解釋線性回歸問題的新視角——向量法

☉廣東省中山紀(jì)念中學(xué) 徐全德

在普通高中新課標(biāo)教材人教A版必修3和選修（理科2-3，文科1-2）分兩部分介紹了統(tǒng)計中的線性回歸知識，此部分內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)是公式推導(dǎo)過程繁雜、數(shù)據(jù)運(yùn)算量大，不易理解和掌握.本文將嘗試從向量的視角，利用向量的基本運(yùn)算來證明和解釋線性回歸中的幾個問題，供各位教師教學(xué)時參考.

一、從向量的角度看回歸系數(shù)的推導(dǎo)

1.利用平面向量數(shù)量積的幾何意義推導(dǎo)回歸系數(shù)

對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），如圖：

2.利用向量的數(shù)量積的代數(shù)運(yùn)算推導(dǎo)回歸系數(shù)

為了敘述問題的方便，本文引進(jìn)四個n維向量：

下面就來介紹回歸系數(shù)的另一種推導(dǎo)方法：

說明：由向量的數(shù)量積知，公式①和公式③是一樣的，但向量表示在形式上會更簡單、運(yùn)算上更方便，這也是用向量法來描述統(tǒng)計問題的“優(yōu)勢”所在.

二、從向量的角度分析相關(guān)系數(shù)的意義

設(shè)向量p與t的夾角為θ，則相關(guān)系數(shù)：

利用公式④可以這樣解釋相關(guān)系數(shù)r的意義：當(dāng)越大，且時，θ→0或π，從而向量p與t越接近于共線.不妨設(shè)t≈bp（b為實(shí)常數(shù)），則：

這表明這組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性越強(qiáng).

反之，當(dāng)這組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則由上述過程易知：越大，且

三、從向量的角度解釋回歸模型中相關(guān)指數(shù)的意義

1.從偏差平方和分解的角度解釋相關(guān)指數(shù)的意義

由公式⑤知：在線性回歸模型中，相關(guān)指數(shù)：

即相關(guān)指數(shù)等于回歸平方和與總偏差平方和的商.因此，相關(guān)指數(shù)R2表示解釋變量對于預(yù)報變量的貢獻(xiàn)率：R2越大，表示回歸的效果越好.

2.從相關(guān)系數(shù)和相關(guān)指數(shù)關(guān)系的角度解釋相關(guān)指數(shù)的意義

由此及公式⑥得相關(guān)指數(shù)：

即相關(guān)指數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方.

因此，在一元線性回歸模型中，相關(guān)指數(shù)R2和相關(guān)系數(shù)r都能刻畫線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果：r越大，R2就越大，表示解釋變量和預(yù)報變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，模型擬合數(shù)據(jù)的效果就越好.

由上述過程可以看到：用向量的方法推導(dǎo)線性回歸問題中的相關(guān)公式，顯得更加方便、簡捷，再次體現(xiàn)了向量法的神奇之效，希望對各位教師教學(xué)這部分內(nèi)容時有一定的幫助.