以下結(jié)論等價:

1)序列{Λj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的無冗 g－框架.

證明 必要性 由文獻［6］知結(jié)論成立.

定理2 序列{Λj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的g－框架，以下結(jié)論等價:

1)序列{Λj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的 g － Riesz基.

證明 必要性 由{Λj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的g－Riesz基，知對任意的j1，j2∈J，gj1∈Vj1，gj2∈Vj2由引理2知

注1 由定理1及定理2可以看到無冗g－框架與g－Riesz基之間的差別.無冗g－框架成立的條件要弱很多.

下面給出無冗g－框架的另一等價刻畫.

引理3 設H，K為Hilbert空間，T:H→K為有界線性算子，則以下結(jié)論等價:

1)T為單射且T(H)為閉子空間.

2)存在常數(shù)c＞0使得對任意的f∈H有Tf≥cf.

引理4［7］序列{Λ}是U關(guān)于{V}的g－框架，令T:U→U是U的可逆算子，則{ΛT}是U

jj∈Jjj∈Jjj∈J關(guān)于{Vj}j∈J的g－框架.

又有

2 fusion框架的擾動

fusion框架是g－框架的一種特殊情況.fusion框架的特殊性在于其算子是空間到子空間上的正交投影而不是g－框架中的有界線性算子.正是由于fusion框架的特殊性，使得fusion框架有很多不同的結(jié)論.

設W是H的閉子空間，用πWj表示H到Wj的正交投影.

如果A=B，則稱{(Wj，vj)}j∈J為H的緊fusion框架.

如果A=B=1，則稱{(Wj，vj)}j∈J為H的 Parseval fusion框架.

在文獻［9］定理2中對fusion框架中的不帶權(quán)的擾動進行了討論，在文獻［10］中定理4.3對fusion框架的帶有相同的權(quán)重的擾動進行了討論.下面將對fusion框架帶不同權(quán)的擾動進行討論.

證明 由(1)式得對任意的f∈H，j∈J有

從而對任意f∈H，有

另一方面，對任意f∈H，j∈J，由(2)式得

類似的，對任意f∈H，有

故此對任意f∈H，有

［1］Duffin R J，Schaefief A C.A class of nonharmonic Fourier series［J］.Transactions of the American Mathematical Society，1952，72(2):341－366.

［2］Daubechies I，Grossmann A，Meyer Y.Painless nonorthogonal expansions［J］.Journal of Mathematical Physics，1986，27(5):1 271－ 1 283.

［3］Sun Wen－ chang.G －frames and g－Riesz bases［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2006，322(1):437－452.

［4］Zhu Yu－can.Characterizations of g－frames and g－Riesz bases in Hilbert spaces［J］.Acta Mathematica Sinica:English Serires，2008，24(10):1 727 －1 736.

［5］Li Jian－zhen，Zhu Yu－can.Exact g－frames in Hilbert spaces［J］.Journal of Mathematical Analysis and Application，2011，374(1):201－209.

［6］丁明玲，朱玉燦.Hilbert空間中的無冗g－框架［J］.福州大學學報:自然科學版，2010，38(4):461－467.

［7］王靜，高德智.g－框架的攝動和原子分解［J］.數(shù)學物理學報，2010，30(6):1 451－1 456.

［8］Casazza P G.Kutyniok G.Frame of subspaces［J］.Contemporery mathematics，2004，345(1):87 －114.

［9］Casazza P G，Kutyniok G，Li Shi－ dong.Fusion frames and distributed processing［J］.Applied Computational Harmonic A-nalysis，2008，25(1):114－132.

［10］Khosravi A，Musazadeh K.Fusion frames and g－frames［J］.Journal of Mathematical Analysis and Application，2008，342(2):1 068－1 083.