垂直位于一類雙材料界面的裂紋對(duì)稱變形尖端場(chǎng)

操瑞康， 鄧小俊， 吳枝根

（合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

垂直位于一類雙材料界面的裂紋對(duì)稱變形尖端場(chǎng)

操瑞康， 鄧小俊， 吳枝根

（合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

基于平面問題中各向同性與正交各向異性材料奇異點(diǎn)附近漸近場(chǎng)的基本解，文章給出了對(duì)稱變形條件下端部位于正交異性／各向同性雙材料界面的垂直裂紋裂尖應(yīng)力奇異性的特征方程以及相應(yīng)的位移場(chǎng)與奇異應(yīng)力場(chǎng)的解析解。為了驗(yàn)證解析解的正確性，通過1個(gè)算例將應(yīng)力奇異性指數(shù)和奇異應(yīng)力分量角函數(shù)的理論值與有限元分析結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，兩者吻合得相當(dāng)好。

裂紋；正交各向異性；雙材料；應(yīng)力奇異性；奇異應(yīng)力場(chǎng)

0 引 言

隨著纖維增強(qiáng)復(fù)合材料大量應(yīng)用于土木工程、航空航天及車輛船舶等工程結(jié)構(gòu)的增強(qiáng)和修補(bǔ)，各向異性／各向同性和正交異性／各向同性結(jié)合材料的強(qiáng)度問題引起了廣泛關(guān)注。大量工程實(shí)例表明，在加固修復(fù)后的工程結(jié)構(gòu)中，再次出現(xiàn)失效的位置往往起始于界面端部或原結(jié)構(gòu)的裂紋與粘接材料的接觸部位。因此，有關(guān)這些部位的應(yīng)力奇異性和奇異應(yīng)力場(chǎng)的分析，對(duì)利用纖維增強(qiáng)復(fù)合材料修復(fù)相關(guān)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)及其強(qiáng)度評(píng)價(jià)有著重要的理論指導(dǎo)意義和工程應(yīng)用價(jià)值［1］。

界面裂紋［2－3］、界面端或界面角 點(diǎn)［4－8］等的應(yīng)力奇異性研究得比較詳盡。多數(shù)文獻(xiàn)通常只給出應(yīng)力奇異性而沒有奇異應(yīng)力場(chǎng)，或未直接給出奇異應(yīng)力場(chǎng)的解析表達(dá)式，尤其是各向異性／各向同性雙材料界面問題。文獻(xiàn)［7］就正交異性／各向同性雙材料界面端給出了相應(yīng)的解，但針對(duì)原結(jié)構(gòu)中的裂紋與粘接材料的接觸部位（即端部位于雙材料界面的裂紋）的奇異應(yīng)力場(chǎng)只能通過特征向量才能得出［9－10］，不能方便地應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)的理論分析。為此，本文在現(xiàn)有文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，通過界面及邊界條件，推導(dǎo)裂尖垂直位于正交異性／各向同性雙材料界面的裂紋在對(duì)稱變形時(shí)的位移場(chǎng)和奇異應(yīng)力場(chǎng)的解析表達(dá)式。應(yīng)用有限元分析軟件對(duì)一模型進(jìn)行數(shù)值求解，以檢驗(yàn)本文理論解的正確性。

1 奇異點(diǎn)附近的漸近場(chǎng)

1.1 各向同性材料平面問題

以奇異點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系（r，θ）。根據(jù)文獻(xiàn)［11］的研究，在平面問題中各向同性材料奇異點(diǎn)附近的位移場(chǎng)與奇異應(yīng)力場(chǎng)分別為：

其中，ur、uθ為極坐標(biāo)系下的位移分量；σr、σθ和τrθ為應(yīng)力分量；μ為材料的切變模量；κ在平面應(yīng)變時(shí)取3－4ν，平面應(yīng)力時(shí)取（3－ν）／（1＋ν）；ν為材料的泊松比；λ（0＜Reλ＜1）為待確定的特征值（應(yīng)力奇異性指數(shù)）；A1、A2、B1和B2均為由邊界及荷載條件確定的待定系數(shù)。

1.2 正交各向異性材料平面問題

以奇異點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿材料的一個(gè)主軸方位定義θ＝0的方向，建立極坐標(biāo)系（r，θ）。根據(jù)材料的2個(gè)特征參數(shù)s1與s2的關(guān)系，正交各向異性材料平面問題中奇異點(diǎn)附近的位移場(chǎng)和奇異應(yīng)力場(chǎng)，有2種不同的表達(dá)式［12］?？紤]一般情況，特征參數(shù)s1≠s2時(shí)，奇異點(diǎn)附近的位移場(chǎng)與奇異應(yīng)力場(chǎng)分別為：

其中，Cij（i，j＝1，2）為由邊界及荷載條件確定的待定系數(shù)；

特征參數(shù)s1與s2的值和正交各向異性材料的彈性參數(shù)c11、c12、c22、c66有關(guān)，即（i＝1，2）為方程as4－bs2＋c＝0的2個(gè)根，其中，a＝c22c66，b＝c11c22－－2c12c66，c＝c11c66。

2 對(duì)稱變形時(shí)垂直裂紋的尖端場(chǎng)

2.1 分析模型

雙材料垂直界面裂紋的分析模型如圖1所示，圖1中，裂尖位于雙材料界面的垂直裂紋模型中，區(qū)域Ⅰ和Ⅱ?yàn)椴牧舷嗤母飨蛲圆牧?，區(qū)域Ⅲ為正交各向異性材料，并且有一個(gè)材料主軸平行于界面。以裂尖為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿垂直于界面的方向?yàn)閤軸建立如圖1所示的坐標(biāo)系。3個(gè)區(qū)域的分布情況分別為區(qū)域Ⅰ為π／2≤θ≤π，區(qū)域Ⅱ?yàn)椋小堞取埽校?，區(qū)域Ⅲ為－π／2≤θ≤π／2?？紤]對(duì)稱變形時(shí)，該模型滿足的對(duì)稱變形條件為：

圖1 雙材料垂直界面裂紋的分析模型

界面連續(xù)條件為：

邊界條件為：

2.2 裂尖應(yīng)力奇異性分析

將（3）式中第2式和（4）式中第3式代入對(duì)稱變形條件（5），解得：

再將（1）～（4）式代入（6）式、（7）式，并利用（12）式可得：

聯(lián)立（13）式，并作代換得：

可以解得：

將（15）式代入（2）式中第2、3式，再代入邊界條件（10）式，可得奇次方程組為：

方程組（16）有非零解的充要條件為系數(shù)矩陣的行列式等于0，由此可得關(guān)于特征值λ的特征方程為：

由（17）式可求出應(yīng)力奇異性指數(shù)λ，同時(shí)由（16）式可得：

將（18）式代入（15）式得：

由界面連續(xù)條件（8）式、（9）式與（7）式、（8）式的比較，容易得：

特征方程（17）一般只能解出唯一的特征值λ（0＜Reλ＜1），引入對(duì)稱變形的應(yīng)力強(qiáng)度因子：

將（12）式和（18）式代入（4）式中第2式，并結(jié)合（21）式，可求得：

其中，C＝λ（λ＋1）［c12（k＋1）－c22（kα1／s1＋α2／s2）］。

2.3 奇異應(yīng)力場(chǎng)的解析表達(dá)式

由（1）～（4）式、（12）式、（18）～（20）式和（22）式，得到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ3個(gè)區(qū)域的位移場(chǎng)與奇異應(yīng)力場(chǎng)的解析解為：

其中，N＝Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；（θ）和（θ）為位移分量的角函數(shù)；（θ）、（θ）和（θ）為奇異應(yīng)力分量的角函數(shù)，它們分別為：

3 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述理論推導(dǎo)的正確性，本文利用MSC／Patran＆Nastran有限元分析軟件對(duì)裂尖垂直位于正交異性／各向同性雙材料界面裂紋的平面應(yīng)變模型進(jìn)行分析，并與本文的理論解進(jìn)行比較，如圖2所示。

圖2a中，區(qū)域Ⅰ、Ⅱ各向同性材料的彈性模量E＝30GPa，泊松比ν＝0.2；區(qū)域Ⅲ的材料彈性常 數(shù)E11＝80GPa，E22＝12GPa，E33＝20GPa，ν12＝0.28，ν13＝0.24，ν23＝0.08，G12＝6GPa。由特征方程（17）求得特征值λ＝0.394 76。圖2b中共2 124個(gè)單元，2 190個(gè)節(jié)點(diǎn)，裂尖附近最小單元的徑向尺寸為0.008 65mm。由θ＝0°方向的應(yīng)力分量σr和σθ的有限元解可求出特征值λ分別為0.398 8和0.395 4［13］，它 們 與 理 論 解 的 相 對(duì) 誤 差 僅 為1.02%和0.16%。裂尖附近奇異應(yīng)力分量角函數(shù)的理論解與有限元數(shù)值解的比較如圖3所示。由此可見，應(yīng)力奇異性特征方程（17）和奇異應(yīng)力場(chǎng)的理論解（24）式是正確的。

圖2 計(jì)算模型和有限元網(wǎng)格劃分

圖3 應(yīng)力分量角函數(shù)的理論解和有限元數(shù)值解

4 結(jié)束語

本文給出了裂尖垂直位于正交異性／各向同性雙材料界面的裂紋在對(duì)稱變形時(shí)的應(yīng)力奇異性特征方程以及相應(yīng)的位移場(chǎng)和奇異應(yīng)力場(chǎng)的解析解，通過比較算例的本文解與有限元數(shù)值解，驗(yàn)證了本文推導(dǎo)的理論公式的正確性。

應(yīng)用本文得到的解析表達(dá)式，由特征方程求出特征值后即可計(jì)算裂尖附近位移場(chǎng)和奇異應(yīng)力場(chǎng)的角函數(shù)。與已有文獻(xiàn)的解［9－10］相比，不需要利用特征值求解一個(gè)12×12方陣的特征向量。因此，本文解不僅形式簡(jiǎn)潔，更便于工程應(yīng)用。

［1］彭福明，郝際平，岳清瑞，等.碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料（CFRP）加固修復(fù)損傷鋼結(jié)構(gòu)［J］.工業(yè)建筑，2003，33（9）：7－10.

［2］Williams M L.The stresses around a fault or crack in dissimilar media［J］.Bulletin of the Seismological Society of A－merica，1959，49（2）：199－204.

［3］李俊林，張少琴，楊維陽，等.正交異性雙材料半無限界面裂紋尖端場(chǎng)分析［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2010，27（3）：444－449.

［4］Shin K C，Kim W S，Lee J J.Application of stress intensity to design of anisotropic／isotropic bi－materials with a wedge［J］.International Journal of Solids and Structures，2007，44（24）：7748－7766.

［5］詹春曉，劉一華.界面端脆性開裂擴(kuò)展的數(shù)值模擬［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，31（10）：1680－1683.

［6］Wu Z，Liu Y.Asymptotic fields near an interface corner in orthotropic bi－materials［J］.International Journal of Fracture，2009，156（1）：37－51.

［7］Wu Z，Liu Y.Singular stress field near interface edge in orthotropic／isotropic bi－materials［J］.International Journal of Solids and Structures，2010，47（17）：2328－2335.

［8］Mintzas A，Nowell D.Validation of an Hcr－based fracture initiation criterion for adhesively bonded joints［J］.Engineering Fracture Mechanics，2012，80：13－27.

［9］Chen D H，Harada K.Stress singularities for crack normal to and terminating at bimaterial interface on orthotropic half－plates［J］.International Journal of Fracture，1996，81（2）：147－162.

［10］陳玳珩.等方性·異方性接合無限板の界面に垂直なき裂先端の応力場(chǎng)［C］／／日本機(jī)械學(xué)會(huì)論文集：A編，1995，61：52－58.

［11］Williams M L.Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in extension［J］.ASME Journal of Applied Mechanics，1952，19：526－528.

［12］Wu Z，Liu Y.Analytical solution for the singular stress distribution due to V－notch in an orthotropic plate material［J］.Engineering Fracture Mechanics，2008，75（8）：2367－2384.

［13］Liu Y，Wu Z，Liang Y，et al.Numerical methods for determination of stress intensity factors of singular stress field［J］.Engineering Fracture Mechanics，2008，75（16）：4793－4803.

Asymptotic fields for crack normal to and terminating at a bi－material interface under symmetric deformation

CAO Rui－kang， DENG Xiao－jun， WU Zhi－gen
（School of Civil and Hydraulic Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

Based on the fundamental solution of asymptotic fields near a singular point in two－dimensional isotropic and orthotropic elastic materials in plane problem，this paper presents the eigenequation and the analytical solutions of the displacement and singular stress fields for the crack normal to and terminating at an orthotropic／isotropic bi－material interface under symmetrical deformation.To verify the correctness of the theoretical solutions，an example is introduced to compare the stress singularity order and angular functions of singular stress components between the analytical values and the FEM results，which turns out to coincide very well with each other.

crack；orthotropicity；bi－material；stress singularity；singular stress field

O343.8

A

1003－5060（2013）02－0197－05

10.3969／j.issn.1003－5060.2013.02.015

2012－06－15；

2012－08－28

合肥工業(yè)大學(xué)博士學(xué)位人員專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目（4115103001）

操瑞康（1989－），男，安徽安慶人，合肥工業(yè)大學(xué)本科生；

吳枝根（1965－），男，安徽蕪湖人，博士，合肥工業(yè)大學(xué)副教授，碩士生導(dǎo)師.

（責(zé)任編輯 閆杏麗）