高考文科“概率統(tǒng)計”解答題將“何去何從”

☉湖北省黃石市第一中學 楊瑞強 秦 菊

2012年高考早已落下帷幕，縱觀新課改省份的“概率統(tǒng)計”部分的解答題，雖然試題難度不大，但是絕大多數(shù)亮點紛呈，讓人耳聰目明、眼前一亮.將統(tǒng)計與概率問題水乳交融——你中有我，我中有你，是她們的共同亮點.下面摘錄部分高考（或模擬）試題加以賞析，以期對2013年的備考復習有所幫助.

一、借助頻率分布直方圖，考查獨立性檢驗與古典概型

例1（2012年遼寧高考文科卷）電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查，其中女性有55名，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖，如圖1.

將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性.

（I）根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關？

圖1

（II）將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率.

解：（I）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2×2列聯(lián)表如下：

將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得

因為3.030＜3.841，所以沒有理由認為“體育迷”與性別有關.

（II）由頻率分布直方圖知，“超級體育迷”為5人，從而一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間為：

Ω=（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）

其中ai表示男性，i=1，2，3，bj表示男性，j=1，2.Ω由10個基本事件組成，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.

評析：本題借助統(tǒng)計中的頻率分布直方圖，考查獨立性檢驗與古典概型.準確讀取頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)是解題的關鍵.

二、借助頻率分布直方圖（或分布表），考查基本統(tǒng)計量——平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)

例2（2012年湖北省七市聯(lián)考文科卷）城市的空氣質(zhì)量以其空氣質(zhì)量指數(shù)API（為整數(shù)）衡量，指數(shù)越大，級別越高，說明污染越嚴重，對人體健康的影響也越明顯.根據(jù)API的不同，可將空氣質(zhì)量分級如下表：

為了解某城市2011年的空氣質(zhì)量情況，現(xiàn)從該城市一年空氣質(zhì)量指數(shù)API的監(jiān)測數(shù)據(jù)庫中，用簡單隨機抽樣方法抽取30個空氣質(zhì)量指數(shù)API進行分析，得到如下數(shù)據(jù)：

（I）在答題卡上完成頻率分布直方圖；

（II）根據(jù)頻率分布直方圖，估計質(zhì)量指數(shù)API的中位數(shù)與平均數(shù)；

（III）估計該城市一年中空氣質(zhì)量為優(yōu)與良的概率.

圖2

解：（Ⅰ）頻率分布直方圖如圖2所示.（Ⅱ）設質(zhì)量指數(shù)API的中位數(shù)為x，則

解得x=83.

評析：本題主要讓學生根據(jù)統(tǒng)計圖表，完善其相應的頻率分布直方圖，并借助頻率分布直方圖估計統(tǒng)計基本量——中位數(shù)與平均數(shù)，同時根據(jù)統(tǒng)計頻率推測概率.

三、借助回歸直線知識的載體，考查函數(shù)最值

例3（2012年福建高考文科卷）某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：

（I）求回歸直線方程?=bx+a，其中b=-20

（II）預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（I）中的關系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應定為多少元？（利潤=銷售收入-成本）

所以該產(chǎn)品的單價應定為8.25元時，工廠獲得的利潤最大.

評析：本題主要讓學生根據(jù)統(tǒng)計圖表中的數(shù)據(jù)，求出回歸直線方程，并在此基礎上建立函數(shù)模型（“利潤與銷量”的二次函數(shù)），轉(zhuǎn)化為探求函數(shù)最值問題.

四、借助表格數(shù)據(jù)探究回歸方程，考查變量間的相關關系

例4（2012年湖北省八市聯(lián)考文科卷）某研究性學習小組對春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關系進行研究，他們分別記錄了3月1日至3月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：

（Ⅰ）從3月1日至3月5日中任選2天，記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m，n，求事件“m，n均小于25”的概率；

（Ⅲ）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（Ⅱ）所得的線性回歸方程是否可靠.

解：（Ⅰ）m，n構(gòu)成的基本事件（m，n） 有：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10個.

當x=8時，y=17.

與檢驗數(shù)據(jù)的誤差均為1，滿足題意.故認為得到的線性回歸方程是可靠的.

評析：本題主要讓學生根據(jù)統(tǒng)計圖表中的數(shù)據(jù)，建立線性回歸直線方程，并根據(jù)誤差范圍推測檢驗線性回歸方程的可靠性.

在新課程背景下，文科數(shù)學取消了計數(shù)原理與排列組合等知識，古典概型中計數(shù)主要是通過列舉法來完成，方法單一化，操作機械化.因此，概率知識部分的考查難度降低.但是，新課程文科高考開創(chuàng)了將統(tǒng)計與概率巧妙結(jié)合的新局面.將統(tǒng)計中的統(tǒng)計圖（莖葉圖、頻率分布表、頻率分布直方圖等）、數(shù)字特征（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、標準差等）、抽樣方法（簡單隨機抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣等）、回歸分析、獨立性檢驗等統(tǒng)計知識與古典概率的巧妙穿插，在考查統(tǒng)計知識的同時有效地考查了概率知識，打破了以前統(tǒng)計考小題，概率考大題的陳舊局面.我們深信這樣的題型布局，在今后的新課程文科高考必將延續(xù).