巧用方法 快速“消元”

高峰

對于解二元一次方程組，我們通常采取逐步“消元”的策略，變“多元”為“一元”，從而達到求解的目的.因此，抓住方程組的特點，靈活運用“消元”的策略，有助于變“多元”為“一元”.下面介紹幾種方法，希望同學(xué)們能從中得到啟發(fā).

一、整體代入消元

例1 解方程組3x+2y=1，①2x+4y=-2. ②

分析：方程組中y的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，把①變形為2y=1-3x，并將其看作一個整體代入②中，可直接消去y.

解：由①得2y=1-3x. ③

把③代入②，得2x+2（1-3x）=-2，解得x=1.

把x=1代入③，得y=-1.

∴x=1，y=-1.

點評：當(dāng)方程組中某一未知數(shù)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時，把其中系數(shù)的絕對值較小的方程進行變形后，把它看成一個整體代入另一個方程，可直接消去一個未知數(shù)，達到消元的目的.

二、整體加減轉(zhuǎn)化后再消元

例2 解方程組3x+2y=7， ①2x+3y=8. ②

分析：本題中未知數(shù)x、y的系數(shù)的和均為5，而差的絕對值為1，可用加減法將原方程組轉(zhuǎn)化為較簡單的方程組，再求解.

解：由①+②，得5x+5y=15.

化簡，得x+y=3. ③

由①-②，得 x-y=-1.④

由③+④，得2x=2，∴x=1.

將x=1代入③，得y=2.

∴x=1，y=2.

點評：當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)的和或差的絕對值相等時，可先用加減法將原方程組轉(zhuǎn)化為較簡單的方程組，然后再求解.

三、先設(shè)比值后消元

例3 解方程組■=■， ①3x+4y=32. ②

分析：可以將方程①進行化簡，再用代入消元或加減消元法求解，但運算量較大. 可考慮設(shè)比值消元，即用另一個字母代替x、y，求解時就會有意想不到的效果.

解：把方程①看成比例式，設(shè)其比值為k，即設(shè)■=■=k.

可得x=5k-1，y=2k+3，

代入②中，得3（5k-1）+4（2k+3）=32，解得k=1.

所以原方程組的解是x=4，y=5.

點評：在方程組中，當(dāng)一個方程是比例式時，一般采用設(shè)比值法.

四、先換元后消元

例4 解方程組

■+■=2 ， ①■=■-3 . ②

分析：方程組的結(jié)構(gòu)雖然比較復(fù)雜，但有一定的規(guī)律：方程②可化為■=■-3 ，這樣方程組中的兩個方程都含有（2x+3y）和（3x+2y），所以考慮設(shè)2x+3y=m，3x+2y=n，這樣就可以化復(fù)雜為簡單，從而能快速、準(zhǔn)確地求解.

解：根據(jù)方程組的結(jié)構(gòu)特征，設(shè)2x+3y=m，3x+2y=n，則原方程組可化為■+■=2， ■=■-3.

再把■、■看成一個整體，易得m=2，n=5，則2x+3y=2，3x+2y=5.利用整體加減法，易得原方程組的解為x=■，y=-■.

點評：當(dāng)方程組中方程的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，且有某些式子的結(jié)構(gòu)相同時，可以考慮用換元法.

五、先消常數(shù)項后消元

例5 解方程組■+■=1， ①■+■=1. ②

分析：觀察方程組中的兩個方程發(fā)現(xiàn)，如果用基本方法對方程進行化簡，會比較繁雜.由于方程組中的兩個方程的常數(shù)項相等，故可以用消去常數(shù)項的方法求解.

解：由①-②，得■+■=0，即y=-2x.

把y=-2x代入①中，得■-■=1，解得x=-6，故y=12.

所以原方程組的解為x=-6，y=12.

點評：當(dāng)二元一次方程組中的兩個方程的常數(shù)項相等時，可以采用消去常數(shù)項法得到關(guān)于x、y的關(guān)系式，然后將此關(guān)系式代入原方程進行求解.

總之，在解二元一次方程組時，合理選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄖ陵P(guān)重要，同學(xué)們一定要根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)和系數(shù)特征，具體問題具體分析，使問題得以快速解決.