線性多步預(yù)測校正法在GLONASS衛(wèi)星位置解算中的應(yīng)用＊

劉 巖，饒才杰，呂 達(dá)，白志強(qiáng)

（中國航天科工信息技術(shù)研究院，北京100070）

0 引 言

組合GPS／GLONASS增加了觀測衛(wèi)星的個數(shù)，提高了衛(wèi)星的可用性，改善了衛(wèi)星定位的幾何結(jié)構(gòu)，通過融合可以提高定位精度和可用性，解決GPS網(wǎng)絡(luò)RTK定位中困難地區(qū)的定位問題，具有重要應(yīng)用價值［1－2]。因此，研究 GLONASS系統(tǒng)定位尤其是組合定位有重要實用價值。如何根據(jù)GLONASS廣播星歷進(jìn)行衛(wèi)星位置計算是組合定位的重要一環(huán)。GLONASS廣播導(dǎo)航電文沒有給出開普勒軌道參數(shù)，對于一個給定的時刻，不能通過最新的導(dǎo)航電文參考時刻的開普勒軌道參數(shù)直接計算衛(wèi)星位置。GLONASS導(dǎo)航電文給出的是PZ－90坐標(biāo)系下參考時刻衛(wèi)星的運動狀態(tài)向量，包括參考時刻衛(wèi)星的位置、速度、日月攝動加速度等，每30min更新一次，這決定了對于某一時刻的衛(wèi)星位置，需要以上述的衛(wèi)星運動狀態(tài)向量為初值，采用受力模型通過積分得到［3]。

大量的國內(nèi)外文獻(xiàn)對GPS衛(wèi)星位置的計算方法進(jìn)行了闡述，但對GLONASS衛(wèi)星位置計算方法的研究較少。目前GLONASS衛(wèi)星軌道數(shù)值積分方法主要有龍格－庫塔法（Runge－Kutta），其中以四階龍格－庫塔法最為常用。文獻(xiàn)［4]等推導(dǎo)了GLONASS衛(wèi)星在地固坐標(biāo)系中的運動方程，并簡要介紹了利用龍格－庫塔法進(jìn)行軌道積分的數(shù)值結(jié)果；文獻(xiàn)［5]對龍格－庫塔法進(jìn)行了分析；文獻(xiàn)［6]利用龍格－庫塔法實現(xiàn)了GLONASS衛(wèi)星軌道求解。文獻(xiàn)［7]完成了定步長龍格－庫塔法的計算程序。但是，龍格－庫塔法在計算某一時刻衛(wèi)星位置和速度時只用到前一步的信息，為了保證定位精度，需要多次重新計算多個點處的函數(shù)值［8]，計算量較大。采用Adams線性多步預(yù)測校正法來實現(xiàn)GLONASS衛(wèi)星位置解算，該方法通過較多地利用前面幾步的已知信息，在保證較高精度的前提下，運算量降低為龍格－庫塔法的50%，同時穩(wěn)定性更好。實驗結(jié)果表明，Adams線性多步預(yù)測校正法是一種求解GLONASS位置的有效方法。

1 GLONASS衛(wèi)星的運動狀態(tài)方程

GLONASS衛(wèi)星在PZ－90坐標(biāo)系下的運動方程為［3]

式中，x，y，z分別表示衛(wèi)星在PZ－90坐標(biāo)系下的坐標(biāo)；vx，vy，vz分別表示三個方向的衛(wèi)星速度，其通式為而V＝｛v，v，v｝為衛(wèi)星的速度向xyz量，dX＝｛dx，dy，dz）.

式中：地球引力常量μ＝398 600.44km3／s2；衛(wèi)星到地球質(zhì)心的距離地球的長半軸ae＝6 378.136km；地球重力位第二帶諧系數(shù)J20＝0.001 082 63；地球自轉(zhuǎn)速度ω＝0.000 072

為日月攝動加速度。t時刻式（2）的函數(shù)形式可以表示為

其通式為

式中：a為加速度向量；X＝｛x，y，z｝為衛(wèi)星的坐標(biāo)向量；為日月的攝動加速度向量。

GLONASS每30min更新一組新的星歷參數(shù)，某一時刻ti的衛(wèi)星位置和速度需要采用數(shù)值積分的方法求解，要以最新星歷的參考時刻tb為參考時刻，并以該時刻衛(wèi)星的速度和坐標(biāo)為起算數(shù)據(jù)，對加速度和速度進(jìn)行積分，其積分通式為

2 龍格－庫塔積分法

P階龍格－庫塔法原始公式如下：

使用龍格－庫塔法由yn計算un＋1時，只用到前一步的信息yn，為了提高運算精度，需要重新計算多次函數(shù)值f（x），由于解決實際問題所花費的代價主要取決于求解函數(shù)值的個數(shù)，所以運算量較大。

經(jīng)過一個步長后，使用四階龍格－庫塔積分法（以下簡稱R－K法）計算GLONASS衛(wèi)星的速度和位置坐標(biāo)為

3 Adams線性多步預(yù)測校正法

R－K法屬于單步法，在計算時刻GLONASS衛(wèi)星的速度Vi＋1和位置坐標(biāo)Xi＋1時，只用到前一步的信息Vi和Xi，為了提高運算精度，重新計算了4次加速度值a1，a2，a3，a4，由于進(jìn)行軌道積分所花費的代價主要在于求解加速度，如式（2）所示，因此，使用R－K方法進(jìn)行GLONASS衛(wèi)星位置解算運算量較大。

針對龍格－庫塔方法進(jìn)行軌道積分運算量大的缺點，研究應(yīng)用Adams線性多步法來進(jìn)行GLONASS衛(wèi)星位置解算，通過較多地利用前面幾步的已知信息，構(gòu)造計算量小、精度高的GLONASS衛(wèi)星位置解算的新算法。Adams線性多步公式包括隱式公式和顯式公式，同階的隱式公式比顯式公式精確，而且穩(wěn)定性也好。Adams線性多步法公式為

當(dāng)βk＝0為顯式公式，當(dāng)βk≠0為隱性公式。通常將四步四階顯式公式作為預(yù)測公式，將三步四階隱式公式作為校正公式聯(lián)合使用，如式（10）所示。選用四步五階隱式公式作為校正公式，精度提高一階，本文選用的預(yù)測校正公式如式（11）所示：

采用Adams線性多步預(yù)測校正法（以下簡稱Adams法）計算tt＋1時刻的速度Vi＋1和位置坐標(biāo)Xi＋1公式如下：

通過顯式公式對ti＋1時刻GLONASS衛(wèi)星位置和速度值進(jìn)行預(yù)測，如式（12）所示：

通過隱式公式對ti＋1時刻GLONASS衛(wèi)星位置和速度預(yù)測值進(jìn)行校正，從而得到準(zhǔn)確值，如式（13）所示：

采用Adams法計算ti＋1時刻的速度Vi＋1和位置坐標(biāo) Xi＋1時，需要用到前4步的信息Vi，Vi－1，Vi－2，Vi－3和 Xi，Xi－1，Xi－2，Xi－3，通過較多地利用已知信息，實現(xiàn)了運算量小，高精度的解算。Adams線性多步預(yù)測校正法解算GLONASS衛(wèi)星位置的特點如下：

1）Adams算法的計算量大約是R－K方法的50%.因為采用 Adams法計算ti＋1時刻的速度Vi＋1和位置坐標(biāo)Xi＋1時只需計算兩次加速度值ai，ai＋1，而采用R－K法時需計算4次加速度值a1，a2，a3，a4，由于計算加速度是GLONASS軌道積分過程中運算量較大的部分，由式（2）可見，所以Adams算法可以在很大程度上降低運算量。

2）Adams算法比R－K算法截斷誤差高一階。R－K法具有4階精度，截斷誤差為O（h2）；Adams方法顯示公式具有4階精度，截斷誤差O（h5）為；本文采用的隱式公式具有5階精度，截斷誤差為O（h6）［8].

4 實驗結(jié)果及分析

選取2009年8月29日23∶45至2009年8月31日16∶45每間隔半小時共82個時刻，GLONASS 2號衛(wèi)星的廣播星歷作為實驗數(shù)據(jù)。

分別使用Adams方法與R－K方法，以2009年8月29日23∶45至2009年8月31日15∶45每半小時間隔的參考時間向前軌道積分30min，得到2009年8月30日00∶15至2009年8月31日16∶15半小時間隔的共81個時刻的，GLONASS 2號衛(wèi)星位置的X、Y、Z坐標(biāo)，再將計算結(jié)果與廣播星歷里給出的衛(wèi)星坐標(biāo)進(jìn)行比較，得到兩者差值的統(tǒng)計結(jié)果如表1所示。

分別使用Adams方法與R－K方法，以2009年8月29日23∶45至2009年8月31日15∶15每半小時間隔的參考時間向前軌道積分60min，得到2009年8月30日00∶45至2009年8月31日16∶15半小時間隔的共80個時刻的GLONASS 2號衛(wèi)星位置的X、Y、Z坐標(biāo)，再將計算結(jié)果與廣播星歷里給出的衛(wèi)星坐標(biāo)進(jìn)行比較，得到兩 者差值的統(tǒng)計結(jié)果如表2所示。

表1 30min軌道積分結(jié)果與星歷所給坐標(biāo)之差的絕對值／m

表2 60min軌道積分結(jié)果與星歷所給坐標(biāo)之差的絕對值／m

對試驗數(shù)據(jù)分析如下：

1）向前積分30min，選取不同步長對兩種算法的誤差影響不大，兩種算法誤差都比較小，但Adams算法比R－K算法誤差的均值要小。向前積分60min，Adams算法優(yōu)勢更加明顯，如以200為步長積分時，R－K算法距離誤差均值為8.971 7，而Adams法為8.689 3.

2）隨著積分時間延長，兩種算法的誤差隨之增大，但Adams算法的均值誤差小于R－K算法，且隨著積分時間越長越明顯，說明Adams算法穩(wěn)定性［8]優(yōu)于 R－K 算法。

3）采用R－K方法進(jìn)行一步積分，需要計算4次三維方向的加速度；采用Adams進(jìn)行一步運算，只需要計算2次；由于軌道積分運算的代價主要取決于計算加速度的次數(shù)，所以Adams算法的運算量約為R－K算法的50%.

5 結(jié) 論

引入了Adams線性多步預(yù)測校正法進(jìn)行GLONASS衛(wèi)星位置解算，并采用GLONASS的廣播星歷對Adams算法和R－K算法的積分結(jié)果和運算效率進(jìn)行分析，證明了所提方法是一種有效的GLONASS衛(wèi)星位置解算方法。與四階R－K算法相比，Adams算法精度高、穩(wěn)定性好，而且運算量降低了50%.采用Adams法進(jìn)行GLONASS位置解算，對確保多系統(tǒng)兼容GNSS接收機(jī)的精度、實時性等方面有重要意義。

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