“形“”性”而解——淺議阿基米德三角形的應(yīng)用

☉浙江省新昌中學(xué) 王寧嵐

在近幾年全國(guó)各地高考的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及到與一個(gè)特殊的“三角形”——由拋物線(xiàn)的弦及過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形有關(guān)的問(wèn)題，這個(gè)三角形常被稱(chēng)為阿基米德三角形.因?yàn)槭前⒒椎伦钤缭凇稈佄锞€(xiàn)的球積法》著作中利用逼近的思想證明了有關(guān)性質(zhì)：拋物線(xiàn)的弦與拋物線(xiàn)所圍成的封閉圖形的面積是阿基米德三角形面積的三分之二.本文證明了阿基米德三角形的幾個(gè)有趣性質(zhì)，并用它來(lái)解一些近幾年中出現(xiàn)的高考試題.證明時(shí)拋物線(xiàn)均以x2=2py為例，阿基米德三角形為△ABP，其中AB為弦，P為另一個(gè)頂點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)，下不贅述.

圖1

性質(zhì)1：如圖1，△ABP的邊AB過(guò)拋物線(xiàn)內(nèi)一定點(diǎn)C，則另一頂點(diǎn)P的軌跡為一條直線(xiàn).

利用直線(xiàn)PA滿(mǎn)足的關(guān)系式：x1x0=p（y0+y1），將x1x0用p（y0+y）1代入①式并整理可得直線(xiàn)AB的方程為：x0x=p（y0+y），又直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)C（a，b）得x0a=p（y0+b），由P（x0，y0）的任意性可知P的軌跡方程為ax=p（b+y），即頂點(diǎn)P的軌跡為一條直線(xiàn).

注：若弦AB過(guò)的定點(diǎn)C不在y軸上時(shí)，直線(xiàn)在拋物線(xiàn)外且與y軸不垂直；若弦AB過(guò)y軸上的定點(diǎn)C（0，b）時(shí)，直線(xiàn)與y軸垂直，且方程為y=-b.

性質(zhì)2：若直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，則以直線(xiàn)l上的點(diǎn)P為頂點(diǎn)的△ABP的底邊AB過(guò)定點(diǎn).

證明：設(shè)直線(xiàn)l的方程為ax+by+c=0，由條件直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)可知b必不為零，設(shè)P（x0，y0），則

由①②整理得（bx+pa）x0+p（c-by）=0.

圖2

性質(zhì)3：如圖2，△ABP中，若N為拋物線(xiàn)弦AB的中點(diǎn)，則直線(xiàn)PN平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.

例1設(shè)拋物線(xiàn)方程為x2=2py（p＞0），M為直線(xiàn)y=-2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B.求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

圖3

例2如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)y軸正方向上一點(diǎn)C（0，c）任作一直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)y=x2相交于AB兩點(diǎn)，一條垂直于x軸的直線(xiàn)，分別與線(xiàn)段AB和直線(xiàn)l：y=-c交于P，Q.

（1）若P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求證：QA為此拋物線(xiàn)的切線(xiàn)；

（2）試問(wèn)（1）的逆命題是否成立？說(shuō)明理由.

圖4

例3如圖5，對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，An（xn，yn）是拋物線(xiàn)x2=4y上的點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)FAn交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)Bn（sn，tn）.

（Ⅰ）試證：xnsn=-4（n≥1）；

（Ⅱ）取xn=2n，并記Cn為拋物線(xiàn)上分別以An，Bn為切點(diǎn)的兩條切線(xiàn)的交點(diǎn).

圖5

證明：（Ⅰ）對(duì)任意固定的n≥1，因?yàn)榻裹c(diǎn)F（0，1），所以可設(shè)直線(xiàn)AnBn的方程為y-1=knx，將它與拋物線(xiàn)方程x2=4y聯(lián)立得：x2-4knx-4=0；

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得xnsn=-4（n≥1）.

性質(zhì)5：如圖4：在△ABP中，若F為拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，則∠PFA=∠PFB.

因?yàn)椤螾FA∈（0，π），∠PFB∈（0，π），所以∠PFA=∠PFB.

推論：在阿基米德三角形ABP中，若弦AB過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F，則PF⊥AB.

例4如圖6，設(shè)拋物線(xiàn)C：y=x2的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l：x-y-2=0上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作拋物線(xiàn)C

的兩條切線(xiàn)PA、PB，且與拋物線(xiàn)C分別相切于A、B兩點(diǎn).

（1）求△APB的重心G的軌跡方程.

（2）證明∠PFA=∠PFB.

說(shuō)明：本文命制背景實(shí)際上就是上面性質(zhì)5的證明.

圖6

值得注意的是阿基米德三角形還有其他許多性質(zhì)，這里限于篇幅恕不展開(kāi)，另外橢圓與雙曲線(xiàn)中也具有許多相似的性質(zhì)，有興趣的讀者可繼續(xù)探究.

1.吳躍生.再談拋物線(xiàn)的阿基米德三角形的性質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通訊，1999（8）.

2.王學(xué)鳳，劉曉銳.悄然興起的阿基米德三角形［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2009（5）.