利用換元法證明三角形不等式

☉湖北省大冶一中 胡曉臻 劉先進(jìn)

涉及三角形的不等式有很多，許多筆者對(duì)它的研究也很透徹，本文借幾道競賽題來談?wù)創(chuàng)Q元法在三角形不等式證明中的應(yīng)用.

設(shè)a，b，c是△ABC的三邊，證明相關(guān)不等式的過程中常作這樣的一個(gè)代換：a=y+z，b=z+x，c=x+y，這里x、y、z是有具體意義的，如圖所示，一圓內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)為D、E、F，不妨設(shè)AE=AD=x，BD=BF=y，CF=CE=z，作這樣的代換后的結(jié)論有：

下面以幾道競賽題來說明此法的應(yīng)用.

例1（費(fèi)-哈不等式）在△ABC中，求證：

a2+b2+c2≥4S+（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2.

解析：令c=x+y，a=y+z，b=z+x，x、y、z均為正數(shù).

原不等式即為：

此式由均值不等式易證.

例2（第26屆IMO的加強(qiáng)）△ABC中，求證：

解析：設(shè)a=y+z，b=z+x，c=x+y，x、y、z都是正數(shù).

此式易證.

例3證明歐拉不等式：

三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，求證：

R≥2r.

解析：設(shè)三角形的三邊長為a、b、c，令a=y+z，b=z+x，c=x+y.

即證.

運(yùn)用上述換元法，我們可以看出，將三角不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化成對(duì)稱性很好的不等式，就可以利用基本不等式來進(jìn)行證明了.

換元法不僅適用于競賽中的三角不等式，對(duì)一些平時(shí)常見的三角形不等式仍然適用.下面提供一些常見的不等式，均可以采用本文的方法進(jìn)行證明.

1.設(shè)a、b、c為△ABC的三邊，求證：

abc≥（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）.

2.設(shè)a、b、c為△ABC的三邊，求證：

a（2b+c-a）+b（2c+a-b）+c（2a+b-c）≤3abc.

3.設(shè)a、b、c為△ABC的三邊，求證：

4.△ABC中，若a+b+c=1，求證：