一種多元素多尺度形態(tài)非抽樣小波分解方法

王冰,李洪儒,許葆華

(軍械工程學(xué)院 導(dǎo)彈工程系，石家莊 050003)

軸承故障在電動(dòng)機(jī)故障中占有很大比例。當(dāng)軸承存在局部缺陷時(shí)，其振動(dòng)信號(hào)中的脈沖信號(hào)含有豐富的缺陷信息，如果能夠有效地將缺陷引起的脈沖信號(hào)提取出來(lái)，便可以診斷出缺陷存在的部位[1-4]。

包絡(luò)分析與小波包分解是目前常用的滾動(dòng)軸承故障特征提取方法[5-6]，但包絡(luò)分析需要預(yù)先確定帶通濾波器的中心頻率和頻帶；而小波包分解在本質(zhì)上仍是一種基于頻率的線性分解，且存在各頻帶能量交疊現(xiàn)象。因此，對(duì)于具有非線性非平穩(wěn)特征的軸承故障信號(hào)，這兩種方法很難取得理想的效果。

基于此問(wèn)題，文獻(xiàn)[7-8]提出了形態(tài)小波(morphological wavelet，MW)的概念，成功地將大多數(shù)線性小波和非線性小波統(tǒng)一起來(lái)，形成了多分辨分析的統(tǒng)一框架。但該形態(tài)小波在信號(hào)分解時(shí)會(huì)出現(xiàn)逐層信息減半的情況，且在本質(zhì)上是Haar小波，因此重構(gòu)信號(hào)不夠平滑。文獻(xiàn)[9]提出一種形態(tài)非抽樣小波(morphological un-decimated wavelet，MUDW)分解方法。文獻(xiàn)[10]利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子構(gòu)造了MUDW的一般框架。文獻(xiàn)[11]則基于該框架提出形態(tài)開(kāi)運(yùn)算、閉運(yùn)算級(jí)聯(lián)的組合濾波器方法，并將該方法應(yīng)用到復(fù)雜錐筒振動(dòng)信號(hào)特征提取中，取得了很好的效果。文獻(xiàn)[12]利用多尺度形態(tài)開(kāi)閉濾波代替文獻(xiàn)[11]中的單尺度組合濾波，并依次提取了主減速器振動(dòng)特征。文獻(xiàn)[13]構(gòu)造了一種基于多尺度差值形態(tài)濾波的形態(tài)非抽樣小波分解方法，并將其應(yīng)用到滾動(dòng)軸承故障特征提取中，取得了比傳統(tǒng)小波包分解更好的效果。文獻(xiàn)[14]構(gòu)造了一種具有2部分的形態(tài)非抽樣小波分解算子，前一部分用形態(tài)開(kāi)閉和閉開(kāi)的混合濾波器平滑噪聲，后一部分用形態(tài)差值算子提取沖擊特征，取得了較好的效果。

在此，根據(jù)滾動(dòng)軸承故障信號(hào)的特點(diǎn)，在MUDW的一般框架內(nèi)，提出了一種多元素多尺度形態(tài)非抽樣小波分解算法，并應(yīng)用該方法對(duì)電動(dòng)機(jī)軸承典型故障信號(hào)進(jìn)行分析。

1 形態(tài)非抽樣小波理論

1.1 數(shù)學(xué)形態(tài)基本變換

基本數(shù)學(xué)運(yùn)算包括腐蝕、膨脹、形態(tài)開(kāi)和閉運(yùn)算[15]。設(shè)f(n)和g(n)分別為定義在集合F={0,1,…，N-1}和集合G={0,1,…,M-1}上的離散函數(shù)，且N≥M。其中，f(n)為原始信號(hào)，g(n)為結(jié)構(gòu)元素，則f(n)關(guān)于g(n)的形態(tài)腐蝕和形態(tài)膨脹算子分別定義為

(fΘg)(n)=min{f(n+m)-g(m)}，m=0,1,…,M-1；

(1)

(f⊕g)(n)=max{f(n-m)+g(m)}，m=0,1,…,M-1；

(2)

f(n)關(guān)于結(jié)構(gòu)元素g(n)的形態(tài)開(kāi)和閉運(yùn)算分別定義為

(f°g)(n)=(fΘg⊕g)(n)，

(3)

(f·g)(n)=(f⊕gΘg)(n)，

(4)

式中：Θ和⊕分別表示腐蝕和膨脹運(yùn)算;°和·分別代表f(n)關(guān)于結(jié)構(gòu)元素g(n)的形態(tài)開(kāi)和閉運(yùn)算。

1.2 形態(tài)非抽樣小波變換

形態(tài)非抽樣小波克服了傳統(tǒng)形態(tài)小波因抽樣引起的不足，是一種基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的信號(hào)多分辨率分解理論。

1.2.1 金字塔條件和對(duì)偶小波分解

形態(tài)非抽樣小波分解中具有分析算子和合成算子，且必須滿足金字塔條件[7-8]

(5)

(6)

金字塔條件保證在分析和合成這兩個(gè)連續(xù)的步驟中，沒(méi)有信息的損失。基于金字塔條件，可以構(gòu)造對(duì)偶小波分解。單層對(duì)偶小波分解框架如圖1所示，多層對(duì)偶小波的分解方法與其類似。

圖1 單層對(duì)偶小波分解框架示意圖

1.2.2 形態(tài)非抽樣小波一般框架及算法

形態(tài)非抽樣小波構(gòu)造方法的一般框架可描述為

(7)

(8)

T(xj)+(id-T)(xj)=id(xj)，

(9)

式中：T()為數(shù)學(xué)形態(tài)算子。可以根據(jù)信號(hào)處理的不同需求選擇基本形態(tài)算子或某種組合形式。

現(xiàn)有文獻(xiàn)中的形態(tài)非抽樣小波算法均基于形態(tài)非抽樣分解框架建立，設(shè)形態(tài)學(xué)膨脹算子為δ，腐蝕算子為ε，閉算子為φ，開(kāi)算子為γ，現(xiàn)有文獻(xiàn)中闡述的算法的信號(hào)分析算子見(jiàn)表1。

表1 現(xiàn)有文獻(xiàn)中形態(tài)非抽樣小波算法

其中，文獻(xiàn)[12]和[13]中的信號(hào)分析算子為多尺度形態(tài)學(xué)變換，算法中每層小波分解對(duì)應(yīng)某一尺度的結(jié)構(gòu)元素(j+1)g0，其優(yōu)點(diǎn)在于逐層分解后得到的近似信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)的物理意義更明顯，即對(duì)應(yīng)于利用相應(yīng)尺度的結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行形態(tài)運(yùn)算得到的結(jié)果。

文獻(xiàn)[9]和[14]的信號(hào)分析算子均由兩部分組成，以文獻(xiàn)[14]為例，算子中的前一部分0.5(γφ+φγ)為典型的形態(tài)學(xué)組合濾波器，可同時(shí)去除信號(hào)中的正負(fù)噪聲[16]。后一部分(φ-γ)為形態(tài)差值濾波器，可同時(shí)提取信號(hào)中的正負(fù)沖擊。該算法的優(yōu)點(diǎn)在于其每一層小波分解既能夠平滑噪聲，又能夠有效地提取沖擊特征。

在基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的處理方法中，結(jié)構(gòu)元素的形狀和大小是影響性能的關(guān)鍵。對(duì)于白噪聲，半圓形結(jié)構(gòu)元素可以取得較好的濾波效果；對(duì)于脈沖噪聲，一般采用三角形結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行濾波[17]。在基于形態(tài)學(xué)的周期性脈沖提取時(shí)，扁平直線形結(jié)構(gòu)元素效果最好，一般選取直線形結(jié)構(gòu)元素的長(zhǎng)度為0.6T(T為故障周期)[18]。

因此，在構(gòu)造形態(tài)非抽樣小波分解的信號(hào)分析算子時(shí)，需根據(jù)實(shí)際情況確定結(jié)構(gòu)元素的類型和大小，文獻(xiàn)[14]在不同分解層次使用不同長(zhǎng)度的結(jié)構(gòu)元素，但在分析算子的前后兩部分使用同一種結(jié)構(gòu)元素，靈活性和針對(duì)性略顯不夠。

1.2.3 多元素多尺度形態(tài)非抽樣小波

著眼于提高分析算子的有效性和靈活性，提出一種多元素多尺度形態(tài)非抽樣小波分解方法，其分解算子為

1)g0)(δ-ε)(xj,(j+1)g1)，

(10)

(j+1)g0)(δ-ε)(xj,(j+1)g1),

(11)

(12)

該分解算子包括0.5(γφ+φγ)(xj,(j+1)g0)和(δ-ε)(xj,(j+1)g1)兩部分。第1部分為使用三角形結(jié)構(gòu)元素的多尺度形態(tài)開(kāi)閉和閉開(kāi)交替混合算子，可以平滑信號(hào)且抑制噪聲。第2部分為使用扁平形結(jié)構(gòu)元素的多尺度形態(tài)梯度算子，可以有效地提取信號(hào)的沖擊特征。其中，每個(gè)尺度λ對(duì)應(yīng)的形態(tài)學(xué)變換采用的結(jié)構(gòu)元素分別為

λg0=g0⊕g0⊕…⊕g0，

(13)

λg1=g1⊕g1⊕…⊕g1，

(14)

式中：λ為不同尺度的大?。籫0和g1分別為λ=1時(shí)的三角形和扁平形結(jié)構(gòu)元素。

2 仿真分析

為驗(yàn)證多元素多尺度形態(tài)非抽樣小波提取信號(hào)沖擊特征的有效性，進(jìn)行了仿真分析，設(shè)仿真信號(hào)為

x(t)=3x1(t)+0.3x2(t)+i(t)，

(15)

式中：x1(t)為周期性的指數(shù)衰減沖擊信號(hào)，沖擊頻率為16 Hz，每周期內(nèi)沖擊函數(shù)為e-200t·sin(288πt)；x2(t)為諧波信號(hào)，x2(t)=cos(2π×25t)+cos(2π×50t)；i(t)為標(biāo)準(zhǔn)差為1的高斯白噪聲。信號(hào)采樣頻率為1 024 Hz，采樣時(shí)間為1 s，仿真信號(hào)的時(shí)域波形和頻譜如圖2所示。

圖2 仿真信號(hào)時(shí)域波形及其頻譜

從頻譜圖可以看出， 25和50 Hz的諧波干擾成分比較明顯，且以144 Hz為中心出現(xiàn)一組頻寬約為16 Hz的邊頻序列。而16 Hz及其倍頻的沖擊成分由于諧波成分的抑制以及噪聲的干擾，很難在頻譜中反映出來(lái)。為了提取信號(hào)的沖擊成分特征，必須選取合適的方法抑制諧波及噪聲。

為分析文中方法的正確性和有效性，將其與典型的多尺度形態(tài)差值非抽樣小波分解方法[13]和固定結(jié)構(gòu)非抽樣小波分解方法[14]進(jìn)行分析對(duì)比。為定量分析各形態(tài)非抽樣小波分解方法抑制諧波噪聲干擾以及提取周期性脈沖信號(hào)的能力，采用了低頻能量比Q和特征能量比R的概念[19]。低頻能量比Q用以描述非抽樣小波分解方法抑制諧波干擾的能力，Q=C/E，其中C為諧波頻率能量值，E為特征頻率能量值。低頻能量比Q越低，抑制諧波干擾的能力越強(qiáng)。特征能量比R可以描述非抽樣小波提取沖擊頻率的性能，R=(E1+E2+…+En)/E，En為解調(diào)后的信號(hào)頻譜在n倍頻處的能量值，文中n=5。特征能量比R越大，提取沖擊頻率的能力越強(qiáng)，效果越好。

2.1 多元素多尺度形態(tài)非抽樣小波分解方法

選擇三角形結(jié)構(gòu)元素g0={0 1 2 4 2 1 0}，扁平形結(jié)構(gòu)元素g1={0 0 0 0 0}，對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行2層分解，并對(duì)第2層近似信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，結(jié)果如圖3所示，可以看出，沖擊頻率及其倍頻被清晰地解調(diào)出來(lái)。經(jīng)計(jì)算，該分解方法的特征能量比R=0.413 7，低頻能量比Q=0.210 5。

圖3 多元素多尺度形態(tài)非抽樣小波分解結(jié)果

2.2 多尺度形態(tài)差值非抽樣小波分解方法

選用扁平形結(jié)構(gòu)元素g={0 0 0 0 0}對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行2層分解，其中第2層近似信號(hào)的頻譜如圖4所示。從圖中可以看出，沖擊頻率16 Hz及其倍頻被解調(diào)出來(lái)，與圖3相比，其噪聲干擾要更加明顯。經(jīng)計(jì)算，該分解方法的特征能量比R=0.253 0，低頻能量比Q=0.200 6。

圖4 多尺度形態(tài)差值非抽樣小波分解結(jié)果

2.3 固定結(jié)構(gòu)非抽樣小波分解方法

分別采用三角形結(jié)構(gòu)元素g={0 1 2 4 2 1 0}和扁平形結(jié)構(gòu)元素g={0 0 0 0 0}對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行2層分解，并在此基礎(chǔ)上獲取第2層近似信號(hào)的頻譜圖，結(jié)果如圖5所示。

圖5 固定結(jié)構(gòu)非抽樣小波分解結(jié)果

由圖5a可以看出，沖擊頻率16 Hz及其倍頻沒(méi)有被提取出，而諧波頻率25 Hz和50 Hz的譜線異常明顯。此時(shí)特征能量比R=0.175 3，低頻能量比Q=0.647 7。由此可知，選用三角形結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行分解時(shí)，該方法對(duì)于沖擊頻率的特征提取能力較差，抗諧波干擾能力也不強(qiáng)。從圖5b中幾乎看不出沖擊頻率，而諧波頻率25 Hz和50 Hz的譜線更加明顯。此時(shí)特征能量比R=0.404 2，低頻能量比Q=0.831 5，由此可知，選用扁平形結(jié)構(gòu)元素時(shí)，該方法的效果依舊不理想。

2.4 結(jié)果分析

縱向分析上述仿真試驗(yàn)中的R和Q值，結(jié)果見(jiàn)表2。由于對(duì)分解算子的不同部分使用不同類型的結(jié)構(gòu)元素，多元素多尺度形態(tài)非抽樣小波分解方案具有最高的特征能量比和較低的低頻能量比，體現(xiàn)了優(yōu)良的抑制諧波噪聲和沖擊頻率提取效能；多尺度形態(tài)差值非抽樣小波方案在每一層分解時(shí)由于沒(méi)有進(jìn)行濾波，導(dǎo)致對(duì)噪聲的抑制能力較弱，因此特征能量比R相對(duì)較低；固定結(jié)構(gòu)非抽樣小波分解中，由于僅僅采用一種結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行運(yùn)算，使得濾波和特征頻率向量的提取能力均未達(dá)到最優(yōu)。

表2 模擬試驗(yàn)效果對(duì)比

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證多元素多尺度非抽樣小波變換方法的有效性，選用軸承內(nèi)圈、外圈2種故障狀態(tài)進(jìn)行分析。實(shí)測(cè)軸承振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)來(lái)自Case Western Reserve University(CWRU)軸承數(shù)據(jù)中心網(wǎng)站。軸承局部損傷由電火花機(jī)加工，直徑為0.177 8 mm，轉(zhuǎn)速為1 797 r/min，轉(zhuǎn)頻為29.95 Hz，軸承外圈和內(nèi)圈故障的特征頻率分別為107.8 Hz和159.6 Hz。試驗(yàn)信號(hào)采樣頻率為12 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為6 000。軸承外圈和內(nèi)圈故障信號(hào)時(shí)域波形如圖6所示。

圖6 滾動(dòng)軸承故障信號(hào)時(shí)域波形

基于多元素多尺度形態(tài)非抽樣小波分別對(duì)2種故障狀態(tài)下的軸承振動(dòng)加速度信號(hào)進(jìn)行分解，并求取第2層近似信號(hào)的頻譜。分解過(guò)程中，三角形結(jié)構(gòu)元素g0={0 2 4 2 0}；扁平形結(jié)構(gòu)元素g1={0 0 0 0 0}。

軸承外圈故障信號(hào)的分解時(shí)域圖和第2層近似信號(hào)頻譜圖分別如圖7和圖8所示，可以看出，經(jīng)由多元素多尺度形態(tài)非抽樣小波分解，外圈故障特征頻率及其倍頻可以清晰地得到，且特征能量比R達(dá)到0.633 5。

選用同樣結(jié)構(gòu)元素對(duì)軸承內(nèi)圈故障信號(hào)進(jìn)行分析處理，結(jié)果如圖9和圖10所示?？梢钥闯?，軸承內(nèi)圈故障特征頻率及其1，2倍頻被清晰地提取，且其特征能量比R=0.476 8。由此可見(jiàn)，多元素多尺度非抽樣小波變換可以清晰地提取出軸承的內(nèi)、外圈故障，且信噪比較高，效果較好。

圖7 外圈故障信號(hào)分解時(shí)域圖

圖8 外圈第2層近似信號(hào)頻譜圖

圖9 內(nèi)圈故障信號(hào)分解時(shí)域圖

圖10 內(nèi)圈第2層近似信號(hào)頻譜圖

4 結(jié)束語(yǔ)

多元素多尺度形態(tài)非抽樣小波分解方法考慮了不同的形態(tài)學(xué)結(jié)構(gòu)元素對(duì)于濾波和沖擊頻率提取的影響，在形態(tài)學(xué)小波分解過(guò)程中采用不同的結(jié)構(gòu)元素，與現(xiàn)有的形態(tài)非抽樣小波分解方法相比，該方法既能夠有效地提取故障特征頻率信息，又有很好的濾波效果。