Choquet積分與Sugeno積分的不等式關(guān)系

馮慧敏，李雪非，呂文靜

（1.河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北 保定 071002；2.河北農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，河北 保定 071001；3.河北大學(xué) 新校區(qū)管理與建設(shè)辦公室，河北 保定 071002）

經(jīng)典測(cè)度起源于幾何度量，例如長(zhǎng)度、面積、體積.經(jīng)典測(cè)度是一個(gè)非負(fù)的可加集合函數(shù)，概率測(cè)度是經(jīng)典測(cè)度的一種.在經(jīng)典測(cè)度發(fā)展過程中，可加性成為一個(gè)爭(zhēng)議的對(duì)象.在理想的、無誤差的理想情況下，經(jīng)典測(cè)度是適用的.而在現(xiàn)實(shí)中，測(cè)量誤差是不可避免的.此外在一些涉及主觀判斷的問題中，比如從多個(gè)投資項(xiàng)目中選擇一個(gè)進(jìn)行投資，度量很顯然不符合可加性的條件.因此出現(xiàn)了模糊測(cè)度，模糊測(cè)度用單調(diào)性代替了經(jīng)典測(cè)度中的可加性.而以經(jīng)典測(cè)度為基礎(chǔ)的勒貝格積分不能適用于模糊測(cè)度，與模糊測(cè)度相應(yīng)的是模糊積分［1－3］.Sugeno積分和Choquet積分是2種有代表性的、應(yīng)用較多的模糊積分.在多指標(biāo)決策中指標(biāo)之間經(jīng)常有交互作用存在，因此這類問題中模糊測(cè)度和模糊積分是合適的數(shù)學(xué)工具［4－9］.在此類問題中，Sugeno積分和Choquet積分中選擇哪一個(gè)呢？這個(gè)問題需要結(jié)合當(dāng)前問題的特點(diǎn)和積分的特點(diǎn)做選擇.沒有哪一種積分永遠(yuǎn)是最優(yōu)的，2種積分各有特點(diǎn)及其適合的實(shí)際問題.而實(shí)際上在一定條件下，基于這2種模糊積分的決策沒有區(qū)別.因?yàn)樵诙嘀笜?biāo)決策中，2種模糊積分滿足一個(gè)不等式關(guān)系，即2種模糊積分值的差不超過1／4.根據(jù)該不等式可以認(rèn)為，在一些情況下，依據(jù)2種模糊積分所做出的決策是一樣的.

1 預(yù)備知識(shí)

在多指標(biāo)決策中，定義模糊測(cè)度的集合屬于有限集合，因此本文的討論限于有限集合.先回顧一下模糊測(cè)度和模糊積分的基礎(chǔ)知識(shí)［10－11］.

模糊測(cè)度是對(duì)經(jīng)典測(cè)度（即可加測(cè)度）的推廣.

定義1 設(shè)X＝｛x1，x2，…，xn｝為非空有限集合，P（X）為X 的冪集，集函數(shù)μ:P（X）→（－∞，＋∞），若集函數(shù)μ 滿足下列條件：

1）μ（?）＝0（歸零性）.

2）對(duì)任意A?X，有μ（A）≥0（非負(fù)性）.

3）對(duì)任意A?B，A?X，B?X，有μ（A）≤μ（B）（單調(diào)性），則稱μ 為模糊測(cè)度，也稱為單調(diào)測(cè)度.

當(dāng)模糊測(cè)度滿足μ（X）＝1時(shí)，稱為正則模糊測(cè)度，通常在多指標(biāo)決策中采用的都是正則模糊測(cè)度.

設(shè)函數(shù)f（x）為定義在集合X＝｛x1，x2，…，xn｝上的非負(fù)函數(shù)，f:X→［0，1］，μ 為定義在P（X）上的正則模糊測(cè)度.假設(shè)集合X 中的元素已經(jīng)經(jīng)過重排，使得0≤f（x1）≤f（x2）≤…≤f（xn）≤1.令A(yù)i＝｛xi，xi＋1，…，xn｝，根據(jù)模糊測(cè)度的單調(diào)性，顯然有1＝μ（A1）≥μ（A2）≥…≥μ（An）≥0.Sugeno積分和Choquet積分的定義如下.

定義2 函數(shù)f（x）關(guān)于模糊測(cè)度μ 的Sugeno積分定義為

定義3 函數(shù)f（x）關(guān)于模糊測(cè)度μ 的Choquet積分定義為

其中f（x0）＝0.

Sugeno積分是以取大、取小算子為基礎(chǔ)，因而其光滑性較差，不便于進(jìn)行解析分析.Choquet積分是以乘、加算子為基礎(chǔ)，因而其光滑性較好，便于進(jìn)行解析分析.而且當(dāng)模糊測(cè)度退化為經(jīng)典測(cè)度的時(shí)候，Choquet積分可以與勒貝格積分完全一致.

2種模糊積分均滿足有界性，即

1.5 療效判定指標(biāo)[6] 痊愈：B超檢測(cè)子宮大小、胎兒大小與孕周基本符合，BPD、FL及S/D比值都有明顯改善，雙側(cè)RI均<0.8；有效：B超檢測(cè)子宮大小、胎兒大小與孕周基本符合，BPD、FL、RI及S/D比值都有所改善；無效：B超檢測(cè)胎兒發(fā)育不良或停止發(fā)育，BPD、FL、RI及S/D比值均無改善。

2 2種模糊積分的不等式關(guān)系

定理1［11］設(shè)X＝｛x1，x2，…，xn｝為有限非空集合，函數(shù)f 滿足：f：X→［0，1］，μ 為定義在冪集P（X）上的正則模糊測(cè)度，則有

該定理表明，對(duì)于正則模糊測(cè)度，值域在［0，1］區(qū)間內(nèi)的函數(shù)的Choquet積分和Sugeno積分的值相差不大.在多指標(biāo)決策、群決策中，恰好可以滿足定理的條件.下面對(duì)該定理進(jìn)行證明.

證明 假設(shè)被積函數(shù)f（x）已經(jīng)滿足0≤f（x1）≤f（x2）≤…≤f（xn）≤1（如果不滿足，可以對(duì)集合X 中的元素進(jìn)行重排，使其滿足）.令A(yù)i＝｛xi，xi＋1，…，xn｝，顯然根據(jù)模糊測(cè)度的單調(diào)性有1＝μ（A1）≥μ（A2）≥…≥μ（An）≥0.下面分6種情況分別證明.

證畢.

3 討論

在專家系統(tǒng)、多分類器融合、多指標(biāo)決策等類似問題中，多數(shù)都是使用正則模糊測(cè)度.此時(shí)被積函數(shù)f（x）在不同問題中，可有不同解釋，如各個(gè)專家對(duì)于自身決策的把握程度、各分類器認(rèn)為待分類對(duì)象屬于各個(gè)類的概率（或可能性）、待評(píng)價(jià)目標(biāo)與各個(gè)指標(biāo)的符合程度.通常被積函數(shù)f（x）滿足取值在［0，1］區(qū)間內(nèi)的要求，因此Choquet積分和Sugeno積分的不等式關(guān)系適用于這些問題.該不等式說明，在一些情況下2種模糊積分的決策結(jié)果是一樣的.下面舉例說明：

例1：設(shè)有2個(gè)投資項(xiàng)目A，B，請(qǐng)專家分別對(duì)2個(gè)項(xiàng)目從低風(fēng)險(xiǎn)（x1）、高收益（x2）、可行性（x3）3個(gè)方面進(jìn)行評(píng)估，專家的評(píng)分結(jié)果列于表1.項(xiàng)目負(fù)責(zé)人認(rèn)為評(píng)價(jià)項(xiàng)目的各指標(biāo)的重要性通過一個(gè)模糊測(cè)度表示，該模糊測(cè)度定義在指標(biāo)集合上.

表1 專家對(duì)2個(gè)項(xiàng)目的評(píng)分Tab.1 Scores of two projects from experts

表2 指標(biāo)的重要性（即模糊測(cè)度μ）Tab.2 Degree of criteria（fuzzy measureμ）

將專家從3個(gè)指標(biāo)對(duì)項(xiàng)目A，B的打分分別看做被積函數(shù)，關(guān)于表2中的模糊測(cè)度求Choquet積分得

顯然項(xiàng)目A 的總評(píng)分0.81高于項(xiàng)目B 的總評(píng)分0.21，因此最終的決策結(jié)果是項(xiàng)目A.根據(jù)定理1可知，如果采用Sugeno積分，則項(xiàng)目A 的總評(píng)分在區(qū)間［0.81－0.25，0.81＋0.25］內(nèi)，即［0.56，1］（因?yàn)橛赡：e分的有界性可知，積分最大取值為1.），而項(xiàng)目B 的總評(píng)分在區(qū)間［0.21－0.25，0.21＋0.25］內(nèi)，即［0，0.46］（因?yàn)橛赡：e分的有界性可知，積分最小取值為0）.即采用Sugeno積分時(shí)得到的決策結(jié)果仍然是項(xiàng)目A.2種模糊積分的決策結(jié)果相同.采用Sugeno積分時(shí)，實(shí)際計(jì)算的項(xiàng)目A，B的總評(píng)分分別為0.7，0.3.

定理1表明，對(duì)于多指標(biāo)決策問題，當(dāng)一種模糊積分的決策結(jié)果比較清晰時(shí)（0.81與0.21的差別比較大的情況），那么2種模糊積分的決策結(jié)果是一樣的.此時(shí)不用費(fèi)力地去選擇模糊積分，而是應(yīng)該著重研究、分析系統(tǒng)的其他方面，例如指標(biāo)的增減、指標(biāo)的重要性是否恰當(dāng)?shù)鹊?

4 結(jié)論

本文證明了在多指標(biāo)決策、多分類器融合環(huán)境下Sugeno積分和Choquet積分之間的不等式關(guān)系.不等式表明在決策結(jié)果比較清晰時(shí)2種模糊積分的決策結(jié)果是一致的，此時(shí)應(yīng)當(dāng)將更多的精力用于指標(biāo)的增減或者分類器的增減，以及模糊測(cè)度的定義方面.

以Sugeno積分和Choquet積分之間的不等式關(guān)系為基礎(chǔ)，下一步可以圍繞如何找到一個(gè)指標(biāo)將決策問題分成2類，一類是2種積分的結(jié)果相同的問題，另一類是2種積分的結(jié)果不同的問題，并比較在結(jié)果不同的一類問題中，哪種積分的結(jié)果更合理.這些結(jié)果將對(duì)模糊積分的應(yīng)用提供幫助.

［1］ SUGENO M.Theory of fuzzy integrals and its applications［D］.Tokyo：Tokyo Institute of Technology，1974.

［2］ SUGENO M，MUROFUSHI T.Choquet integral as an integral form for a general class of fuzzy measures［Z］.Proceedings of Second IFSA Congress，Tokyo，1987.

［3］ 尤翠蓮，王根森.一類新的模糊積分的性質(zhì)［J］.河北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，31（4）：337－340.YOU Cuilian，WANG Gensen.The properties of a new kind of fuzzy integral［J］.Journal of Hebei University：Natural Science Edition，2011，31（4）：337－340.

［4］ 李雪非，顧志華，馮慧敏.模糊積分分類器中的自適應(yīng)模糊測(cè)度［J］.河北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，32（4）：342－348.LI Xuefei，GU Zhihua，F(xiàn)ENG Huimin.Self－adaptive fuzzy measure for fuzzy integrals classifiers［J］.Journal of Hebei University：Natural Science Edition，2012，32（4）：342－348.

［5］ GRABISCH M，SUGENO M.Multi－attribute classification using fuzzy integral［Z］.1st IEEE International Conference on Fuzzy Systems，San Diego，1992.

［6］ GRABISCH M.Fuzzy integral in multicriteria decision making［J］.Fuzzy Sets and Systems，1995，69：279－298.

［7］ 王熙照.模糊測(cè)度和模糊積分及在分類技術(shù)中的應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2008.

［8］ ANDREY Temko，DUSAN Macho，CLIMENT Nadeu.Fuzzy integral based information fusion for classification of highly confusable non－speech sounds［J］.Pattern Recognition，2008，41（5）41：1814－1823.

［9］ WANG Lijuan.An improved multiple fuzzy NNC system based on mutual information and fuzzy integral［J］.International Journal of Machine Learning and Cybernetics，2011，2（1）：25－36.

［10］ WANG Zhenyuan，GEORGE J KLIR.Fuzzy measure theory［M］.New York：Plenum Press，1992.

［11］ MUROFUSHI T，SUGENO M.Fuzzy measures and integrals［M］.New York：Pyhsica Verlag，2000.