高考數(shù)學試題命題策略解讀

☉浙江省嘉興市第一中學 沈新權（特級教師）

高考數(shù)學試題是各省市的命題專家經(jīng)過深思熟慮和嚴密討論后命制出來的，它們的來源主要是數(shù)學教材、歷年高考試題以及國內(nèi)外的競賽試題和高等數(shù)學，這些高考試題有的是以已有的陳題為藍本，通過改編題目的條件或結論或?qū)υ}目進行類比、推廣與拓展形成新的問題而得到的，也有的試題是把高等數(shù)學的一些知識移植到初等數(shù)學中來命制的，鑲嵌在各省市高考數(shù)學試卷中的一些創(chuàng)新題大多具有高等數(shù)學知識的背景.

一、來源于教材問題的改編

教材是數(shù)學知識和數(shù)學思想方法的載體，是我們進行課堂教學的依據(jù)，也是學生學習數(shù)學知識的工具，更是高考試題命題的重要來源之一，高考命題專家非常重視對教材問題的改編，因此，我們可以在高考試卷中找到不少以教材中的例題、習題或數(shù)學素材為背景而命制的高考試題.

1.將教材中的各種類型的習題改編命制高考試題

教材中的數(shù)學問題內(nèi)容豐富，層次分明，有例題、練習題、習題、復習參考題等，對其中的不少問題稍作改編，就能得到一道高考試題.

A.14 B.16 C.17 D.19

2.以教材欄目素材為背景命制高考試題

例2（2008年浙江卷理科第10題）如圖1，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內(nèi)運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（ ）.

圖1

A.圓 B.橢圓

C.一條直線 D.兩條平行直線

命題策略解讀：例2源自人教版A版選修2-1第42頁探究與發(fā)現(xiàn)欄目《為什么截口曲線是橢圓》.教材是這樣描述的：“用一個與圓柱的母線斜交的平面截圓柱，得到一條截口曲線.你能夠證明截口曲線是橢圓嗎？”例2的實質(zhì)是考查橢圓的本質(zhì)定義，即橢圓是由與圓柱的母線斜交的平面所截得的截口曲線的軌跡.試題以此為背景，使大家感到既在“意料之外”，但又在“情理之中”.無獨有偶，2010年浙江卷理科第19題是以人教A版選修2-3第70頁“高爾頓板模型”為背景來設計的高考試題.

3.以教材中問題的結論作為背景來命制高考試題

教材的例題、習題中有很多問題的結論有著深刻的背景，以這些背景命制的高考試題意蘊豐富，靈動有加.

命題策略解讀：人教版A版必修2第144頁復習參考題B組第2題的背景是阿波羅尼斯圓，也就是點M（x，y）與兩個定點M1，M2距離的比是一個正數(shù)m，當m≠1時，點M的軌跡是圓.由例3的條件我們可以知道，點C到點A的距離與點C到B的距離之比為，所以點C的軌跡是一個圓.由此我們很自然的想到下面的解法.如圖2，以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，由題意可得A（-1，0），B（1，0），設C（x，y），由BC得（x-3）2+y2=8，所以點C的軌跡是一個半徑為的圓，所以.這個問題的解法很多，但大多運算較繁，這里建立坐標系的解題思想的形成正是源于其命題的背景.

圖2

4.把教材中的問題進行再創(chuàng)造來命制高考試題

例4（2012年浙江卷理科第16題）定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離.已知曲線C1：y=x2+a到直線l：y=x的距離等于曲線C2：x2+（y+4）2=2到直線l：y=x的距離，則實數(shù)a=______.

二、來源于高考試題的改編

新課程改革以來，每年都會產(chǎn)生不少優(yōu)秀的高考數(shù)學試題，這些高考試題必然會受到高考命題者的青睞，把它們改頭換面，使之“脫胎換骨”成新的高考試題.

1.改編條件，交換結論

命題者經(jīng)常把高考題中的條件和所要求的或證明的問題相互交換，構造一個新的問題，如此一來，條件和結論經(jīng)過“排列組合”的高考試題就可以重新“粉墨登場”了.這是命題者經(jīng)常使用的命題方式之一.

例5（2009年全國大綱卷理科第6題）設a，b，c是單位向量，且a·b=0，則（a-c）·（b-c）的最小值為（ ）.

例6（2008年浙江卷理科第9題）已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足（a-c）·（b-c）=0，則的最大值是（ ）.

A.1 B.2 CD.

命題策略解讀：單位向量、數(shù)量積的運算、夾角的大小、模的最值是向量問題中的永恒“主題”，以此為背景的高考題層出不窮.例5把例6中的條件“（a-c）·（b-c）=0”改編為問題“求（a-c）·（b-c）的最小值”，而原題中所求的“的最大值”則被改編為條件“c為單位向量”，如此的簡單交換，題目的新意卻由此產(chǎn)生.與此類似的題目還有2009年全國卷Ⅰ理科第6題，2011年遼寧卷理科第10題等，這些題目與例6有異曲同工之妙.

2.移花接木、拓展延伸

改變問題的背景，也是命題者慣用的一種手法.這種改編方式經(jīng)常出現(xiàn)在解析幾何問題中，例如根據(jù)某一個問題，命題者把其中的圓改成圓錐曲線，或者把橢圓、雙曲線、拋物線互相交換，從而得到新的命題.

圖3

（1）求橢圓C的方程；

在模型OPM(t)基礎上，可以發(fā)展2個模型，用于后續(xù)算法設計，模型描述見表1，其中：OPM1(t)最小化相鄰階段貝內(nèi)計劃偏差，該模型求解獲得的目標函數(shù)值記為最小化t階段的貝內(nèi)橫傾力矩，將相鄰階段貝內(nèi)計劃偏差作為約束，上邊界取值

（2）E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明：直線EF的斜率為定值，并求出這個定值.

圖4

圖5

例9（2005年江西卷文科第21題第（1）問）如圖5，M是拋物線上y2=x上一點，動弦ME，MF分別交x軸于A，B兩點，且MA=MB.若M為定點，證明：直線EF的斜率為定值.

命題策略解讀：例7的第（2）問同時參考了例8、例9兩道高考題.在例8中，兩條直線的傾斜角互補意味著這兩條直線的斜率互為相反數(shù)，而在例9中，由“動弦ME，MF分別交x軸于A，B兩點，且MA=MB”可知△AMB（見圖5）為等腰三角形，∠MAB=∠MBA，即∠MAB+∠MBx=π，所以ME，MF的斜率也互為相反數(shù).因此，從中可以看到，遼寧卷的命題者只是把拋物線背景改成了橢圓，它們本質(zhì)上都是過定點作兩條直線與圓錐曲線分別交于兩點，且這兩條直線斜率相反.然后證明兩直線與圓錐曲線的交點的連線的斜率為定值.基于此，這幾道題的解題思路和方法基本相同，都要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，根據(jù)韋達定理求出其中一個交點的坐標，由兩條直線斜率互補求出另一個交點的坐標，最后根據(jù)兩點式確定所求直線的斜率為定值.

在解析幾何的高考試題中，類似的命題手法經(jīng)常出現(xiàn).命題者往往從圓錐曲線（或圓）的某個幾何性質(zhì)出發(fā)，經(jīng)過適當?shù)匿亯|，把它們改編成高考試題.上海教育出版社出版的蔣聲翻譯的《圓錐曲線的幾何性質(zhì)》一書中有很多解析幾何高考試題的“母題”.

3.隱藏背景，殊途同歸

有些經(jīng)典的數(shù)學問題題目簡潔，解法多樣，對學生思維能力的培養(yǎng)有著非常重要的作用，這些問題往往成為高考題中的“常青樹”，命題者通過各種命題手法，給題目套上不同的“外套”，隱藏原題的背景，讓它轉變成為新的高考試題.但層層“剝殼”之后，我們會發(fā)現(xiàn)這些高考試題的“廬山真面目”.

例10（2009年山東卷理科第20題）等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的n∈N*，點（n，Sn）均在函數(shù)y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)）的圖像上.

（1）求r的值；

例11（1985年上海卷理科第8題）求證：

以此為命題手法的高考題舉不勝舉，如2007年重慶卷理科第21題、2008年福建卷理科第22題等.

三、來源于競賽問題的改編

嚴格說來，競賽題和高考題并沒有本質(zhì)上的區(qū)別，但相比高考題，很多競賽題的分析、求解需要用較高層次的思維方法，所以，從試題的難易程度來講，大部分數(shù)學競賽試題與高考題不屬于同一個層次，它們不能和側重考查基礎知識和基本技能的高考題相提并論.但高考和競賽這兩種考試的選拔功能又決定了兩者之間有許多可以相互借鑒之處，所以高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)競賽數(shù)學的思想和方法也就不足為怪了.

1.改編競賽題的情景，使之成為高考試題

對有較高能力要求的數(shù)學競賽試題，如果改編其情景，將問題多設置幾個臺階，那么這個問題就可以作為高考的能力題.

例12（2008年遼寧卷理科第11題）在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線（ ）.

A.不存在 B.有且只有兩條

C.有且只有三條 D.有無數(shù)條

例13（1997年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試第6題）如果空間中三條直線a，b，c兩兩成異面直線，那么與a，b，c都相交的直線有（ ）.

A.0條 B.1條

C.多于1條的有限條 D.無窮多條

命題策略解讀：例13給我們感覺有點“天馬行空”的味道，直接把它作為高考試題肯定不太合適，而解決這個問題的核心方法也正是立體幾何處理問題的常用方法，即把空間問題轉化到一個平面內(nèi)來加以處理.于是例12就應運而生了，它是例13的一種特殊情況，也就是說，把例13中三條兩兩成異面直線的直線a，b，c置于正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)，使之成為了A1D1，EF，CD，這樣設置臺階，不僅改變了問題“可怕”的外觀，使例13變成了例12，更妙的是這一改編實際上是向考生提示了問題的解決方法，從而減小了例12的難度.

2.模擬競賽試題的問題背景，命制高考試題

例14 （2011年浙江卷理科第21題第（2）問）如圖6，已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y-4）2=1的圓心為點M.已知點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

圖6

圖7

例15 （2008年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試第15題）如圖7，P是拋物線y2=2x上的動點，點B，C在y軸上，圓（x－1）2+y2=1內(nèi)切于△PBC，求△PBC面積的最小值.

命題策略解讀：光從題目上看，我們好像看不出這兩個問題之間的聯(lián)系，但如果作出圖像，我們就知道這兩道題目有著千絲萬縷的關系.兩題的幾何背景十分相似，都是過拋物線上一點作拋物線內(nèi)部一個圓的兩條切線，例14討論的是過點P的圓的切線與拋物線交于A，B，當直線AB與PM垂直時，求直線PM的方程.例15要求的是過點P的圓的切線與y軸的交點構成的三角形面積的最小值.雖然兩道題目所求解的內(nèi)容不太一樣，但由于它們有著幾乎共同的背景導致這兩個問題的解法基本一樣.在例14中，由題意可知M（0，4），要求直線l的方程，就要求出點P的坐標；而要求例15中△PBC面積的最小值，也需要求出點P的坐標.在解題時，對于A，B的坐標（例15中是B，C），我們可運用“設而不求”的方法，這是處理解析幾何中直線與圓錐曲線相交問題時常用的方法，即使是解決以競賽題為背景的例15也毫無二致.

3.借鑒競賽數(shù)學的思想，編擬高考試題

縱觀歷年各省市的高考試題，我們不難發(fā)現(xiàn)在高考數(shù)學試題中時隱時現(xiàn)的數(shù)學競賽思想，這些思想往往與高中數(shù)學內(nèi)容相關，但平時教學中又較少涉及，以此來編擬高考試題可以體現(xiàn)試題的新穎性.

例16（2010年江西卷理科第22題）證明以下命題：（1）對任一正整數(shù)a，都存在整數(shù)b，c（b＜c），使得a2，b2，c2成等差數(shù)列；（2）存在無窮多個互不相似的三角形△n，其邊長an，bn，cn為正整數(shù)且an2，bn2，cn2成等差數(shù)列.

命題策略解讀：第（1）問的核心在于對任一正整數(shù)a，都能夠找到整數(shù)b，c（b＜c），使得a2，b2，c2成等差數(shù)列，也就是確定使等式2b2=a2+c2成立的整數(shù)b，c（b＜c）的值，因此這個問題從方程的角度來看，就是其未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)，這樣的方程其實就是不定方程.不定方程是初等數(shù)論中的一個重要內(nèi)容和課題，也是高中數(shù)學競賽的內(nèi)容之一，所以，例16是以數(shù)學競賽中的不定方程為背景而命制的題目.雖然其命題思想是借用數(shù)學競賽中的不定方程的思想，但解決方法還是限定在中學數(shù)學知識范疇內(nèi)，考生在思考時，只要理解這個問題的本質(zhì)，就可以利用解方程的思想，用湊數(shù)法來找出這個不定方程的解，從而解決問題.這類問題的解法的“巧妙性”正是命題者苦心積慮設置的“機關”，主要目的就是為了區(qū)分不同思維層次的學生.

四、來源于高等數(shù)學的高考題

高考數(shù)學命題組的核心成員是高校教師，他們更理解初等數(shù)學與高等數(shù)學之間的密切關系，他們命題時能夠使高考試題隱含或直接體現(xiàn)高等數(shù)學的一些知識、思想和方法，這樣的試題背景公平，奪人眼球.

1.利用高等數(shù)學中的基本知識命制高考信息題

運算是數(shù)學的基礎，實數(shù)和實數(shù)相加仍舊是實數(shù)，但實數(shù)與實數(shù)相加卻不一定是有理數(shù).類似的數(shù)學中淺顯的道理對于站在更高觀點的高考命題者來說，卻是一次次命題的良機.高等數(shù)學中的一些數(shù)學概念與高中的數(shù)學概念相比具有更廣泛的意義，比如我們熟知的三角形、圓等幾何圖形在高等數(shù)學看來就是具有某些特征的點的集合，這種特征也可以作為高考數(shù)學命題的背景.

例17（2011年廣東卷理科第8題）設S是整數(shù)集Z的非空子集，如果?a，b∈S有ab∈S，則稱S關于數(shù)的乘法是封閉的.若T，V是Z的兩個不相交的非空子集，T∪V=Z，且?a，b，c∈T有abc∈T；?x，y，z∈V，有xyz∈V，則下列結論恒成立的是（ ）.

A.T，V中至少有一個關于乘法是封閉

B.T，V中至多有一個關于乘法是封閉的

C.T，V中有且只有一個關于乘法是封閉的

D.T，V中每一個關于乘法都是封閉的

例18（2010年福建卷文科第15題）對于平面上的點集Ω，如果連接Ω中任意兩點的線段必定包含于Ω，則稱Ω為平面上的凸集.如圖8，給出平面上4個點集的圖形（陰影區(qū)域及其邊界），其中為凸集的是______（寫出所有凸集相應圖形的序號）.

圖8

命題策略解讀：集合運算的封閉性是高等數(shù)學中抽象代數(shù)這門學科的基礎知識，例17這道高考題就是以集合運算的封閉性為背景的新定義題.該題的關鍵是首先要理解“S關于數(shù)的乘法是封閉的”這一概念，我們前面提到的實數(shù)和實數(shù)相加仍舊是實數(shù)就說明實數(shù)集對于加法是封閉的，有了這樣的認識，這種題目的解答就不攻自破了.在例18中，凸集是一個抽象的概念，實際上它是高等數(shù)學中的點集拓撲學中的一個基本概念，這道高考題以凸集的概念為背景，考查了考生對新概念的理解能力.理解凸集的關鍵是“對于平面上的點集Ω，連接Ω中任意兩點的線段必定包含于Ω”，除了前面提到的三角形、圓以外，正方形、梯形等幾何圖形都是凸集.雖然這種問題具有高等數(shù)學的背景，一旦“剝開”了“高等數(shù)學外套”，我們就會發(fā)現(xiàn)它考查的知識和思路非常基礎.

2.選擇高等數(shù)學中可以用初等方法解決的問題來命制高考試題

在近幾年的高考試題中，頻頻出現(xiàn)一類題目，雖然利用中學的數(shù)學知識可以解決，但是如果從高等數(shù)學的相關知識的視角去分析，問題的解決往往是“小菜一碟”，這樣的試題也即所謂的“高觀點”試題，它們在知識上具有一定的深度，符合高考“能力立意”命題的宗旨，既突出了數(shù)學的學科特點，又較好的甄別學生的數(shù)學能力.

3.借助高等數(shù)學中的著名問題命制高考試題

高等數(shù)學中有一些意味深長的著名問題，如“四色問題”、“錯位排列問題”、“賭金分配問題”等，利用這些問題命制高考試題的方法是，先考慮這些問題的簡單情形，再賦予其具體的問題情景，新的題目就不請自來了.

例20（2010年浙江卷理科第17題）有4位同學在同一天的上午、下午參加“身高與體重”“立定跳遠”“肺活量”“握力”“臺階”五個項目的測試，每位同學上午和下午各測試一個項目，且不重復.若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上午和下午都各測試一人.則不同的安排方式共有______種（用數(shù)字作答）.

命題策略解讀：例20要求“上午不測‘握力’項目，下午不測‘臺階’項目”，仔細分析下來，這其實是一道有限制條件的錯位排列問題.首先我們知道，上午測試安排有種方法，對于下午的測試，我們把它分為兩類：第一類：若上午測試“臺階”的同學下午測試“握力”，其余三位同學有2種測試方法（相當于3個元素的錯位排列）；第二類：若上午測試“臺階”的同學下午不測試“握力”，則這位同學有種方法選擇，其余三位同學選1人測試“握力”有種方法，其余兩位只有1種測試方法（相當于2個元素的錯位排列），因此，這時共有·=9種方法.從而，我們知道滿足條件的測試方法共有·（2+9）=264種.直到我們做完這個題目才知道“錯位排列問題”“隱藏”其中.

“操千曲而后曉聲，觀千劍而后識器”.高考數(shù)學試題的命制是一個非常復雜的課題，我們這里總結的命題策略可能僅僅是“滄海一粟”，但通過研究，我們可以肯定的是，高考數(shù)學試題不是無中生有的，它植根于數(shù)學內(nèi)在發(fā)展的規(guī)律；高考數(shù)學試題也并不是我們所想象的那么神秘，它誕生于我們對數(shù)學的探究.每一個高考數(shù)學試題都有著明確的考查目標，每一個高考數(shù)學試題的背后也都有著一個個精彩的數(shù)學故事，甚至還蘊藏著豐富的數(shù)學背景，研究高考試題不僅僅是研究高考試題的考查重點和解題方法，我們更應該高度關注高考試題的來源和命題策略，讓高考試題為教學所用，以此來引導學生重視對高考數(shù)學試題的練習和研究，從而真正發(fā)揮高考數(shù)學試題所應該發(fā)揮的作用.

1.張琥.例析以高等數(shù)學為背景的高考數(shù)學試題［J］.中學數(shù)學，2012（4）.

2.秦洪銀.細心揣摩課本題，有機生成高考題［J］.中學數(shù)學，2012（7）.