基于灰色離散Verhulst模型理論的電力中長期負荷預(yù)測研究

張 成，滕 歡, 付 婷

（四川大學(xué)電氣信息學(xué)院， 四川 成都 610065)

0 引言

電力系統(tǒng)負荷預(yù)測是指根據(jù)電力負荷本身或經(jīng)濟、社會、氣象等相關(guān)因素的歷史數(shù)據(jù)，探索電力負荷發(fā)展變化規(guī)律，以及尋求電力負荷與各種相關(guān)因素之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而對未來的電力負荷進行科學(xué)的預(yù)測[1-2]。從這一點出發(fā)，現(xiàn)有的負荷預(yù)測研究方法分成了兩大類：一類是僅從負荷歷史數(shù)據(jù)出發(fā)，建立起預(yù)測模型，這類方法有回歸分析法、動平均法、指數(shù)平滑法和灰色預(yù)測法等[3]；另一類則考慮影響負荷變化的相關(guān)因素，建立起預(yù)測模型，如多元回歸分析法[4]、考慮氣象因素的預(yù)測法[5]等。其中灰色預(yù)測模型及其相關(guān)改進模型在負荷預(yù)測中扮演著非常重要的角色，其應(yīng)用范圍包括短期負荷預(yù)測[6-7]和中長期負荷預(yù)測[8-10]。

文獻[11]通過分析城市年用電量發(fā)展規(guī)律，總結(jié)出三種類型的城市用電量發(fā)展趨勢，并指出傳統(tǒng)GM(1,1)模型對具有飽和特性和按“S型”規(guī)律增長的負荷進行預(yù)測時會產(chǎn)生較大的誤差。為了對按“S型”規(guī)律增長的負荷或系統(tǒng)作出更加準確的預(yù)測，很多學(xué)者提出了灰色Verhulst模型及其相應(yīng)的改進模型[12-15]。文獻[12-13]是站在應(yīng)用的角度對灰色Verhulst模型做了改進，提高了其在負荷預(yù)測中的預(yù)測精度，文獻[14-15]則是站在建模機理的角度，借鑒GM(1,1)模型的相關(guān)發(fā)展成果和研究經(jīng)驗提出了新的灰色Verhulst模型。

根據(jù)離散灰色模型的理論[16]，離散灰色模型可以克服傳統(tǒng)灰色模型中由于參數(shù)估計采用離散形式的方程，模擬和預(yù)測則采用連續(xù)形式的方程，而造成的系統(tǒng)誤差。并且在離散模型中，發(fā)展系數(shù)可以任意的取值，這就大大地擴展了灰色預(yù)測模型的適應(yīng)范圍。文獻[15]正是借鑒了這一離散化思想，基于原始數(shù)據(jù)序列一階累加生成序列的倒數(shù)序列直接建立起灰色離散Verhulst模型。但通過深入分析發(fā)現(xiàn)該倒數(shù)序列呈現(xiàn)出非齊次增長規(guī)律，對其直接建立起形如非齊次指數(shù)的離散灰色模型的灰色離散Verhulst模型缺乏理論依據(jù)。

基于此，本文深入分析了原始數(shù)據(jù)序列一階累加生成序列的倒數(shù)序列的變化規(guī)律，并通過借鑒離散灰色模型理論構(gòu)建了一種新的灰色離散Verhulst模型。通過分析表明該模型符合離散灰色模型的構(gòu)建過程，具有嚴密的理論依據(jù)。根據(jù)灰色預(yù)測理論的預(yù)測特點，采用等維灰數(shù)遞補預(yù)測法對灰色離散Verhulst模型進行改進。最后通過實例論證了本文方法的正確性和有效性。

1 經(jīng)典灰色Verhulst模型

灰色Verhulst模型主要用來描述具有“S型”變化規(guī)律的過程，因此，可以用于預(yù)測呈現(xiàn)“S型”變化規(guī)律的一類電力負荷，其建模過程如下[12,17]。

則稱

為灰色Verhulst模型。其對應(yīng)的白化方程為

取 x(1)(1) = x(0)(1)，求解白化微分方程(2)得灰色Verhulst模型的時間響應(yīng)式為

式中參數(shù) a

∧

=(a ,b)T采用最小二乘估計為

對式(3)進行一階累減還原，得到原始負荷序列的預(yù)測值為

在實際問題中，當遇到原始數(shù)據(jù)序列本身呈“S型”時，通常的做法是取原始數(shù)據(jù)序列為 X(1)，其一階累減序列為 X(0)，建立灰色Verhulst模型直接對X (1)進行模擬[17]。

2 灰色離散Verhulst模型

由第1節(jié)式(3)，對其作倒數(shù)變換，得到

根據(jù)經(jīng)典灰色Verhulst模型的建模過程可知，其參數(shù)估計采用離散形式的方程，模擬和預(yù)測采用連續(xù)形式的方程，從離散形式的估計到連續(xù)形式的預(yù)測這一過程本身就是一種近似，是一個跳躍，也是經(jīng)典灰色Verhulst模型預(yù)測不準確的問題所在[16]。為了克服這一缺點，并結(jié)合式(7)所表現(xiàn)出來的性質(zhì)，通過借鑒離散化思想，本文建立了離散灰色Verhulst模型。

由式(7)可知，原始負荷序列一階累加生成序列的倒數(shù)變換序列呈現(xiàn)出非齊次指數(shù)增長規(guī)律，這就為構(gòu)建非齊次指數(shù)的離散灰色模型提供了基礎(chǔ)[16]。對 y(0)(k )進行一階累加生成，得

為灰色離散Verhulst模型。

值得說明的是，本文提出的模型與文獻[15]提出的模型的最大區(qū)別是：后者是基于序列 y(0)(k)直接建立起如式(9)所示的灰色離散Verhulst模型，而本文則是先對 y(0)(k)進行一次累加生成而后建立起灰色離散Verhulst模型。

3 灰色離散Verhulst模型求解

對式(9)所示的灰色離散Verhulst模型中的帶估計參數(shù) β =(β ,β ,β)T，運用最小二乘法得參數(shù)

1 2 3估計為

式中：

很顯然，由灰色離散Verhulst模型的建模過程可知，從參數(shù)估計到預(yù)測表達式均為離散形式的方程，從而有效地避免了經(jīng)典灰色Verhulst模型缺陷。

4 灰色離散Verhulst模型預(yù)測方法改進

灰色系統(tǒng)理論是利用系統(tǒng)實現(xiàn)的少數(shù)幾個數(shù)據(jù)，通過數(shù)據(jù)生成變換建立起模型，其圖解說明如圖1所示[18]。

圖 1 灰色理論的圖解說明Fig. 1 Illustration of gray model

由圖1可知，預(yù)測值上界和下界所夾部分稱之為灰平面，它由原點（現(xiàn)在時刻）向未來時刻呈“喇叭型”展開，其大小由各個未來時刻預(yù)測值的灰區(qū)間決定。隨著時間的推移，預(yù)測值灰區(qū)間會越來越大，這就決定了灰色預(yù)測的一個重要特點，即真正具有實際意義并且預(yù)測精度較高的預(yù)測值僅僅是整個預(yù)測序列中的第一、第二個預(yù)測值，而其他更遠的預(yù)測值則只能反應(yīng)未來發(fā)展的趨勢[12]。

為了解決這個問題，文獻[18]中列舉了新息預(yù)測法、等維灰數(shù)遞補預(yù)測法和等維新息預(yù)測法等三種方法?；诖?，對于本文提出的灰色離散Verhulst模型采用等維灰數(shù)遞補預(yù)測法。即由所得模型進行單步預(yù)測，將所得預(yù)測值補充到已知數(shù)列中，同時去掉最老的一個數(shù)據(jù)，保持序列維數(shù)不變，然后再根據(jù)新的已知數(shù)列建立模型，進行下一步預(yù)測，如此反復(fù)，依次遞補，直到完成預(yù)測目標為止。

5 案例分析

為了說明本文提出的灰色離散Verhulst模型的有效性。本文采用文獻[12]中陜西省某市1984~1990年用電量作為預(yù)測樣本，對該市1996和1997年的用電量進行預(yù)測。數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 陜西省某市1984~1990年用電量數(shù)據(jù)Table 1 Electric energy data of a certain city of Shaanxi province from 1984 to 1990

為了便于比較模型的優(yōu)劣，在這里設(shè)經(jīng)典灰色Verhulst模型為模型1，文獻[12]中模型即經(jīng)典灰色Verhulst模型的等維灰數(shù)遞補預(yù)測模型為模型2，文獻[15]所提出的灰色離散Verhulst模型為模型3、其等維灰數(shù)遞補預(yù)測模型為模型4，本文提出的灰色離散Verhulst模型為模型5、其等維灰數(shù)遞補預(yù)測模型為模型6。預(yù)測結(jié)果的優(yōu)劣通過預(yù)測值相對誤差ε來體現(xiàn)，其計算公式為

式中：x(0)(i)第i年負荷實際值；x∧

( 0

)(i )為第i年負荷預(yù)測值。

因為本文案例分析數(shù)據(jù)本身呈現(xiàn)出“S型”，按第1節(jié)所述在原始負荷數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上直接建立起模型1，模型3和模型5。其所得參數(shù)估計分別為

其模型的響應(yīng)式分別為

采用模型1~模型6預(yù)測1991~1997年的負荷電量值。由于受條件的限制，僅知道1996和1997年實際電量值，分別為6 078.16 GWh和6 364.68 GWh。各模型的預(yù)測結(jié)果如表2所示。

表 2 1991~1997年不同模型的預(yù)測結(jié)果Table 2 Forecasting results of different models from 1991 to 1997

根據(jù)1996所和1997年實際電量值以及各模型的預(yù)測值，由式(13)可計算得各模型預(yù)測結(jié)果的相對誤差，如表3所示。

表 3 1996~1997年不同模型的預(yù)測相對誤差Table 3 Forecasting relative errors of different models from 1996 to 1997%

由表2和表3的結(jié)果，比較模型1、3和5可知模型5使預(yù)測精度在一定程度上有所改觀，但模型3則明顯變差，其原因如下：

(1) 文獻[15]中提出的模型3是基于原始數(shù)據(jù)序列一階累加生成序列的倒數(shù)序列直接建立起灰色離散Verhulst模型，而序列 y(0)(k)實際上呈現(xiàn)出非齊次指數(shù)規(guī)律，其一階累減還原序列呈現(xiàn)出齊次指數(shù)增長規(guī)律，直接用這種規(guī)律的序列建立形如非齊次指數(shù)的離散灰色模型的灰色離散Verhulst模型缺乏理論依據(jù)，因此會產(chǎn)生較大誤差。

(2) 本文根據(jù) y(0)(k)序列所呈現(xiàn)的規(guī)律，首先對 y(0)(k)序列進行一階累加生成，而后建立灰色離散Verhulst模型，整個建模過程符合非齊次指數(shù)增長離散灰色模型的建模理論，所以能夠在一定程度上提高預(yù)測精度。

比較模型2、4和6可知模型2和模型6都提高了預(yù)測精度，尤其是模型6使得預(yù)測精度得到大幅度提高，而模型4則變差，其原因是三種模型都采用等維灰數(shù)遞補預(yù)測法，將預(yù)測值補充入原始序列，并剔除掉與目標相距最遠的原始值，這符合新息優(yōu)先原則[2]，理論上每種模型的預(yù)測精度都應(yīng)該得到提高，但模型4由于其預(yù)測值即灰數(shù)灰度太大，灰度積累使得后面的預(yù)測值越來越不可信，故精度變差[18]。

綜上所述本文提出的模型5和模型6符合建模理論，并且具有更好的預(yù)測精度。

6 結(jié)論

通過分析呈“S型”增長的負荷序列的一階累加生成序列的倒數(shù)序列的特點，對最終的倒數(shù)序列進行一階累加生成，在此基礎(chǔ)上利用非齊次指數(shù)增長離散灰色模型的建模理論建立起了灰色離散Verhulst模型，并給出了該模型的遞推解的形式。

借鑒灰色離散化理論建立起來的灰色離散Verhulst模型克服了經(jīng)典灰色Verhulst模型由于參數(shù)估計采用離散形式的方程，模擬和預(yù)測采用連續(xù)形式的方程這一缺點所帶的系統(tǒng)誤差。從案例分析可以看出離散的參數(shù)估計到離散的預(yù)測模型更符合建模規(guī)律，具有更高的預(yù)測精度。

根據(jù)灰色預(yù)測理論的預(yù)測特點，采用等維灰數(shù)遞補預(yù)測法對灰色離散Verhulst模型進行改進，克服了其隨著時間的逐漸外推，預(yù)測逐漸失真的缺點，使得灰色預(yù)測模型對于后推若干年的預(yù)測仍然有效成為可能。

通過實例證明，本文提出的方法是正確的和有效的。

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