逼近于的遞推數(shù)列的構(gòu)造

劉國(guó)祥

（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

劉國(guó)祥

（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

用兩個(gè)自然數(shù)之比近似地代替一個(gè)無(wú)理數(shù)，或者用兩個(gè)有理數(shù)之比逼近于一個(gè)無(wú)理數(shù)，是數(shù)學(xué)學(xué)科一個(gè)古老的問(wèn)題.人們已經(jīng)得到許多有效的方法.本文討論構(gòu)造遞推數(shù)列，使得通項(xiàng)之比逼近于無(wú)理數(shù)（N是非平方自然數(shù)）.

斐波那契數(shù)列；遞推數(shù)列；佩爾方程

用兩個(gè)自然數(shù)之比近似地代替一個(gè)無(wú)理數(shù)，或者用兩個(gè)有理數(shù)之比逼近于一個(gè)無(wú)理數(shù)，是數(shù)學(xué)學(xué)科一個(gè)古老的問(wèn)題.典型的例子是圓周率π的近似表示.人們已經(jīng)得到許多有效的方法，如連分?jǐn)?shù)等.本文討論構(gòu)造遞推數(shù)列，使得同項(xiàng)之比逼近于無(wú)理數(shù)（.N是非平方自然數(shù)）.

1 用斐波那契數(shù)列逼近于

斐波那契數(shù)列由遞推格式定義：

它的前幾項(xiàng)分別為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89

它的通項(xiàng)公式為熟知的：

他有許多優(yōu)美的性質(zhì)，其中之一是：

對(duì)（3）進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃尉陀校?/p>

顯然bn∈N，并且有：

看一下這些數(shù)的規(guī)律，記分母的數(shù)列為an，它的項(xiàng)是1，2，5，12，29，70，……

則數(shù)列可以用遞推形式給出：

從（10）中消去bn，有：

設(shè)存在實(shí)數(shù)x,y，使得等比數(shù)列{an+1+x an}以y為公比，則：

于是有：

考慮到an+1-an=bn，

3.1 通項(xiàng)公式

考查（13）的另一組解：

應(yīng)用上述同樣的方法得到與（16）類似的式子：

如果把上述討論的2變?yōu)槠渌姆瞧椒阶匀粩?shù)N,如3，5，6，7，8，10，11等.

3.2 遞推公式

用通項(xiàng)公式（20）計(jì)算an,bn比較困難，認(rèn)真觀察（19）和（20）并且與（10）比較，不難發(fā)現(xiàn)可以用遞推公式給出：

顯然（10）是(21)的N=2的特例.（20）是（21）的顯式通項(xiàng)形式.

3.3 初值a1,b1的選取

在（21）中，取a1=b1=1當(dāng)然簡(jiǎn)單，但不是必要的.

如果取a1=s,b1=t,s,t∈N

顯然（21）是（24）在s=t=1時(shí)的特例.（23）是（24）的顯式通項(xiàng)形式.

3.4 與雙曲線的關(guān)系

從（20）中可以得到：

另外，從（26）明顯看出與佩爾方程的關(guān)系，現(xiàn)不詳細(xì)討論.

〔1〕M.克萊因.數(shù)學(xué)：確定性的喪失[M].長(zhǎng)沙：湖南科技出版社，2001.

〔2〕卡爾文.C.克勞森.漫游數(shù)學(xué)王國(guó)[M].上海：上海教育出版社，2001.

〔3〕沈康身.歷史數(shù)學(xué)名題賞析[M].上海：上海教育出版社，2002.

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A

1673-260X（2013）03-0001-02