審視物理情境構(gòu)建物理模型

陳 鋒

（南京師范大學(xué)附屬中學(xué)，江蘇 南京 210003）

學(xué)生在學(xué)習(xí)高中物理必修2的“宇宙速度”內(nèi)容時會有這樣的疑問，如果物體以第一宇宙速度拋出但速度方向不是水平，能成為繞地球運(yùn)行的人造地球衛(wèi)星嗎？如果物體以第一宇宙速度豎直向上拋出能脫離地球的引力束縛，成為繞太陽運(yùn)行的人造行星嗎？……要回答這些問題，不僅需要有關(guān)天體運(yùn)動規(guī)律的知識，還需掌握解決這類問題的有用的模型與方法，常用的有以下幾種.

1 圓軌道模型

在忽略大氣阻力的情況下，物體在地球表面附近至少以多大的水平速度拋出，就不再落回地面成為繞地球運(yùn)動的人造衛(wèi)星？如圖1所示，設(shè)地球質(zhì)量為M，地球半徑為R，物體質(zhì)量為m，物體沿地球表面勻速運(yùn)動的速度為v，運(yùn)行的周期為T，萬有引力常量為G，本文字母表示相同的含義.

物體沿地球表面的運(yùn)動可看成勻速圓周運(yùn)動，地球?qū)ξ矬w的引力提供物體做圓周運(yùn)動所需的向心力，即得物體運(yùn)動的周期為

圖1

這個速度就是第一宇宙速度，當(dāng)發(fā)射的速度大于7.9 km／s小于11.2km／s時物體將成一顆繞地球運(yùn)行的人造地球衛(wèi)星.在高中階段研究天體運(yùn)動時一般都把天體運(yùn)動的橢圓軌道近似看成圓軌道，萬有引力提供天體做圓周運(yùn)動所需的向心力.

2 極限軌道模型

當(dāng)物體以第一宇宙速度豎直向上拋出時，物體經(jīng)過多長時間上升到最高點(diǎn)？上升的最大高度多大？

通常情況下，研究地面附近物體豎直上拋運(yùn)動時，由于拋出時的速度較小，上升的高度有限，可以認(rèn)為物體做勻變速直線運(yùn)動.當(dāng)物體拋出的速度很大，上升的高度很高時，萬有引力的變化對物體運(yùn)動的影響不能忽略，這時可建立極限軌道模型.如圖2所示，把物體運(yùn)動的軌道看成很扁的橢圓軌道，橢圓短軸2b趨于0，地心為橢圓的一個焦點(diǎn)，近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)距離很小，幾乎重合，則最高點(diǎn)與地心的距離等于橢圓的長軸2a.

由機(jī)械能守恒定律得

第一宇宙速度為

由（1）、（2）式解得a＝R.所以物體上升的最大高度為h＝R.

由開普勒第二定律得

式中S陰影是物體運(yùn)動時間t內(nèi)，物體與地心連線掃過的面積，等于半個橢圓ABC面積與三角形AOC面積之和（如圖2中陰影部分）.

圖2

由（3）～（5）式得

由開普勒第三定律得繞地球運(yùn)動半長軸為R的橢圓運(yùn)動的周期和繞地球運(yùn)動半徑為R的圓的周期相等，則

又第一宇宙速度為

由（6）～（8）式解得

物體以第一宇宙速度豎直向上拋出時，物體經(jīng)過時間

上升到最高點(diǎn)，上升的最大高度等于地球半徑R.

物體豎直向上發(fā)射的速度很大但小于第二宇宙速度時，物體運(yùn)動軌道可看成是橢圓軌道的極限：短軸趨于零，長軸等于地心與最高點(diǎn)之間的距離這一模型進(jìn)行研究.

3 橢圓軌道模型

物體從地球表面附近A點(diǎn)拋出時速度大小等于第一宇宙速度，方向與與豎直方向成θ角，在地球?qū)ξ矬w的萬有引力作用下物體將沿橢圓軌道運(yùn)動，地心O為橢圓的一個焦點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)B與地心O距離為r，物體經(jīng)過遠(yuǎn)地點(diǎn)B時速度為vB，如圖3所示.

由開普勒第二定律得Rvsinθ＝rvB，所以

圖3

又第一宇宙速度為

由機(jī)械能守恒定律得

把（1）、（2）式代入（3）式并化簡，得

解得r1＝R＋Rcosθ或r2＝R－Rcosθ，r1對應(yīng)橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)，r2對應(yīng)橢圓軌道的近地點(diǎn)，B點(diǎn)到地心的距離為r1＝R＋Rcosθ，則物體能上升的最大高度為h＝R＋Rcosθ－R＝Rcosθ.

橢圓長軸2a＝r1＋r2＝2R，焦距2c＝r1－r2＝2Rcosθ，短軸，建立如圖4所示坐標(biāo)系，橢圓方程為

圓方程為

圖4

圖5

由（4）、（5）兩式解得x＝±Rsinθ，y＝Rcosθ.

物體落地點(diǎn)與拋出點(diǎn)間的距離等于圓弧AC的長度，即s＝2Rα＝2Rθ.

物體飛行的時間由開普勒第二定律得

式中面積St是物體運(yùn)動時間t內(nèi)，物體與地心連線掃過的面積，等于半個橢圓ABC面積與三角形AOC面積之和，如圖5所示.

由開普勒第三定律，繞地球運(yùn)動半長軸為R的橢圓運(yùn)動的周期和繞地球運(yùn)動半徑為R的圓的周期相等T＝，代入

當(dāng)θ＝0°時，即物體豎直向上拋出，飛行時間為

當(dāng)θ＝90°時，即物體水平拋出，飛行時間為

當(dāng)物體發(fā)射的速度很大但不大于第一宇宙速度時，萬有引力的變化對物體的運(yùn)動影響不能忽略，物體不再作一般意義上的斜拋運(yùn)動，而是沿橢圓軌道運(yùn)動，最終落回地球表面.