素域Fp 上的3－李代數(shù)

白瑞蒲，李奇勇，王偉東，程榮

（河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，河北 保定 071002）

1 預(yù)備知識

n－李代數(shù)在數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)物理的很多分支中都有應(yīng)用［1－4］.因為n－李代數(shù)是具有多元運算的非結(jié)合代數(shù)［5－8］，其結(jié)構(gòu)要比具有二元運算的李代數(shù)結(jié)構(gòu)要復(fù)雜的多，而且構(gòu)造有限維的多元李代數(shù)一直是多元李代數(shù)結(jié)構(gòu)研究的首要課題.在文獻［9］和［10］中，利用已知代數(shù)實現(xiàn)了3－李代數(shù).利用特征大于零的域上的群代數(shù)，群代數(shù)上的線性函數(shù)構(gòu)造的導(dǎo)子，及群代數(shù)的自同構(gòu)實現(xiàn)特征大于零的域上的3－李代數(shù).給出了一種新的構(gòu)造3－李代的方法.首先介紹用到的根本概念參見文獻［5］.

定義1 n－李代數(shù)L 是域F 上具有n－元線性運算［，…，］的線性空間，且對任意x1，…，xn，y1，…，yn∈L 滿足下列恒等式

其中σ∈Sn，τ（σ）等于0或1，當(dāng)σ是偶排列或奇排列時.

定義2 設(shè)L 是n－李代數(shù)，D:L→L 是線性映射，如果D 滿足對任意x1，…，xn∈L，

則稱D 為L 的導(dǎo)子.L 的導(dǎo)子全體記為Der（L），按照換位運算構(gòu)成線性李代數(shù).

定義3 設(shè)L 是n－李代數(shù)，ω：L→L 是線性映射，如果ω 滿足對任意x1，…，xn∈L，

ω（［x1，…，xn］）＝［ω（x1），…，ω（xn）］，

則稱ω 為L 的自同構(gòu).L 的自同構(gòu)全體構(gòu)成一個群，稱為L 的自同構(gòu)群，記為Aut（L）.

2 主要結(jié)果

設(shè)Fp是特征為p 的素域，即具有運算

域Fp的加法群記為

設(shè)（A，＋，·）是域Fp上以，1≤m≤p－1｝為基的交換的結(jié)合代數(shù)，通常稱為的群代數(shù)，

為簡單起見，記x·y 為xy.

是交換結(jié)合代數(shù)A 的導(dǎo)子.

證明 由式（5）可知，α＊是A 的線性映射.且對A 的任意2個基向量

所以α＊是交換結(jié)合代數(shù)A 的導(dǎo)子.

引理2 設(shè)ω:A→A 按如下定義的映射

則ω 是交換結(jié)合代數(shù)A 的代數(shù)自同構(gòu)，且ω 滿足ω2＝IdA.

證明 由式（3）可知，ω 是A 的線性映射.且對A 的任意2個基向量

引理3 如上定義的ω 及α＊滿足下列等式

證明 由式（5）和式（6）可知，對A 的任意基向量em∈A，

所以式（7）成立.

定理1 設(shè)（A，＋，·）是域Fp上以為基的具有運算（3）和（4）的交換結(jié)合代數(shù)，α是任意一個加群同態(tài)，α＊與ω 分別按等式（5）和（6）定義.則A 按下列運算構(gòu)成3－李代數(shù)：對任意

證明 顯然，按式（8）定義的A 的3－元運算是具有交錯性的3－元線性運算.且對任意A，因為

由上述討論，直接計算可得

其中Γ（el，em，en）是el，em，en的循環(huán)和，

由以上證明可知，3－元運算（8）滿足Jacobi等式.所以A 按運算（6）構(gòu)成3－李代數(shù).

由于Fp是特征為p 的素域，所以任意群同態(tài)α：F＋p→F＋p，α（m）＝mα（1），記α（1）＝a.則α（m）＝m a.

推論1 設(shè)（A，＋，·）是域Fp上以，1≤m≤p－1｝為基的具有運算（3）和（4）的交換結(jié)合代數(shù)，則對任意則A 按下列運算構(gòu)成3－李代數(shù)：對任意

證明 結(jié)論可從定理5直接得到.

如果Fp＝F3，則得F3上3－維3－李代數(shù)A 具有乘法表.

所以F3上的3－維3－李代數(shù)具有一維理想

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