航空重力梯度測(cè)量系統(tǒng)及數(shù)據(jù)預(yù)處理方法

鄭 崴，陳學(xué)鋒

（1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué) （北京）地球物理與信息技術(shù)學(xué)院，北京 100083；2.河南高等機(jī)電專(zhuān)科學(xué)校，河南 新鄉(xiāng) 453000；3.河南科技學(xué)院信息工程學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453003）

1 緒言

重力勘探是地球物理勘探的基本方法之一。它是在地球表面上利用重力儀，測(cè)量由于地下物質(zhì)密度分布不均勻引起的重力變化（或重力異常），這種物質(zhì)密度的分布與地質(zhì)構(gòu)造及礦產(chǎn)分布有密切的關(guān)系。因此，通過(guò)研究重力異常，可以了解和推斷地球的結(jié)構(gòu)、地殼的構(gòu)造，以及勘探礦產(chǎn)資源等等。最早用于重力勘探的設(shè)備是測(cè)量重力梯度的扭稱(chēng)，但是由于設(shè)備笨重，效率低下，在20世紀(jì)50年代，被更輕便，效率較高的重力儀所取代［1］。可以說(shuō)重力勘探是由重力梯度測(cè)量開(kāi)始的。20世紀(jì)70年代以后，出于軍事方面應(yīng)用的需求，重力梯度儀獲得了飛速的發(fā)展，美國(guó)、法國(guó)等國(guó)家先后研制出了不同原理、不同結(jié)構(gòu)的重力梯度儀。而現(xiàn)代電子技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)、超導(dǎo)量子干涉技術(shù)、低溫微波空腔諧振技術(shù)、超導(dǎo)負(fù)彈簧技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用，重力梯度儀的靈敏度和穩(wěn)定性取得了突破性的進(jìn)展。由于重力梯度相對(duì)于重力異常具有更高的分辨率，隨著重力梯度儀的發(fā)展，它在地質(zhì)資源勘查、地質(zhì)調(diào)查等領(lǐng)域發(fā)揮出重要的作用。

相對(duì)于地面測(cè)量技術(shù)來(lái)講，航空重力梯度測(cè)量具有快速、經(jīng)濟(jì)和高精度的特點(diǎn)，它幾乎可以到達(dá)任何測(cè)量區(qū)域。除了應(yīng)用于精細(xì)地質(zhì)勘探外，還應(yīng)用于國(guó)防、軍事領(lǐng)域。因此，航空重力梯度測(cè)量技術(shù)是重力勘探中最新、最先進(jìn)的技術(shù)。本文首先介紹航空重力梯度測(cè)量的基本概念與發(fā)展現(xiàn)狀，然后討論標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換在航空重力梯度數(shù)據(jù)預(yù)處理中的應(yīng)用。

2 重力和重力梯度

在地球表面任一點(diǎn)的重力是由地球引力與地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的慣性離心力的合力，它與在地球表面的位置和物體的質(zhì)量有關(guān)。三度體在u＝（x，y，z）處的重力場(chǎng)可以用重力位的標(biāo)量函數(shù)

式中，G為萬(wàn)有引力常數(shù)，為u'＝（x'，y'，z'）物質(zhì)的密度。

在笛卡爾坐標(biāo)系中，可以從重力位推導(dǎo)出重力和重力梯度的表達(dá)式。重力是重力位的一階導(dǎo)數(shù)，即

重力儀測(cè)量的是垂直方向分量gz，即

而重力梯度是重力位的二階導(dǎo)數(shù)，即重力加速度矢量的三個(gè)分量分別沿直角坐標(biāo)系三個(gè)方向的一階導(dǎo)數(shù)。重力梯度是一個(gè)張量，可以表示為式（4）中的形式。圖1位重力場(chǎng)矢量及其梯度示意圖。

在無(wú)源的空間內(nèi)，引力的散度和旋度均為0，所以重力梯度是一個(gè)對(duì)稱(chēng)的張量，有TXY＝TYX，TXZ＝TZX，TYZ＝TZY，且有TXX＋TYY＋TZZ＝0，因此，重力梯度張量的9個(gè)分量中，只有5個(gè)是獨(dú)立的分量。

在球坐標(biāo)系中，設(shè)有一質(zhì)量為M的均質(zhì)球體，則有

圖1 重力場(chǎng)矢量及其梯度示意圖

式中，r為測(cè)量點(diǎn)到目標(biāo)體中心的距離，由式（5）可見(jiàn)，物體的密度與距離r成反比，重力與r2成反比而重力梯度與距離的3次方r3成反比，可見(jiàn)，重力梯度比重力衰減的快，利用重力梯度可以更好的估計(jì)物體邊緣的位置，所以說(shuō)重力梯度相比于重力來(lái)講具有更高的分辨率。而重力梯度異常值反映的是由于地下密度分布不均勻的重力異常在空間的變化率，重力梯度張量的各分量，可以反映出目標(biāo)地質(zhì)體不同的地質(zhì)特征，如圖2（a）是針對(duì)已知地質(zhì)目標(biāo)完成的一次航空重力梯度測(cè)量所獲取的結(jié)果，已知目標(biāo)地質(zhì)體為鹽類(lèi)的蓋層，表現(xiàn)為T(mén)ZZ圖中圓圈部分所顯示的正值異常。而在圖2（b）中的各個(gè)張量分量則可以明顯的分辨出目標(biāo)體的地質(zhì)特征，其中TXX和TXY可以顯示出目標(biāo)體的南北向的邊緣位置，從圖中能夠明顯的分辨出目標(biāo)體的南北向的位置輪廓；同樣的，由TYY和TYZ圖可以分辨出目標(biāo)體的東西向的邊緣位置。而由TXY圖則顯示出蓋層具有典型的2高點(diǎn)和2低點(diǎn)的特點(diǎn)4極異常。

圖2 已知鹽類(lèi)蓋層航空重力梯度測(cè)量張量分量特征

3 航空重力測(cè)量的基本原理和航空重力梯度測(cè)量系統(tǒng)

根據(jù)牛頓第二定律，作用于單位質(zhì)點(diǎn)上的總加速度矢量fi（稱(chēng)為比力），與載體運(yùn)動(dòng)加速度矢量ri和引力加速度矢量Gi的關(guān)系可以表示為

因此，要獲得引力加速度Gi，必須獲得載體運(yùn)動(dòng)加速度ri，再?gòu)臏y(cè)得的比力fi中將其減去。在地面靜止?fàn)顟B(tài)下，重力儀的運(yùn)動(dòng)加速度ri＝0，此時(shí)重力儀測(cè)得的就是重力場(chǎng)矢量。而在航空重力梯度測(cè)量中，由于運(yùn)動(dòng)加速度不斷的變化且不為零，就必須在測(cè)得的比力fi中分離出運(yùn)動(dòng)加速度ri，而分離方法是通過(guò)對(duì)共用基線的兩個(gè)加速度計(jì)的輸出求差，以消除載體運(yùn)動(dòng)的影響。如果共用基線是旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定的，由差值讀數(shù)可以獲得重力梯度分量，這也是重力梯度測(cè)量的基本原理。除了要消除載體運(yùn)動(dòng)加速度帶來(lái)的影響，還要保證在測(cè)量過(guò)程當(dāng)中，加速度計(jì)保持在平穩(wěn)、穩(wěn)定的工作狀態(tài)，這一點(diǎn)主要是通過(guò)硬件來(lái)實(shí)現(xiàn)，如可以將加速度計(jì)安裝在INS（Inertial Navigation System）慣導(dǎo)平臺(tái)等。

這里主要介紹兩種已經(jīng)投入商用的航空重力梯度測(cè)量系統(tǒng)。

3.1 基于旋轉(zhuǎn)加速度計(jì)的重力梯度系統(tǒng)

旋轉(zhuǎn)加速度計(jì)重力梯度系統(tǒng)是市面上唯一投入商用的航空重力梯度系統(tǒng)，又分為全張量測(cè)量系統(tǒng)和部分張量測(cè)量系統(tǒng)。

全張量重力梯度測(cè)量系統(tǒng)是由美國(guó)Bell Aerospace（現(xiàn)已并入Lockheed Martin公司）自主研究制造的Air-FTG系統(tǒng)。它的核心器件都是圖3所示的旋轉(zhuǎn)加速度儀（GGI，Gravity Gradient Instrument），它是將兩對(duì)相互正交的加速度計(jì)安裝在一個(gè)圓底盤(pán)的邊緣上。GGI旋轉(zhuǎn)工作時(shí)，每對(duì)加速度計(jì)感應(yīng)的圓盤(pán)的運(yùn)動(dòng)加速度大小相等方向相反，可以互相抵消。通過(guò)計(jì)算每對(duì)加速度計(jì)間的距離和底盤(pán)的旋轉(zhuǎn)頻率，可以測(cè)得一個(gè)平面上的兩個(gè)梯度分量。一個(gè)全張量梯度測(cè)量系統(tǒng)包括三個(gè)GGI，這三個(gè)GGI的軸線互相垂直，每個(gè)GGI的軸線沿鉛垂線以同樣的角度相交，從上向下看，三條軸線的投影角度為120度，如圖4所示。為保證測(cè)量精度，GGI必須以恒定的速度繞垂直軸方向旋轉(zhuǎn)。同時(shí)，為了隔離載體運(yùn)動(dòng)過(guò)程對(duì)系統(tǒng)的影響，可以將旋轉(zhuǎn)加速度儀安裝在由陀螺儀穩(wěn)定的慣性平臺(tái)上。另外，系統(tǒng)配備獨(dú)立的坐標(biāo)系，通過(guò)將三個(gè)GGI在外部坐標(biāo)上的梯度分量進(jìn)行線性組合，可以計(jì)算出重力梯度張量的5個(gè)獨(dú)立分量，進(jìn)而得到重力梯度張量的全部分量值。

圖3 加速度計(jì)安裝及轉(zhuǎn)盤(pán)運(yùn)動(dòng)示意圖

圖4 Air-FTG的三軸GGI示意圖

部分重力梯度張量測(cè)量系統(tǒng)的代表是由澳大利亞的BHB Billiton公司出資研制的FALCON系統(tǒng)，此系統(tǒng)于1997年研制成功，1999年投入商業(yè)航空物理勘探。與全張量系統(tǒng)相比，F(xiàn)ALCON只配備一個(gè) GGI，它可以直接測(cè)量出TXY，（TXX－TYY）/2兩個(gè)梯度分量，再通過(guò)面積性測(cè)量和數(shù)學(xué)變換得到重力水平分量gx和梯度分量TXX，根據(jù)實(shí)際需要，它還可以由TXY計(jì)算出其他的張量分量，也就是說(shuō)FALCON系統(tǒng)可以通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算的方法得到全部張量分量。

3.2 超導(dǎo)航空重力梯度系統(tǒng)

超導(dǎo)航空重力梯度系統(tǒng)（SGG）的研制源于20世紀(jì)70～80年代，近十年來(lái)，超導(dǎo)航空重力系統(tǒng)作為下一代的主力航空重力勘探系統(tǒng)，已經(jīng)成為目前研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。超導(dǎo)航空重力梯度系統(tǒng)的設(shè)計(jì)指標(biāo)是具有更高的靈敏度和更精確的測(cè)量結(jié)果，設(shè)計(jì)噪聲指標(biāo)優(yōu)于1E。

英國(guó)的ARKeX公司正在改造用于衛(wèi)星上超導(dǎo)重力梯度系統(tǒng)，由于衛(wèi)星的飛行比較平穩(wěn)，而飛機(jī)的加速度很大，ARKeX改造的重點(diǎn)就在克服飛機(jī)的飛行干擾上。ARKeX公司的最終目標(biāo)是生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)世界上首臺(tái)超導(dǎo)勘探重力梯度儀EGG（Exploration Gravity Gradiometer）。EGG的設(shè)計(jì)可配備六個(gè)加速度計(jì)模塊，用來(lái)測(cè)量全部的梯度張量分量，但在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中制造出的第一臺(tái)EGG只用了兩個(gè)加速度計(jì)模塊，只能測(cè)量垂直方向的張量元素TZZ。

4 航空重力梯度測(cè)量的數(shù)據(jù)預(yù)處理

全張量重力梯度測(cè)量系統(tǒng)是目前應(yīng)用較廣泛的航空重力梯度測(cè)量系統(tǒng)，以它的數(shù)據(jù)處理過(guò)程來(lái)介紹航空重力梯度的數(shù)據(jù)預(yù)處理方法。FTG的數(shù)據(jù)處理過(guò)程主要有兩個(gè)階段：數(shù)據(jù)預(yù)處理階段和后任務(wù)處理階段。第一個(gè)階段是實(shí)現(xiàn)對(duì)加速度計(jì)的輸出值因外界測(cè)量環(huán)境的變化而進(jìn)行的補(bǔ)償。加速度計(jì)是在飛機(jī)高速運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)下完成測(cè)量，因此，在這個(gè)階段，需要對(duì)量測(cè)量進(jìn)行一些必要的校正，這些校正主要針對(duì)以下幾種影響：①每一個(gè)AGG的底部磁盤(pán)高速旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的向心力的影響；②飛機(jī)飛行方向變化和飛行姿態(tài)變化的影響；③飛機(jī)飛行過(guò)程中燃油消耗量變化的影響④飛行過(guò)程中加速度不斷變化的影響。

當(dāng)這些校正完成后，還要對(duì)校正后的數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，以供第二個(gè)數(shù)據(jù)處理階段——后任務(wù)處理階段使用。在預(yù)處理的最后，需要將校正后的數(shù)據(jù)重新插值到0.5Hz，同時(shí)解算出每一個(gè)張量元素值，并將其換算到外部現(xiàn)實(shí)世界的直角坐標(biāo)系統(tǒng)。而后任務(wù)處理階段的主要任務(wù)是降噪，即在存在大量隨機(jī)干擾的測(cè)量數(shù)據(jù)中獲得有用數(shù)據(jù)的信息，使得輸出的張量分量具有較為滿意的信噪比。這需要多種濾波技術(shù)的支持來(lái)實(shí)現(xiàn)。

4.1 傅里葉變換解算重力梯度張量分量

不難看出，在數(shù)據(jù)預(yù)處理階段，解算出重力梯度張量的各個(gè)分量并實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)軸的變換，在數(shù)據(jù)預(yù)處理階段是非常重要的，為了獲得符合解釋要求的數(shù)據(jù)，還要保證解算出的張量具有可觀的信噪比（S/N）。這種數(shù)據(jù)預(yù)處理的要求，可以由標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。因?yàn)橹亓μ荻葟埩繉?shí)際是重力位的在各個(gè)坐標(biāo)軸方向的二階導(dǎo)數(shù)，利用重力梯度的傅里葉變換就可以導(dǎo)出相應(yīng)的重力位。重力位是重力測(cè)量中很重要的物理量，一旦確定了重力位，所有的重力分量都可以由它得到。并且，在進(jìn)行傅里葉變換的同時(shí)，可以設(shè)計(jì)合適的加權(quán)函數(shù)來(lái)抑制噪聲的影響，達(dá)到提高信噪比的目的。

設(shè)在測(cè)量過(guò)程中飛機(jī)的飛行高度是不變的，在高度為Z的X-Y水平面內(nèi)，重力位的傅里葉變換對(duì)為

對(duì)式（9）的傅里葉變換部分求積分，得

不難看出，重力的傅里葉變換和重力位的傅里葉變換存在著一定的關(guān)系，再經(jīng)過(guò)反變換，可得其重力位

所以，在高度為Z水平面內(nèi)，只要測(cè)出gx，gy，TXX，TYY，TXY五個(gè)量中的任意一個(gè)分量，就可以通過(guò)相應(yīng)的變換關(guān)系得出重力位，此時(shí)，所有X，Y方向的重力的導(dǎo)數(shù)就都可以計(jì)算出來(lái)［11］。而在實(shí)際的數(shù)據(jù)處理過(guò)程中，設(shè)需要處理的FTG測(cè)量數(shù)據(jù)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格化，按照網(wǎng)格的水平方向和垂直方向?qū)?shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換，而垂直方向的傅里葉變換相對(duì)于水平方向的傅里葉變換更容易實(shí)現(xiàn)，此時(shí)式（7）的關(guān)系可表示為式（12）。

在進(jìn)行傅里葉變換時(shí)，可以將整個(gè)待處理數(shù)據(jù)劃分為多個(gè)小的數(shù)據(jù)塊，每個(gè)小的數(shù)據(jù)塊又有多個(gè)網(wǎng)格組成。對(duì)這些由多個(gè)網(wǎng)格組成的數(shù)據(jù)進(jìn)行積分運(yùn)算，可推出相應(yīng)的重力位，再求重力位的均值，可以提高輸出的信噪比，再進(jìn)行微分變換，則可以推導(dǎo)出其他的張量分量，如TZZ。在這個(gè)計(jì)算過(guò)程中，為導(dǎo)出具有較高信噪比的重力分量的均值，可以通過(guò)將重力分量轉(zhuǎn)換到頻率域內(nèi)，根據(jù)量測(cè)數(shù)據(jù)的頻譜結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)相應(yīng)的加權(quán)函數(shù)濾除域內(nèi)的高頻噪聲或者放大有用信號(hào)的功率，以此來(lái)達(dá)到提高信噪比的目的。

所以，在理論上來(lái)講，由重力位或其任意導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換都可以導(dǎo)出梯度張量的各個(gè)分量，反之亦然。但在實(shí)際應(yīng)用中，有些變換是無(wú)法直接實(shí)現(xiàn)的，比如說(shuō)利用TXX求垂直方向的重力分量gz，理論上可以由式（14）直接計(jì)算得到。

但是，在式（14）中，由于TXX是沿X軸方向分量，它不包含垂直方向Z的信息，這就給數(shù)據(jù)的處理帶來(lái)兩個(gè)問(wèn)題。第一個(gè)問(wèn)題，式（14）中的分母kx≈0，即無(wú)法利用TXX的傅里葉變換求得重力分量gz。第二個(gè)問(wèn)題，接近ky軸的地方，TXX的幅值衰減的很快，而噪聲信號(hào)的幅值卻很大，若在k域內(nèi)直接進(jìn)行傅里葉變換，相當(dāng)于對(duì)噪聲信號(hào)進(jìn)行放大，這必然導(dǎo)致信噪比的降低。

對(duì)于噪聲的影響，可以有多種方法來(lái)解決?？梢詫V波器的截止頻率設(shè)置在遠(yuǎn)離ky軸的位置上，或者設(shè)計(jì)維納濾波器來(lái)減弱噪聲的影響。而對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，常用的方法是，利用已測(cè)得的包含垂直方向的張量分量（如TXZ，TYZ）來(lái)導(dǎo)出gz，即進(jìn)行傅里葉變換前對(duì)這些測(cè)得的張量分量進(jìn)行線性組合。經(jīng)過(guò)線性組合后，有用信號(hào)的頻譜會(huì)較為完整的保留下來(lái)，再去利用傅里葉變換去導(dǎo)出重力位，則可以計(jì)算出具有較高信噪比重力分量gz。但是這種方法的有兩方面的問(wèn)題，首先，進(jìn)行數(shù)據(jù)的線性組合需要完成大量的運(yùn)算。其次，線性組合后會(huì)給降噪帶來(lái)一定的難度，如果有用的數(shù)據(jù)與噪聲數(shù)據(jù)組合在一起，數(shù)據(jù)變換后很難用濾波器去削弱這部分噪聲的影響。所以，利用線性組合來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題并不是最好的選擇。

而FTG系統(tǒng)則是用硬件設(shè)計(jì)的方式來(lái)解決這一問(wèn)題，一個(gè)FTG系統(tǒng)包含三個(gè)GGI，每個(gè)GGI的軸線與垂直方向有相同的夾角120°。也就是說(shuō)，每個(gè)GGI的輸出的張量分量當(dāng)中都包含有關(guān)垂直方向的梯度元素TZZ的分量，因此，GGI輸出結(jié)果中包含垂直方向的信息。設(shè)三個(gè)GGI輸出的橫差曲率分別表示為C1，C2和C3，則梯度分量TZZ可以直接有公式（15）計(jì)算得出

4.2 坐標(biāo)系的變換

實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)是基于測(cè)量坐標(biāo)系（X軸指向地理東，Y軸指向地理北，Z軸指向垂直方向），由于在傅里葉變換中要用到旋轉(zhuǎn)矩陣，這增加了數(shù)學(xué)計(jì)算的難度。為此，可以利用式（13）構(gòu)建一個(gè)差分矩陣因子，實(shí)現(xiàn)由重力位到直角坐標(biāo)系的梯度張量TXYZ的轉(zhuǎn)換

如果在球坐標(biāo)系中，有一重力梯度張量TUVW，則定義一個(gè)矩陣R，將其由直角坐標(biāo)系換算到球坐標(biāo)系中，此時(shí)的變換公式表示為式（17）

舉個(gè)例子來(lái)講，設(shè)測(cè)量所得的梯度分量為T(mén)uw，已知它是一個(gè)包含有橫差曲率的分量（類(lèi)似前邊的C3），則它的傅里葉變換表示為式（18）

只有在坐標(biāo)原點(diǎn)上，式（17）的分母為0。而丟失的數(shù)據(jù)部分為一平均值，在整個(gè)數(shù)據(jù)處理過(guò)程它是一個(gè)常量，因此不會(huì)影響后續(xù)的處理結(jié)果。

利用式（18）對(duì)TUVW的各個(gè)張量元素進(jìn)行推導(dǎo)，可以導(dǎo)出相應(yīng)的重力位，同時(shí)，傅里葉變換后，平均運(yùn)算將有用信號(hào)平均分配到每個(gè)張量分量中，以此來(lái)實(shí)現(xiàn)達(dá)到提高有用信號(hào)功率，抑制噪聲的目的。

5 總結(jié)

地球重力梯度的研究一直是地球物理勘探領(lǐng)域最前沿、最熱點(diǎn)的研究課題，重力梯度實(shí)際上是重力異常在空間內(nèi)各個(gè)方向上的變化率，可以更好的反映出探測(cè)目標(biāo)的地質(zhì)信息，相對(duì)于重力異常而言重力梯度異常具有更高的分辨率。同時(shí)，依托于航空平臺(tái)的重力梯度測(cè)量系統(tǒng)相對(duì)于傳統(tǒng)的地面測(cè)量?jī)x器來(lái)說(shuō)，又具備快速，高效，經(jīng)濟(jì)的特點(diǎn)，具有廣闊的研究前景和價(jià)值。

由于其是在高速動(dòng)態(tài)的狀態(tài)下完成實(shí)地的測(cè)量，航空重力梯度測(cè)量的數(shù)據(jù)處理步驟不同于傳統(tǒng)重力測(cè)量的處理方法，在數(shù)據(jù)預(yù)處理的過(guò)程中，利用傅里葉變換可以快速的對(duì)重力梯度數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，以獲得相應(yīng)的重力梯度張量分量和所需要的重力分量，同時(shí)也可以快速實(shí)現(xiàn)梯度張量在球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的變換。

［1］曾華霖.重力場(chǎng)與重力勘探［M］.北京：地質(zhì)出版社，2005.

［2］張金煥，李曉斌.航空重力梯度測(cè)量系統(tǒng)發(fā)展及現(xiàn)狀［J］.中國(guó)礦業(yè)，2011，20（zk）：188-201.

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