中考數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題方法指導(dǎo)

孟凡敏

近幾年，聯(lián)系實(shí)際、貼近生活的數(shù)學(xué)應(yīng)用題不斷出現(xiàn)在各省、市的中考試卷中.這類試題因充滿時(shí)代生活氣息，具有探究性、實(shí)踐性、創(chuàng)新性等特點(diǎn)，越來(lái)越受到命題者的青睞.解決這類應(yīng)用問題，首先能將題目提供的信息和素材進(jìn)行抽象概括，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型；然后根據(jù)題目的要求，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，分析解決此類數(shù)學(xué)問題，并對(duì)實(shí)際問題做出正確、合理地解答.現(xiàn)以2012年中考試題為例就應(yīng)用題的類型加以說明.

一、方程（組）型應(yīng)用題

方程（組）是研究數(shù)量關(guān)系最基本的數(shù)學(xué)類型之一，解決此類問題的關(guān)鍵是掌握必要的數(shù)據(jù)資料，分析問題所涉及量的關(guān)系，搞清其對(duì)象的本質(zhì)特征，找出相等關(guān)系，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，列出方程（組），特別注意要驗(yàn)證求出的解是否符合題意.

例1 （山東泰安）一項(xiàng)工程，甲、乙兩公司合做，12天可以完成，共需付施工費(fèi)102000元；如果甲、乙兩公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，乙公司所用時(shí)間是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工費(fèi)比甲公司每天的施工費(fèi)少1500元.

（1）甲、乙兩公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需多少天？

（2）若讓一個(gè)公司單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，哪個(gè)公司的施工費(fèi)較少？

點(diǎn)評(píng)：本題是以完成工程的時(shí)間和費(fèi)用為背景而設(shè)計(jì)的方程（組）類應(yīng)用問題，意在讓同學(xué)們經(jīng)歷“問題情境—建立方程—解方程—作答”的思維過程，體會(huì)方程是說明現(xiàn)實(shí)問題最有效的方法.解決這類問題的難點(diǎn)是通過熟悉題目中量與量之間的關(guān)系，利用不同的解題思路找出題目中的相等關(guān)系.

二、不等式（組）型應(yīng)用題

現(xiàn)實(shí)世界普遍存在著不等關(guān)系，很多現(xiàn)實(shí)問題較難確定具體數(shù)值，但可以求出或確定出這一問題中某個(gè)量的變化范圍，從而對(duì)所研究問題的面貌有一個(gè)比較清楚的認(rèn)識(shí).解答這類應(yīng)用題須有較強(qiáng)的閱讀理解能力，并掌握一定的探索方法.

例2 （湖南張家界）某公園出售的一次性使用門票，每張10元.為了吸引更多游客，新近推出購(gòu)買“個(gè)人年票”的售票活動(dòng)（從購(gòu)買日起，可供持票者使用一年）.年票分A、B兩類：A類年票每張100元，持票者每次進(jìn)入公園無(wú)需再購(gòu)買門票；B類年票每張50元，持票者進(jìn)入公園時(shí)需再購(gòu)買每次2元的門票.某游客一年中進(jìn)入該公園至少要超過多少次時(shí)，購(gòu)買A類年票最合算？

解：設(shè)某游客一年中進(jìn)入該公園x次.

故某游客一年進(jìn)入該公園超過25次時(shí)，購(gòu)買A類年票合算.

點(diǎn)評(píng)：本題是以購(gòu)買“個(gè)人年票”的售票活動(dòng)為背景而設(shè)計(jì)的不等式（組）類應(yīng)用問題.此類題需要根據(jù)題目所給出的信息建立不等式（組）模型，再求出其解集.根據(jù)實(shí)際問題的意義，求出滿足條件的解集，從而確定購(gòu)買方案.問題的難點(diǎn)是如何建立不等式（組）模型，進(jìn)而利用不等式的知識(shí)解題.

三、函數(shù)型應(yīng)用題

函數(shù)型應(yīng)用題涉及的知識(shí)比較廣泛，解法靈活多變，是近幾年中考的熱點(diǎn)問題之一.解決此類問題需要建立函數(shù)關(guān)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，以此來(lái)挖掘解題思路.關(guān)鍵是尋求兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式，善于用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)看待問題.

點(diǎn)評(píng)：本題是以拱橋禁止船只通行的時(shí)間為背景而設(shè)計(jì)的函數(shù)類應(yīng)用問題.要求同學(xué)們體會(huì)函數(shù)思想在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，體驗(yàn)從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，建立函數(shù)模型，綜合運(yùn)用已有知識(shí)解決問題.問題的難點(diǎn)在于已知數(shù)據(jù)多，很難理清頭緒；再者數(shù)據(jù)間相互制約，列式也需仔細(xì).

四、統(tǒng)計(jì)型應(yīng)用題

統(tǒng)計(jì)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，要求同學(xué)們學(xué)會(huì)深刻理解基本的統(tǒng)計(jì)思想，善于提出問題，考慮抽樣，收集數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，作出決策，并能進(jìn)行有效地交流、評(píng)價(jià)與改進(jìn).以統(tǒng)計(jì)圖為基礎(chǔ)，從中獲取信息來(lái)分析問題，用數(shù)字說話，而不是停留在單純的觀察上.

因此，該班平均每人捐款13.1元.

點(diǎn)評(píng)：本題是以“最美女教師”張麗莉搶救學(xué)生為背景設(shè)計(jì)的統(tǒng)計(jì)類應(yīng)用問題.考查了同學(xué)們建立統(tǒng)計(jì)模型的能力，即注重所學(xué)內(nèi)容與日常生活、自然、社會(huì)和科學(xué)技術(shù)的聯(lián)系，體會(huì)統(tǒng)計(jì)對(duì)制定決策的重要作用.注重同學(xué)們數(shù)據(jù)處理的全過程，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果做出合理的判斷，讀懂和利用圖表信息是解決問題的關(guān)鍵.

五、概率型應(yīng)用題

概率是日常生活中的常見現(xiàn)象，同學(xué)們要學(xué)會(huì)用概率的觀點(diǎn)觀察、分析問題，走出憑主觀臆想做出決策的誤區(qū).在概率問題中，要靈活應(yīng)用基本模型（類似代數(shù)中的公式與幾何中的基本圖形），模型理解透了，自然就提高了運(yùn)用水平與解決問題的能力.

例5 （四川資陽(yáng)）為了決定誰(shuí)將獲得僅有的一張科普?qǐng)?bào)告入場(chǎng)券，甲和乙設(shè)計(jì)了如下的一個(gè)游戲：口袋中有編號(hào)分別為1、2、3的紅球三個(gè)和編號(hào)為4的白球一個(gè)，四個(gè)球除了顏色或編號(hào)不同外，沒有任何別的區(qū)別. 摸球之前將小球攪勻，摸球的人都蒙上眼睛.先甲摸兩次，每次摸出一個(gè)球；把甲摸出的兩個(gè)球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一個(gè)球.如果甲摸出的兩個(gè)球都是紅色，甲得1分，否則，甲得0分；如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否則，乙得0分；得分高的獲得入場(chǎng)券，如果得分相同，游戲重來(lái).

六、幾何型應(yīng)用題

幾何應(yīng)用題內(nèi)容豐富，諸如測(cè)量、取料、裁剪、方案設(shè)計(jì)、美化設(shè)計(jì)等.解答此類問題的一般方法是認(rèn)真分析題意，將實(shí)際應(yīng)用問題借助于幾何圖形做出直觀解釋，并將幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系加以概括和抽象，再利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)分析并解決問題.

七、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等復(fù)合型應(yīng)用題

復(fù)合應(yīng)用題常涉及物價(jià)、路程、產(chǎn)值、環(huán)保、土地等實(shí)際問題，也涉及角度、長(zhǎng)度、面積、造價(jià)、利潤(rùn)等最優(yōu)化問題. 解決這類問題需要利用數(shù)量關(guān)系，列出關(guān)系式，然后運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)加以解決，尤其是函數(shù)最值用的較多.復(fù)合應(yīng)用題不管是從內(nèi)容還是從思想方法上都體現(xiàn)了應(yīng)用的觀念與意識(shí).

例7 （黑龍江雞西）為了迎接“五·一”小長(zhǎng)假的購(gòu)物高峰，某運(yùn)動(dòng)品牌服裝專賣店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種服裝，甲種服裝每件進(jìn)價(jià)180元，售價(jià)320元；乙種服裝每件進(jìn)價(jià)150元，售價(jià)280元.

（1）若該專賣店同時(shí)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種服裝共200件，恰好用去32400元，求購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種服裝各多少件？

點(diǎn)評(píng)：本題是以購(gòu)買甲、乙服裝的方案為背景而設(shè)計(jì)的復(fù)合型應(yīng)用問題.解決好這類問題，關(guān)建是建立恰當(dāng)?shù)姆匠?、不等式、函?shù)關(guān)系式.通過復(fù)合應(yīng)用題間的聯(lián)系對(duì)比，可以加深同學(xué)們對(duì)這類應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)、分析推理方法的理解，從而較快地掌握復(fù)合應(yīng)用題的解答方法，進(jìn)一步進(jìn)行遷移應(yīng)用.