新閾值函數(shù)下的小波閾值去噪

王 瑞，張友純

中國地質(zhì)大學（武漢）機械與電子信息學院，武漢 430074

新閾值函數(shù)下的小波閾值去噪

王 瑞，張友純

中國地質(zhì)大學（武漢）機械與電子信息學院，武漢 430074

1 引言

現(xiàn)實環(huán)境中，由于噪聲的存在，語音信號會不可避免地受到干擾，嚴重時甚至會被噪聲淹沒。語音去噪一直是語音信號處理中的熱點，它的目的是從被噪聲污染的語音信號中盡可能多地提取出原始語音信號。小波變換發(fā)展于20世紀80年代末，它克服了短時傅里葉變換的缺點，可以對信號進行多尺度（多分辨率）的分析，特別適合分析像語音這樣的非平穩(wěn)信號[1]。目前小波去噪主要有三種方法：模極大值重構去噪法[2]、空域相關去噪法[3]和小波域閾值去噪法[4]。其中，小波域閾值去噪法由于計算量小，去噪效果好而被廣泛研究和應用。

閾值的處理是小波閾值去噪的關鍵，Donoho提出了硬閾值法和軟閾值法，但這兩種方法都有自身的缺陷：硬閾值法連續(xù)性差，重構可能會產(chǎn)生震蕩；軟閾值法雖連續(xù)性好，但估計值和實際值之間總存在恒定偏差，會給重構信號帶來一定的誤差。因此，尋找新的閾值處理方法是小波域閾值去噪的熱點研究方向[5]。

本文提出了一種新的閾值函數(shù)，來克服傳統(tǒng)小波閾值去噪法的上述缺點，提高語音信號的信噪比。實驗證明，本文提出的新的閾值函數(shù)與傳統(tǒng)的閾值函數(shù)，如硬閾值函數(shù)，軟閾值函數(shù)和折衷閾值函數(shù)相比，能更明顯地改進語音去噪效果，提高語音去噪后的信噪比，可作為小波閾值去噪法的重要參考。

2 小波閾值去噪的原理

20世紀90年代初，小波去噪（de-noising）和降噪（noise reduction）的概念開始出現(xiàn)。1992年，Donoho和John Stone提出了小波域閾值濾波方法，它采用Mallat算法，大大減小了計算量，而且實現(xiàn)簡單，去噪效果好，因而得到了深入的研究和廣泛的應用。

一般的，含噪語音信號的模型可假定為：其中f(n)為真實語音信號，s(n)為含有噪聲的語音信號，e(n)為噪聲，σ是噪聲強度，N為離散采樣序列x(n)的長度。

由于小波變換具有局部時頻特性，在小波域中可以使信號的能量相對集中，而噪聲信號的能量相對分散，表現(xiàn)為能量集中區(qū)域的信號的小波系數(shù)絕對值比較大，而分散區(qū)域的小波系數(shù)的絕對值小。通過設定一個合適的閾值，認為小于該閾值的小波系數(shù)由噪聲產(chǎn)生而將其去除，大于該閾值的小波系數(shù)由信號產(chǎn)生而將其保留或收縮，從而達到信號和噪聲的分離[6]。

小波域閾值去噪一般分為三個步驟：

（1）小波分解：選擇合適的小波基和小波分解層數(shù)，對含有噪聲的語音信號進行離散正交小波變換。

（2）閾值處理：在小波域?qū)π〔ㄏ禂?shù)進行閾值處理。

（3）小波重構：利用處理后的小波系數(shù)進行小波重構。

小波閾值去噪的原理如圖1所示。

圖1 小波閾值去噪原理

2.1 閾值的確定

小波域閾值去噪法的關鍵在于閾值的選取[7]，如果閾值太小，去噪后的信號中仍會存在噪聲；如果閾值太大，信號的有用部分又將被濾掉，從而引起失真。

常用的閾值確定規(guī)則有：固定閾值（sqtwolog規(guī)則），基于Stein無偏似然（SURE）估計（rigrsure規(guī)則），啟發(fā)式閾值Τ3（heursure規(guī)則）和極值閾值Τ4（minimaxi規(guī)則）。在信號的高頻分量小的情況下，無偏似然估計閾值和極值閾值不容易丟失信號中的有用成分，但固定閾值和啟發(fā)式閾值可以更有效地去除噪聲。

Donoho給出的固定閾值為：

其中，σ為噪聲強度，N為信號的長度。由于語音信號的小波變換系數(shù)的模值隨尺度的增大而增大，噪聲的小波變換系數(shù)的模值隨尺度的增大而減小，因而尺度增大時的語音成分就有可能被當做噪聲處理了。因此，在固定閾值的基礎上，本文采取修正的通用閾值[7]，表達式如下：

其中，γ為調(diào)整因子，當噪聲為白噪聲時，可取為1。j為小波尺度，Nj為第j層信號的長度。當j增大時，噪聲的小波系數(shù)減小，閾值也減小，這樣閾值就能根據(jù)不同的尺度進行調(diào)整。

2.2 閾值的處理

常用的閾值處理方法有硬閾值法和軟閾值法兩種方法，它們的表達式分別如式（4）和式（5）所示。

硬閾值法：

軟閾值法：

其中Wj，k為小波系數(shù)，λ為閾值。硬閾值法就是把信號分解后的小波系數(shù)的絕對值和閾值作比較，小于閾值的點變?yōu)?，大于或等于閾值的點保持不變。硬閾值法能夠更多地保留真實信號中的尖峰特征，但在某些點不連續(xù)，會在重構語音信號時出現(xiàn)一定振蕩。軟閾值法連續(xù)性好，重建信號比較光滑，但處理后的信號的小波系數(shù)和原信號的小波系數(shù)間存在恒定的差值，這使得重構信號的信噪比較低，均方誤差較大。

為了克服硬閾值和軟閾值的缺陷，很多學者提出了新的閾值函數(shù)，最常用的有以下三種方式[8]：

（1）多項式插值法：為了克服硬閾值函數(shù)不連續(xù)和軟閾值函數(shù)有偏差的缺點，采用以下多項式插值模型：

其中，P(|Wj，k|)稱為插值多項式，通常可取為二次或三次多項式。多項式插值法得到的Wj，k在整個定義域內(nèi)是連續(xù)的，當P(|Wj，k|)為三次多項式時，Wj，k在整個定義域內(nèi)可導，因而易于處理，克服了硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性。當|Wj，k|≥t時，Wj，k是無偏估計，也彌補了軟閾值函數(shù)的不足。

（2）軟、硬閾值函數(shù)折衷法：軟、硬閾值函數(shù)折衷法表達式如下：

其中，0≤α≤1。當α分別取0和1時，上式即成為硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。該方法思路簡單，去噪效果很好。

（3）模平方處理法：把|Wj，k|/λ看成一個整體，則軟閾值函數(shù)可等效為：

上式的含義為：當|Wj，k|/λ≥1時，Wj，k被認為主要是信號對應的小波系數(shù)，予以保留；否則，Wj，k被認為主要由噪聲引起，應當消除。將|Wj，k|/λ進行平方處理，使得每一個系數(shù)與1的偏離程度增大，這樣可以促進信號和噪聲的分離，然后進行軟閾值處理，最后開平方得到Wj，k。模平方處理法表達式如下：

該方法估計出的值也介于軟、硬閾值方法之間。

其他的閾值函數(shù)，如折衷非平滑函數(shù)閾值法，均方根非平滑閾值函數(shù)法，對數(shù)平滑函數(shù)法，指數(shù)平滑函數(shù)法，比值平滑閾值法和消去平滑閾值函數(shù)法等，都可看做上述三種閾值函數(shù)法的變形式。如指數(shù)平滑函數(shù)法[9]，就是將軟、硬閾值函數(shù)折衷法中的α變?yōu)棣?1-exp(-m(|Wj，k|-λ)2)，通過改變m來調(diào)整α的變化。

多數(shù)閾值函數(shù)在小波系數(shù)小于閾值(|Wj，k|＜λ)時，將小波系數(shù)(Wj，k)置為0，也即認為比閾值小的小波系數(shù)均為噪聲產(chǎn)生。由于部分語音信號（如清音）[10]與噪聲比較類似，如果直接將該部分置為0，將很有可能除去部分有用的語音信號。因此，結合折衷函數(shù)和μ律閾值函數(shù)，本文提出了一種新的閾值函數(shù)：

其中0≤α≤1。當|Wj，k|≥λ時類似于折衷函數(shù)，折衷因子為lb(|λ/Wj，k|n+1)，通過調(diào)節(jié)n來改變其大小。當|Wj，k|＜λ時，采用類似于μ律閾值函數(shù)[11]，通過改變α來對小波系數(shù)進行壓縮。新的閾值函數(shù)克服了硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)的缺點，保留了折衷函數(shù)和μ律閾值函數(shù)的優(yōu)點。

3 新的小波閾值去噪算法

本文利用新的閾值函數(shù)進行小波閾值去噪，具體步驟為：首先，向純凈語音信號中添加高斯白噪聲，然后選取合適的小波基，小波基階數(shù)和小波分解層數(shù)進行小波變換。通過式（3）確定不同層次上的閾值，然后通過新的閾值函數(shù)（式（10））進行閾值處理。最后，用小波逆變換重構去噪后的信號。流程圖如圖2所示。

圖2 小波閾值去噪

4 實驗結果與分析

在語音信號處理中，信噪比（SNR）是最常用的一種衡量信號消噪有效性的指標，其公式為：

此外，去噪后的信號是否平滑，和原信號的接近程度也是消噪效果的標準之一。去噪后信號越平滑，毛刺越少，聽起來與原信號越接近，則去噪效果越好。

在Matlab環(huán)境下，分別進行了最優(yōu)小波基的選擇實驗，新閾值函數(shù)最優(yōu)參數(shù)的選擇實驗以及新閾值函數(shù)與硬閾值函數(shù)，軟閾值函數(shù)和折衷函數(shù)的比較實驗。小波分解尺度越大，低頻部分被分解的次數(shù)也就越多，去除噪聲的效果也要好一些，但是計算量會增大。綜合考慮，實驗中選擇小波分解層數(shù)為4。通過實驗可以看出，新的閾值函數(shù)相比硬閾值函數(shù)，軟閾值函數(shù)和折衷閾值函數(shù)，都有明顯優(yōu)勢，從而證明了本閾值函數(shù)的有效性和可行性。

4.1 最優(yōu)小波基的選擇

不同的小波基函數(shù)有不同的性質(zhì)，如對稱性，消失矩等[12]。由于這些不同的性質(zhì)，使得不同的小波基在時域和頻域上表征信號局部特點的能力不同。表征信號局部特點的能力越強，越有利于檢測信號的瞬態(tài)或奇異點。而對于某種特定的小波基，階數(shù)不同，表征信號局部特點的能力也不同。一般情況下，階數(shù)越高表征信號局部特點的能力就越強，但是計算量也會相應變大。

在輸入信噪比為5 dB，α=0，n=1 000時，分別利用Daubechies小波族、Symlets小波族和Coiflet小波族進行了四層小波變換，然后進行閾值去噪處理，選取去噪效果最好的最優(yōu)小波基。

由表1可以看出，在相同的條件下，coif族小波的去噪效果優(yōu)于db族小波和sym族小波。db族小波和sym族小波的去噪效果差別不大，N=1，2，3時，它們的輸出信噪比完全一致。隨著N的增大，db族，sym族和coif族的小波去噪后的信噪比都增大。因此，在本實驗中，選擇coif5作為最優(yōu)小波基。

表1 最優(yōu)小波基的選擇

4.2 新閾值函數(shù)的最優(yōu)參數(shù)的選擇

在μ=255，輸入信噪比SNR=5 dB時，采用“coif5”小波進行4層小波分解，選擇閾值函數(shù)（式（5））的最優(yōu)參數(shù)α和n，結果如表2所示。

表2 最優(yōu)參數(shù)的選擇

通過結果可以發(fā)現(xiàn)，α越小，n越大，去噪效果越好。n越大，計算量也會越大，而信噪比提高變得緩慢，因此，實踐中n取1 000以內(nèi)比較合適。

在輸入信噪比為5 dB，α=0，n=1 000時，新閾值函數(shù)去噪后語音信號與原始語音信號，含噪語音信號的對比如圖3，圖4所示。

圖3 原始語音信號與含噪語音信號

圖4 新閾值函數(shù)的去噪結果

從圖中可以看出，用新閾值函數(shù)進行小波閾值去噪后，保留了較多的原始語音信號，減小了噪聲信號的影響。試聽對比后發(fā)現(xiàn)，用新閾值函數(shù)進行去噪后的語音片段雖還有少量噪音，但能夠清晰聽懂語音片段的有用信息。

4.3 新閾值函數(shù)與硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)的比較

選擇α=0.1，n=100，利用“coif5”小波進行4層小波分解，在不同輸入信噪比下，比較了本文提出的閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)，軟閾值函數(shù)，折衷閾值函數(shù)的去噪效果。如表3所示。

表3 四種不同閾值函數(shù)的比較 dB

通過比較可以看出，在不同信噪比下，新閾值函數(shù)的去噪效果都明顯優(yōu)于硬閾值函數(shù)，軟閾值函數(shù)和折衷閾值函數(shù)。

四種閾值函數(shù)去噪后的語音信號如圖5所示。

從圖中可以看出，軟閾值函數(shù)處理后，語音信號有明顯的失真；硬閾值處理后語音信號比較尖銳，毛刺較多；折衷函數(shù)處理后，削去了較多的信號；新閾值函數(shù)處理后，語音信號比較平滑，和原始信號最為接近。

圖5 四種閾值函數(shù)去噪效果

5 結束語

在小波閾值去噪中，小波基函數(shù)的選取，閾值的確定和閾值函數(shù)的處理至關重要。Donoho提出的固定閾值和傳統(tǒng)的硬閾值、軟閾值函數(shù)都存在一些缺陷，使語音信號的去噪效果不夠理想。本文提出了一種新的閾值函數(shù)，并使用了改進的閾值，通過三組實驗分別選取了適于本語音信號的最優(yōu)小波基，新閾值函數(shù)的最優(yōu)參數(shù)，并和硬閾值法、軟閾值法進行了比較。通過實驗可以看出，本文提出的閾值函數(shù)具有更好的去噪性能，能更多地保留原始語音信號，去除背景噪聲。無論是主觀感受還是信噪比的提高程度都明顯優(yōu)于傳統(tǒng)方法和改進算法。

[1]袁莉芬，何怡剛.一種改進型的小波變換語音去噪算法[J].現(xiàn)代電子技術，2009（18）：120-122.

[2]Mallat S，Hwang W L.Singularity detection and processing with wavelets[J].IEEE Τrans on Inform Τheory，1992，38（2）：617-643.

[3]Xu Y S，Weaver J B，Healy D M.Wavelet transform domain filters：a spatially selective noise filtration technique[J].IEEE Τransactions on Image Processing，1994，3（6）：747-757.

[4]Donoho D L.De-noising by soft-thresholding[J].IEEE Τrans on Information Τheory，1995，41（3）：613-627.

[5]王拴中,朱玉田.改進小波閾值去噪法的對比性仿真實驗與分析[J].噪聲與振動控制，2012（1）：128-132.

[6]Donoho D L，Lain M J.Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage[J].Blomelrika，1994，81（3）：425-455.

[7]周夕良.基于μ律擬合的小波自適應閾值去噪算法[J].計算機工程與應用，2011，47（27）：141-143.

[8]馮象初，甘小冰，宋國鄉(xiāng).數(shù)值泛函與小波理論[M].西安：西安電子科技大學出版社，2003：159-164.

[9]陶紅艷，秦華峰，余成波.基于改進閾值函數(shù)的小波域去噪算法的研究[J].壓電與聲光，2008，30（1）：93-95.

[10]馬宏鋒，高晶晶，黨建武，等.基于最優(yōu)小波基函數(shù)的語音增強研究[J].通信技術，2010，43（12）：135-137.

[11]郭興明，柯明，肖守中.3σ規(guī)則和μ律閾值法在心音信號去噪中的應用[J].計算機工程，2010，36（7）：279-281.

[12]張君昌，劉紅，姜菲.基于清濁音分離的優(yōu)化小波閾值去噪方法[J].計算機工程與應用，2009，45（31）：130-133.

WANG Rui,ZHANG Youchun

School of Mechanical and Electronic Information,China University of Geosciences（Wuhan）,Wuhan 430074,China

Τo overcome the disadvantage in traditional wavelet threshold de-noising approach,the hard threshold function is discontinuous while the soft threshold function has fixed deviation;a new threshold function is proposed.An adaptive threshold is proposed to enhance the fixed threshold put forward by Donoho.Under the Matlab environment,three experiments are separately carried to select the optimum wavelet base,the optimum parameters of the new threshold function and to compare the new threshold function with traditional threshold functions such as the hard threshold function,the soft threshold function and the compromise threshold function.Experimental result shows that the new threshold function is more effective to enhance the Signal-to-Noise Ratio and to improve the quality of the de-noised speech signal.

wavelet transform;threshold de-noising;threshold function;adaptive threshold;optimum wavelet base

針對傳統(tǒng)小波閾值去噪法中硬閾值函數(shù)不連續(xù)，軟閾值函數(shù)有固定偏差的缺點，提出一種新的閾值函數(shù)。對Donoho的固定閾值進行改進，提出一種自適應的閾值。在Matlab環(huán)境中，分別進行了實驗選取最優(yōu)小波基，新閾值函數(shù)的最優(yōu)參數(shù)以及新閾值函數(shù)與傳統(tǒng)硬閾值函數(shù)，軟閾值函數(shù)和折衷閾值函數(shù)的對比。實驗結果表明，新的閾值函數(shù)能更有效地提高語音信號的信噪比，改進語音質(zhì)量。

小波變換；閾值去噪；閾值函數(shù)；自適應閾值；最優(yōu)小波基

A

ΤP306.1

10.3778/j.issn.1002-8331.1211-0364

WANG Rui,ZHANG Youchun.New threshold function in wavelet threshold de-noising.Computer Engineering and Applications,2013,49（15）：215-218.

王瑞（1988—），女，碩士研究生，研究領域為信號處理；張友純（1954—），男，教授，研究領域為通信與信息系統(tǒng)、計算機應用技術。E-mail：keria1988@yahoo.cn

2012-11-29

2013-01-22

1002-8331（2013）15-0215-04