基于變步長和內(nèi)插的預(yù)失真系統(tǒng)LUT收斂算法

顏麗蓉，郭里婷

(福州大學(xué)物理與信息工程學(xué)院，福建福州 350116)

0 引言

作為新一代無線通信最具競爭力的技術(shù)，OFDM(正交頻分復(fù)用)由于頻譜利用率高、抗多徑衰落能力強、抗噪聲干擾能力強等優(yōu)點在WLAN、DAB、DVB、HDTV等通信系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用.但是，OFDM有較高的峰值平均功率比(簡稱PAPR)，這就要求功率放大器要有足夠大的線性范圍，否則，信號容易產(chǎn)生非線性失真，從而影響整個系統(tǒng)的通信性能.但該方法是以犧牲功率放大器的效率來換取其線性度，這與當今社會所倡導(dǎo)的綠色通信理念相背.因此，如何使得功率放大器高效率而又高線性度地工作已成為當今學(xué)術(shù)界和工程實踐領(lǐng)域的研究熱點.

功率放大器的線性化技術(shù)是解決其效率和線性度間矛盾的方案之一.迄今為止，已出現(xiàn)了多種改善功率放大器線性度的線性化技術(shù):功率回退技術(shù)、前饋線性化技術(shù)、負反饋技術(shù)以及數(shù)字預(yù)失真技術(shù)等，各種線性化技術(shù)均有其優(yōu)缺點.其中，數(shù)字基帶預(yù)失真技術(shù)因無穩(wěn)定性問題、精度高、適用于寬帶通信、自適應(yīng)能力強等優(yōu)點最具發(fā)展前景［1］.

在給出基于LUT的預(yù)失真技術(shù)［2］傳統(tǒng)的自適應(yīng)預(yù)失真算法的同時，本研究針對查詢表收斂速度慢的不足，對其進行相應(yīng)的改進.并通過算法收斂曲線、星座圖、功率譜密度以及BER性能的對比驗證本文所改進算法的優(yōu)越性.

1 OFDM系統(tǒng)中的數(shù)字基帶預(yù)失真實現(xiàn)

預(yù)失真，即在信號進入放大器之前，先對信號進行非線性處理，該處理正好補償了功率放大器對信號所造成的非線性影響，所以將兩者級聯(lián)后即可實現(xiàn)功率放大器的線性工作.OFDM系統(tǒng)中，預(yù)失真器接于濾波器和D/A轉(zhuǎn)化器之間，包含預(yù)失真器的OFDM發(fā)射機框圖如圖1所示.

從實現(xiàn)框圖可知，欲設(shè)計一預(yù)失真器，關(guān)鍵在于兩方面:一個是功率放大器模型的確定;另一個則是自適應(yīng)算法的確定.

圖1 OFDM系統(tǒng)發(fā)射機框圖Fig.1 Transmitter block diagram of OFDM system

1.1 功率放大器的模型

目前，已有很多關(guān)于功率放大器的數(shù)學(xué)模型，總體而言，可分為兩大類:無記憶功率放大器和有記憶功率放大器.由于本文側(cè)重研究自適應(yīng)預(yù)失真算法，因此選用結(jié)構(gòu)較為簡單的無記憶功率放大器模型.

在無記憶功率放大器模型中，廣泛使用的有:針對行波管功率放大器的Saleh模型［3］和針對固態(tài)功率放大器的Rapp模型［4］.本文選用Saleh模型，其AM－AM和AM－PM特性函數(shù)分別如式(1)和式(2)所示.

式中:ρin為功率放大器輸入信號的幅度值;αa、βa、αφ和βφ是模型參數(shù)，各個參數(shù)的經(jīng)典取值為αa=2.151 8，βa=1.151 7，αφ=4.033 0，βφ=9.104 0.圖2所示為Saleh模型的特性曲線仿真圖.從圖2中可以直觀地看出，功放的輸出幅度(AM輸出)、輸出相位(PM)與輸入幅度(AM輸入)之間存在著非線性關(guān)系，這也正是預(yù)失真所要解決的問題.

1.2 自適應(yīng)算法

由于功放參數(shù)會隨著溫度、壓強、濕度等環(huán)境因素的變化而變化，這就需要一個反饋回路去跟蹤功放參數(shù)的變化，以實時更新預(yù)失真器的特性函數(shù).自適應(yīng)算法的應(yīng)用則是實現(xiàn)這一過程的關(guān)鍵所在.常用的自適應(yīng)算法有RASCAL［5］、LMS、RLS等，綜合考慮算法實現(xiàn)的靈活性與復(fù)雜度，采用RASCAL算法.

RASCAL是Rotate and Scale的縮寫，即它糾正的是信號所應(yīng)旋轉(zhuǎn)的角度和縮放的幅度.因此，進行RASCAL算法之前，需將信號由直角坐標轉(zhuǎn)換為極坐標.設(shè)預(yù)失真器輸入信號的幅度和相位分別為Vin和θin，功率放大器反饋回的信號幅度和相位分別為Vf和θf，則幅度環(huán)路誤差和相位環(huán)路誤差分別如式(3)和式(4)所示.

圖2 Saleh模型AM－AM和AM－PM特性曲線Fig.2 AM －AM and AM －PM characteristic curve of Saleh model

式(3)中:K為功率放大器的理想放大倍數(shù)，由于本文所采用的是歸一化的Saleh模型，因此K取1.RASCAL算法就是不斷地比較預(yù)失真器的輸入信號和功率放大器反饋回來的信號，根據(jù)環(huán)路誤差Verror和θerror實時地對幅度表和相位表進行更新.

為補償功率放大器的非線性，RASCAL算法利用遞歸的線性收斂式使式(3)和式(4)的誤差最小化.查詢表更新的遞歸方程如式(5)和式(6)所示.

式中:i表示查詢表的地址;n表示迭代的次數(shù);Si，n表示幅度查詢表中地址為i的表項經(jīng)過n次迭代后的值;Ri，n、α和β分別為幅度表和相位表收斂過程中的迭代步長，它們影響著查詢表的收斂速度.

1.3 基于LUT的預(yù)失真器結(jié)構(gòu)

基于LUT的預(yù)失真器的結(jié)構(gòu)如圖3所示.由于側(cè)重的是預(yù)失真器的結(jié)構(gòu)，因此將D/A轉(zhuǎn)換和正交調(diào)制上變頻等模塊省略.

圖3 基于LUT的預(yù)失真器結(jié)構(gòu)Fig.3 Architecture of predistorter based on LUT

由圖3可知，輸入信號經(jīng)直角坐標轉(zhuǎn)換為極坐標后，分成兩路.一路根據(jù)輸入信號的幅度量化值對查詢表進行索引進行預(yù)失真處理后通過功放，另一路則與功放輸出端耦合反饋回來的信號在RASCAL算法的作用下更新查詢表.幅度查詢表和相位查詢表并聯(lián)連接，一方面在實現(xiàn)上難度較小，另一方面也使得幅度查詢表和相位查詢表各自收斂，相互間不受影響.

基于LUT的預(yù)失真技術(shù)是目前較為流行的預(yù)失真技術(shù)，因為該方法可用于任何增益波形圖的功率放大器，并且線性化效果好.但是，查詢表表項個數(shù)的多少決定了預(yù)失真效果的精度，為保證精度，表項個數(shù)需要足夠大.另外，OFDM信號幅度服從瑞利分布［6］，動態(tài)范圍較大，這樣幅度經(jīng)量化后就會產(chǎn)生大量的地址，整個查詢表的更新需要大量的遞歸.所以，收斂速度慢是基于LUT的預(yù)失真技術(shù)的一大缺陷.

2 加快LUT收斂速度的方法及改進

為加快LUT的收斂速度，可從以下兩個方面進行嘗試:在自適應(yīng)算法上，采用變步長的自適應(yīng)算法;在查詢表更新過程中，通過內(nèi)插更新查詢表內(nèi)容.

2.1 變步長RASCAL算法

衡量自適應(yīng)算法的優(yōu)劣通常有兩個方面:收斂速度以及穩(wěn)態(tài)誤差.但兩者存在著矛盾，迭代步長的大小影響著收斂速度的快慢，迭代步長大的收斂速度較快，但同時穩(wěn)態(tài)誤差也較大，反之亦然.因此，必須在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差間做好權(quán)衡，在保證穩(wěn)態(tài)誤差的前提下加快收斂速度.

為解決收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差間的矛盾，很多文獻均提出了變步長的自適應(yīng)算法的思想.歸納起來，這些算法大多是以誤差或者信噪比為變量通過構(gòu)造不同的函數(shù)形式來確定每次遞歸運算時所用迭代步長的大小.但由于大多數(shù)文獻討論的變步長算法適用于接收端的自適應(yīng)濾波器，即其接收的是發(fā)送端發(fā)來的經(jīng)過復(fù)雜信道的信號，因而其所構(gòu)造的函數(shù)形式也較為復(fù)雜.考慮到自適應(yīng)預(yù)失真中反饋回來的信號是經(jīng)放大器耦合下來的，始終在發(fā)送端，其經(jīng)過的信道突變性不大，因而采用適合于自適應(yīng)預(yù)失真器的簡單容易實現(xiàn)的變步長RASCAL算法，即在算法剛開始進行迭代時，選用比較大的步長，當算法基本收斂后，則選用比較小的步長.其流程圖如圖4所示.

圖4 變步長RASCAL算法流程圖Fig.4 Flowchart of variable － step RASCAL

2.2 LUT內(nèi)插算法及改進

因為功率放大器的特性曲線是連續(xù)平滑的，所以若將其量化成離散的點后，相鄰點間的值具有一定的相關(guān)性.鑒于此，文獻［6］提出通過線性內(nèi)插來提高查詢表的收斂速度，其基本思想為:首先，構(gòu)造一個與查詢表大小一致的1bit地址指示器，初始化時除最小和最大地址置1外，其它均置0;對于輸入信號，算出其量化幅度值address，根據(jù)RASCAL算法對地址為address的幅度查詢表和相位查詢表的表項值進行更新，同時地址指示器相應(yīng)地址address置1;接著，從地址address向下和向上查找地址指示器中距離address最近且已經(jīng)置1了的地址address－La和address+Lb;最后，利用已找出的三個地址所對應(yīng)的查詢表的值對address－La和address之間、address和address+Lb之間的幅度查詢表和相位查詢表的表項值進行線性內(nèi)插.

文獻［7］分析并通過仿真指出文獻［6］所用方法并不能使收斂速度有所改善，該方法在通常情況下只起到“平滑”的作用.鑒于此，通過以下兩個方面對其進行改進:第一，地址指示器初始化時均置為0，并且在查詢表更新過程中，除量化幅度值所對應(yīng)的地址指示器地址置1外，通過內(nèi)插得到的表項值所對應(yīng)的地址指示器地址也置1;第二，采用二階拉格朗日內(nèi)插代替線性內(nèi)插.這是因為對于自適應(yīng)算法來說，迭代初始值是非常重要的，初始值與理想值越接近，則算法越容易收斂.若用文獻［6］所述算法，則初始值將不斷變化，因其只對量化幅度值所對應(yīng)的地址指示器地址置1，且由于其為線性內(nèi)插，與Saleh功放的反特性曲線差距較大，這樣會使得算法在收斂過程中誤差起伏大，反而使收斂效果變差.采用的二階拉格朗日內(nèi)插與Saleh功放的反特性曲線更為接近，因此，經(jīng)改進后的算法所確定出的進行自適應(yīng)算法的初始值更為接近理想值，并且算法初始值一經(jīng)確定就不會再變化.

拉格朗日插值法是基于基函數(shù)的插值方法，n階拉格朗日插值多項式可表示為:

式中:li(x)為i次基函數(shù);點(xi，yi)(i=0，1，…，n)為插值點，n取2.

3 仿真結(jié)果與分析

基于中國數(shù)字電視地面廣播DTMB標準多載波模式對所改進算法進行仿真驗證，所用仿真軟件為Matlab，仿真在AWGN信道下進行，OFDM子載波數(shù)為3 780個，保護間隔采用PN420模式，星座映射模式為16QAM，查詢表大小為256.通過對比固定步長條件下不加內(nèi)插、固定步長條件下加線性內(nèi)插、固定步長條件下加拉格朗日內(nèi)插、變步長條件下不加內(nèi)插、變步長條件下加線性內(nèi)插以及變步長條件下加拉格朗日內(nèi)插在算法收斂曲線、星座圖、功率譜密度圖和誤比特性能的仿真結(jié)果進行分析討論.

3.1 算法收斂曲線

通過仿真并統(tǒng)計分析得出:以算法的穩(wěn)態(tài)誤差為基準，迭代步長在［0.1 0.2］范圍內(nèi)穩(wěn)態(tài)誤差會較小，而以收斂速度為基準，迭代步長在［0.7 0.8］范圍內(nèi)收斂速度會較快.所以分別選取迭代步長u=0.12、u=0.75的固定步長算法以及剛開始迭代步長u=0.75，到基本收斂時，u=0.12的變步長算法三種不同條件來驗證本文所提出的變步長算法的優(yōu)越性.

圖5所示為系統(tǒng)在不同算法條件下得到的算法收斂曲線.從圖5(a)可知，在保證穩(wěn)態(tài)誤差的前提下，變步長的RASCAL算法有效提高了算法的收斂速度.要達到相同的穩(wěn)態(tài)誤差，固定步長算法需要20個符號左右才能收斂，而變步長算法只需7個符號左右就收斂了.

圖5 不同算法條件下的MSE曲線Fig.5 MSE curves in different algorithms

對比圖5(b)和圖5(c)可知，正如前面所分析，由于線性內(nèi)插使得算法的初始值不固定，從而導(dǎo)致在算法收斂的過程中，符號誤差起伏大.在算法的收斂過程中，線性內(nèi)插得到的符號MSE值均大于不加內(nèi)插以及拉格朗日內(nèi)插情況下的MSE值.而拉格朗日內(nèi)插的使用則使算法的初始誤差值保持在原來水平或者更小，從圖5(c)可看出，相較于不加內(nèi)插的情況，拉格朗日算法的初始MSE值減小了約10 dB.

3.2 星座圖、功率譜以及誤比特性能

圖6、圖7、圖8所示分別為系統(tǒng)在不同算法條件下所得的星座圖、功率譜密度圖以及誤比特率性能圖.從圖中可看出，因為功放的非線性作用，時域上信號星座圖發(fā)生偏轉(zhuǎn)、擴散，產(chǎn)生云團效應(yīng)，頻域上信號功率譜的帶內(nèi)、帶外差距變小，功率譜帶外擴展嚴重，嚴重影響系統(tǒng)的誤比特性能.所用的幾種算法均消除了星座圖的云團效應(yīng)，使功率譜的惡化情況有所改善，提高了系統(tǒng)的誤比特性能.

圖6 不同算法條件下的星座圖Fig.6 Constellations in different algorithms

圖7 不同算法下的功率譜密度圖Fig.7 PSDs in different algorithms

圖8 不同算法下的誤比特率性能Fig.8 BERs in different algorithms

總體來說，變步長條件下對功放的非線性改善效果要優(yōu)于固定步長情況下的，拉格朗日內(nèi)插的改善效果優(yōu)于不加內(nèi)插的，而線性內(nèi)插改善效果反而低于不加內(nèi)插以及拉格朗日內(nèi)插的情況，這與前面收斂曲線的仿真結(jié)果是相吻合的.通過對比可知，本文所改進的算法，即變步長情況下加拉格朗日內(nèi)插對于功放的非線性補償效果最佳.

4 結(jié)語

針對基于LUT的預(yù)失真技術(shù)查詢表收斂速度慢的缺陷，通過兩方面對其進行改進:一方面，采用變步長的RASCAL算法，在保證算法穩(wěn)態(tài)誤差的同時，提高算法的收斂速度;另一方面，在查詢表收斂過程中，對其進行拉格朗日內(nèi)插，以優(yōu)化自適應(yīng)算法的迭代初始值.經(jīng)MATLAB仿真，通過算法收斂曲線、星座圖、功率譜以及誤比特性能的對比，仿真結(jié)果均一致性地說明了本文所改進算法又好又快地補償了功率放大器的非線性影響，在系統(tǒng)誤比特率提高不大的前提下，減小了信號功率譜的帶內(nèi)損耗，降低了信號功率譜的帶外擴展，從而使得功率放大器高效率而又高線性度地工作.

［1］艾渤，李波，鐘章隊，等.寬帶功率放大器預(yù)失真原理［M］.北京:科學(xué)出版社，2011:5－8.

［2］Muhonen K J，Kavehrad M，Krishnamoorthy R.Look－up table techniques for adaptive digital predistortion:a development and comparison［J］.IEEE Transactions on Vehicular Technology，2000，49(5):1 995 －2 002.

［3］Rapp C.Effects of HPA－nonlinearity on 4－DPSK－OFDM signal for a digital sound broadcasting system［C］//Proc 2nd European Conference on Satellite Communications.Liege Belgium:［s.n.］，1991，2:179 －184.

［4］Saleh A，Salz J.Adaptive linearization of power amplification in digital radio systems［J］.Bell System Technical Journal，1983，62(4):1 019－1 033.

［5］Wright A S，Durtler W G.Experimental performance of an adaptive digital linearized power amplifier［C］//IEEE MTT －S Digest.Albuquerque:［s.n.］，1992:1 105 －1 108.

［6］Wesolowski K，Pochmara J.Efficient algorithm for adjustment of adaptive predistorter in OFDM transmitter［C］//IEEE 52nd VTC’2000.Boston:［s.n.］，2000，5:2 491 －2 496.

［7］艾渤，楊知行，潘長勇，等.基于LUT的HPA數(shù)字基帶預(yù)失真方法研究［J］.電子與信息學(xué)報，2007，29(7):1 580－1 583.