論微積分求導(dǎo)公式的一種全新推導(dǎo)模式（解方程法）及貝克萊悖論的徹底消除

沈衛(wèi)國

（《區(qū)域供熱》雜志編輯部，北京 100026）

一、基礎(chǔ)微積分導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)中的“貝克萊悖論”

眾所周知，牛頓等在微積分導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)過程中，會產(chǎn)生所謂“貝克萊悖論”。就以最簡單的二次函數(shù)y＝x2為例，牛頓等對其導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)步驟為：

令Δx→0，則有

見圖1所示。圖中B點沿曲線趨近A點，并重合。這時產(chǎn)生一個問題：當(dāng)Δx→0而Δx≠0時，式（1）等號右邊的Δx≠0，最后結(jié)果2x顯然得不到；但當(dāng)Δx＝0時，數(shù)學(xué)中分母不能為0，此式為“不定式”，是非法的。此即著名的“貝克萊悖論”。

圖1

二、傳統(tǒng)微積分理論中對“貝克萊悖論”的解決方案及其問題

微積分在牛頓、萊布尼茨時代，不甚注重嚴(yán)格性。推導(dǎo)中的粗疏和不嚴(yán)格之處并未引起多大注意。只是在貝克萊提出這個著名悖論后，方才引起人們的重視。其后，經(jīng)過歐拉、拉格朗日、波爾查諾、柯西、達(dá)朗貝爾等的工作，終于得到現(xiàn)在已成經(jīng)典的“ε－δ方法”［1］［2］。一般認(rèn)為，這一方法本質(zhì)上是建立在潛無窮觀上的，它允許Δx→0，但Δx≠0，取極限后，用人為“定義”的方法令這個極限值即為該點的函數(shù)值，以保持函數(shù)在該點的連續(xù)性。此方法只是表面上消除了牛頓求導(dǎo)方法中的在Δx＝0時的貝克萊悖論問題。［1］但實際上，由于此種方法的人為性，它并未給出在某點的導(dǎo)數(shù)求解過程中，在該點究竟發(fā)生了什么。它號稱“求出”了某點的某值，又不允許到達(dá)該點而獉只能無限接近，同時該點函數(shù)之值又被人為“定義”也就是“規(guī)定”出而非求出它剛好能夠（可視為“碰巧”）等于該點所具有的、別的點趨近于它的“極限”值。如此拖泥帶水的方法很不自然，不能令人滿意。比如，文獻(xiàn)［1］中舉的一個有關(guān)求某點速度的例子，最后得到：

其中Δs為距離增量；Δt為時間增量；v為某點速度。很顯然，Δs／Δt是有明確的物理意義的，Δt不能等于0?？墒窃讦＝0時的那一瞬間（時刻），究竟發(fā)生了什么？為什么還會有、且唯一有精確的、原本只作為Δt→0而Δt≠0的極限存在的v值？這一切都沒有給出令人信服的解釋。我們知道，速度這一概念按傳統(tǒng)理解，為單位時段物體所運(yùn)動的距離。離開了“時段”概念（無論其多小），還能有速度概念嗎？我們所說的或所認(rèn)為的“瞬時速度”、“某時刻的速度”，究竟所指為何？難道不是嗎：在Δt＝0時，即時間看起來“靜止”時，Δs的確也只能為0，那么Δs／Δt順理成章地為0／0不是很自然嗎？但如此一來，又明顯違反基本數(shù)學(xué)原則。物理上也解釋不通這個“瞬間速度”究竟是什么。但多少年來，人們又在毫無顧忌地使用這個概念?？傊?，問題仍舊沒有從根本上被解決和解釋。

還有一個問題。微積分求導(dǎo)的“現(xiàn)代解釋”中的潛無窮觀點及過程不能自然到達(dá)所求點，只能靠“定義”，而現(xiàn)實中的運(yùn)動、速度，“到達(dá)某點”及經(jīng)過某段路徑都是實實在在的，本質(zhì)上是一個實無窮過程，這是一個矛盾?？傊?，現(xiàn)在的微積分理論并不像一些人所聲稱的那樣在邏輯上是“嚴(yán)謹(jǐn)”的，用人為“定義”所求點函數(shù)存在且連續(xù)的不自然的方法，只是在表面上消除 “貝克萊悖論”。我們不應(yīng)忘記，微積分中某點的導(dǎo)數(shù)是被牛頓等（推導(dǎo)、計算）出來的，而不是定義出來的。在這個意義上，貝克萊悖論并未在根本上被解決，它依然存在。事實上，如前文所述，即使要用“定義”某點連續(xù)的方式來消除貝克萊悖論，也要事先求出該點極限值，但事實上存在一個ε－δ方法潛無窮極限悖論：設(shè)有ε，總有δ，就意味著不可能有到達(dá)Δt＝0之時，那怎會知道存在一個極限？很顯然，這是已知Δt＝0時函數(shù)之值后才如此說的。而如果事先已知Δt＝0時函數(shù)有值，為何又偏說到達(dá)不了Δt＝0的位置，只因為此時會出現(xiàn)情況？靠外部定義（如文獻(xiàn)［1］中所言）不能解決（Δt＝0處的）理論問題，它只是權(quán)宜之計，不是理論推出來的。

也就是說，如果極限值不是求出來的，你怎么會知道由ε－δ法會接近它（因ε－δ方法永達(dá)不到它）？而如是求出來的，又會出現(xiàn)情況，產(chǎn)生悖論，可見此類方法還是很有問題的。

總之，所謂ε－δ方法，實質(zhì)隱藏了貝克萊悖論。它說的是存在一個極限，只要對任何（所有）│xx0│ ＜δ的x，都有│f（x）－A│＜ε，則f（x）在x＝x0處有極限A，但如何保證（證明）對所有x都有上述極限？你還得認(rèn)為在x＝x6時函數(shù)已經(jīng)有了A值。A即是如此已經(jīng)被“求得”的，因為在我們得到（求出）存在極限A的結(jié)論之前，它已經(jīng)存在于│f（x）－A│＜ε的式子中了。也只有如此才能證明ε－δ方法可用。所以這是邏輯循環(huán)，不過只明說一半來“消除”悖論，貝克萊悖論被隱藏起來了。牛頓是同時令Δx＝0、Δx≠0，而ε－δ方法本質(zhì)上實際是事先用Δx＝0求出極限（無論人們承認(rèn)與否），再定義其處連續(xù)，然后再令Δx≠0，不承認(rèn)有Δx＝0這回事罷了。固一旦求出Δx＝0的值，再令其為不可達(dá)的極限，再令（定義）其有值（連續(xù)），曾經(jīng)的Δx就不再出現(xiàn)，即Δx＝0與Δx≠0不過是不像牛頓方法那樣出現(xiàn)罷了，這里是不同時出現(xiàn)，但仍然出現(xiàn)過。它是“潛在”地使用實無窮，而“實在”地使用潛無窮罷了。實無窮并未如所認(rèn)為那樣“徹底出局”，只不過是將貝克萊悖論由顯形式變?yōu)榱穗[形式。

圖2

以上，筆者從函數(shù)極限、連續(xù)性的角度揭示了貝克萊悖論并未像人們宣稱的那樣被消除。實際上，那還只是一個間接矛盾。更明確的悖論，是直接從定義、定義域出發(fā)來看問題。我們說，ε－δ方法、極限、函數(shù)的連續(xù)性等本質(zhì)上依賴曲線上二點的方法對其它函數(shù)都適用，但對導(dǎo)函數(shù)、對速度函數(shù)不適用。此點竟被以往論者所未見。這里有一個直觀的說明，見圖2。一個直角三角形，設(shè)有直接定義在Δx、Δy之上的函數(shù)即該三角形的兩個直角邊（或言“長與寬”、“底與高”）之比。在被賦與物理意義后，我們完全可以理解成是速度。顯然，在Δx→0而Δx≠0時，上述函數(shù)都有定義。無論Δx（進(jìn)而Δy，也就是三角形）多么小。這時傳統(tǒng)的ε－δ方法當(dāng)然可用。但一旦到達(dá)A點，Δx＝0（Δy＝0），三角形根本不存在了，也就根本談不上已消失了的“三角形的兩個直角邊之比”了。比如，我們可以設(shè)Δy＝Δx，則在Δx→0時也如此。在Δx＝0時，顯然這個函數(shù)是有其極限的，即極限也等于1。但函數(shù)本身為不定式，說明根本沒有定義。函數(shù)按定義在A點不連續(xù)，因為此時三角形已不存在了。所以，我們完全可以根據(jù)此函數(shù)的特殊性（直角三角形二直角邊之比），補(bǔ)充一個明確的定義：該函數(shù)在A點無值、無定義（或言不確定、定義域不包括A（Δx＝0時）點）。所以函數(shù)在某點有極限，但完全可以不連續(xù)和沒有確定值，除非重新用定義“令”其有值。但如此一來，則與原定義（定義域）直接矛盾，形成真正意義的邏輯矛盾或悖論。這實際就是貝克萊悖論的本質(zhì)。可見，所謂的“無定義”有兩種：一種只不過是“缺失”，補(bǔ)充定義即可；另一種則是“公理保障”性的“無定義”，實際即等價于“不允許有定義”。如兩條邊的長度比之于三角形的頂點、速度的本源性定義之于某時刻等等。

因此，傳統(tǒng)上那種認(rèn)為由ε－δ方法，在Δx、Δy之上直接定義也僅由它們的定義之下求出極限，再定義極限點導(dǎo)函數(shù)有值并連續(xù)的悖論消除法，不但沒有如愿，反倒使矛盾更明確了。

因此，貝克萊悖論完全未被消除，其本質(zhì)并不只是傳統(tǒng)上認(rèn)為的廣義的、大多數(shù)的、一般意義的函數(shù)能否在A點連續(xù)、有極限的問題，而是導(dǎo)數(shù)、速度函數(shù)及更直接地直角三角形的二直角邊之比這個特殊的函數(shù)，在三角形的頂點A究竟有無定義的問題，也就是一個定義域包括不包括A點的問題。以往傳統(tǒng)上的ε－δ方法，只是給出了的連續(xù)性問題，但不可能解決導(dǎo)函數(shù)、速度函數(shù)這個特殊函數(shù)在A點的連續(xù)性問題。如果強(qiáng)行定義，必與原定義直接矛盾。而所謂原定義，就是：導(dǎo)函數(shù)、速度函數(shù)在傳統(tǒng)方法下在A點“無定義”。

以往，這個“原定義”沒有被明確提出，它僅以隱形式存在，這里我們將其“發(fā)現(xiàn)”并明確提出，作為“補(bǔ)充定義”。它直接與ε－δ方法的導(dǎo)函數(shù)在所求點連續(xù)、有值的“定義”矛盾。由此我們可以看出，所謂的“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”，并未像人們宣稱的那樣被消除，而只是被掩飾了。它依然存在。

有人認(rèn)為，教學(xué)中學(xué)生在理解ε－δ方法、極限概念及貝克萊悖論的消除上有困難，實際上，這一點不奇怪。因為在導(dǎo)函數(shù)這一類特殊函數(shù)中，貝克萊悖論實際根本就未被消除。一個本身就有破綻的理論，怎么能被人毫無疑問地接受呢？

順便提一下，圖2中A點的“三角形二直角邊的比”（或等價地“導(dǎo)函數(shù)”、“瞬時速度”）還可以被定義嗎？以下我們將會看到，當(dāng)然可以。但這不能由傳統(tǒng)作法那樣用這里的Δx、Δy來得到或定，這個三角形在A點已經(jīng)收縮成一點了。但它可以由另一個三角形的直角邊Δx′、Δy′來定義，即以下我們可以看到，如此一個簡單之極的思路與辦法，是如何最終不但巧妙、而且與現(xiàn)實數(shù)學(xué)、物理世界完全協(xié)調(diào)并極其自然地解決了這個竟然延續(xù)了如此長時間的問題（悖論）的。

三、有關(guān)導(dǎo)數(shù)的一種全新求解方式及其與傳統(tǒng)方法的比較

我們?nèi)砸远魏瘮?shù)y＝x2為例。設(shè)其與一直線y＝bx－c有兩個或一個交點，我們求其交點。聯(lián)立二方程，有：

將下式代入上式，則有x2－bx＋c＝0，其通解為：

當(dāng)b2＝4ac時，直線與曲線y＝x2只有一個交點（解），為曲線y＝x2的切線，即而b為直線（此時為切線）的斜率，即

與微積分牛頓方法得到的（1′）式完全一樣。我們設(shè)Δy′、Δx′為該直線上任意兩點間的縱、橫坐標(biāo)差，則顯然

參見圖3。

圖3

總之，當(dāng)曲線上的Δx＝0時，切線上的（曲線外的）Δx′完全可以甚至必須不等于0，Δx、Δx′是兩回事，我們要求的實際是Δx＝0時的值。這在以往，沒有從根本上搞清楚。至于導(dǎo)的理論解釋將在下文進(jìn)行進(jìn)一步的討論?？梢钥闯觯?dāng)曲線上的Δx≠0時時顯然仍有確定值，這就是Δx＝0時所求的曲線在該點的切線斜率，或該點的“瞬時速度”?？傊⒉焕頃是否為0。在Δx為0與不為0時，它都存在。因此我們完全可以有把握地宣告，這一方法將徹底消除微積分導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)推導(dǎo)中的無窮小量、潛無窮疑難和由之產(chǎn)生的貝克萊悖論。

這是此方法與牛頓等的方法及現(xiàn)代微積分的ε－δ方法的根本區(qū)別，它無需人為“定義”函數(shù)的連續(xù)性等等。對直線斜率，這里再進(jìn)一步明確證明一下（其實多余）。

設(shè)：y＝bx＋d，同時有y＋Δy′＝b（y＋Δx′）＋y，前式代入后式，消去同類項后，得到：

Δy′＝bΔx′，即有

顯然，公式（1）中的無窮小Δx是無法舍棄的，它再小在圖1中也與曲線上二點的連線為同一數(shù)量級。顯然不要求Δx′、Δy′分別為無窮小量，而是宏觀量。它的意義是此時刻質(zhì)點突然不再受力時的直線勻速運(yùn)動的速度?？傊x在曲線與其割線的二個交點之間的線段的斜率函數(shù)（A函數(shù)，或稱為變速運(yùn)動時實際存在著的平均速度函數(shù)），是以曲線與其割線的兩個交點為自變量的復(fù)合函數(shù)，它在這二點重合時（成為切點）無值。而且它無論與曲線的切線的斜率函數(shù)（B函數(shù)，即瞬時速度函數(shù)，只以曲線上的一點（切點）為自變量），還是與定義域不受這個曲線與其割線的兩個交點的限制并可以過渡到曲線的切線（當(dāng)然只與該曲線交于一點，即切點）的斜率函數(shù)（C函數(shù)，變速運(yùn)動時的實際平均速度也就是A函數(shù)的擴(kuò)展函數(shù)，在二或一個交點時都適用）根本就不是同一個函數(shù)，盡管C函數(shù)在大多數(shù)情況下（⊿x≠0時，即在割線狀態(tài)下時）與A函數(shù)的數(shù)值一樣。這也是人們長期未能嚴(yán)格區(qū)分它們的原因。這里我們可以十分清晰地看出，傳統(tǒng)理論（無論牛頓、萊布尼茲還是ε－δ法），都是在A函數(shù)下討論問題的，但它們又都認(rèn)為在曲線與其割線的兩個交點合二為一時仍有值（這可看成是傳統(tǒng)微積分理論的公理體系及其核心），這直接導(dǎo)致貝克萊悖論，即產(chǎn)生矛盾。而在本文實際上已經(jīng)提出的微積分的公理體系下（B函數(shù)，特別是C函數(shù)。篇幅所限，不再詳述），則再也不會產(chǎn)生悖論了。

至此，牛頓等的方法及所謂ε－δ方法對可導(dǎo)函數(shù)在運(yùn)算上和求實際問題上是完全可以的，但在理論解釋上有問題的原因已獲澄清。

對比公式（1）和公式（5）可以看出，牛頓方法中Δx＝0（公式（1））即公式（5）中的，即b2＝4ac，但牛頓實際求出的是作為切線的直線的斜率而不是Δx＝0時曲線上割線的清楚此點后，牛頓方法在操作意義上就可以放心使用了。

雖然如此，但實際我們可以有更易理解的方式。見圖4。此實際就是中值定理的結(jié)果。我們完全可以不像圖1那樣，令B點趨向A點，曲線的割線旋轉(zhuǎn)，斜率變化。而是沿箭頭方向平推，直線斜率保持不變。A、B點最后匯集于C點（割線變切線）。此時依賴于曲線上A、B二點作為端點的無意義；但不依賴A、B點作為端點的割線斜率在成為切線后仍有值，而在割線狀態(tài)時都是平均速度，不過一個僅限于曲線范圍（定義域僅在曲線定義域內(nèi)），另一個可以不限于曲線的定義域范圍而已。當(dāng)割線（平均速度）變到切線（瞬時速度）時，斜率數(shù)值不變，完全不用考慮什么極限。ε－δ、潛無窮、無窮小等等，這一過程的描述，更能突出本文的導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)思想與牛頓法及ε－δ法的本質(zhì)區(qū)別，也更好理解。我們可以理解成是用一個更直接了當(dāng)?shù)姆绞剑瑥氐邹饤墲摕o窮、無窮小、極限之類的概念，而得到中值定理。當(dāng)然，每一種新的思路與方法，都應(yīng)該能夠解決哪怕是部分原先的理論所解決不了的問題。比如所謂函數(shù)在某點或處的連續(xù)但不可導(dǎo)的問題，分形的不可導(dǎo)問題等，我們應(yīng)認(rèn)為現(xiàn)之所謂的“不可導(dǎo)”，實際只能是指在牛頓法或ε－δ方法下不可導(dǎo)。這反映了這類方法的局限性。本質(zhì)是：如果求導(dǎo)必須依賴函數(shù)上二點的相互無限接近，當(dāng)函數(shù)在某點附近的振蕩頻率趨于無窮時，自然找不到導(dǎo)數(shù)所要求的函數(shù)的單值性，所以“不可導(dǎo)”。但在本文提出的思路及方法下，僅只求函數(shù)曲線上一點的切線，只要函數(shù)在該點連續(xù)就應(yīng)該有導(dǎo)數(shù)，原則上也應(yīng)能被求出。或雖不好求或全部求出，但可證導(dǎo)數(shù)肯定處處存在。就如無理數(shù)無法全部列出，但肯定完備一樣。即如果在某函數(shù)曲線的某點處，函數(shù)“振蕩”次數(shù)趨于無窮，傳統(tǒng)上這當(dāng)然不可導(dǎo)。但既然“允許”函數(shù)趨向某點時可以“振蕩”無窮次，那其“波長”也應(yīng)被“允許”是趨于無窮小的。雖如此，但其畢竟還是波長，還是連續(xù)的，也就應(yīng)有定義在無窮小區(qū)間上的拐點及其位置處的切線，也就是導(dǎo)數(shù)，除非不承認(rèn)這種無窮次振蕩的函數(shù)存在。此種思想，可能也可用到測度、積分理論上。更深入的研究與討論，完全是可以期待的，本文只是拋磚引玉。

圖4

圖5

四、對一些基本概念（速度、瞬時速度、平均速度）的更詳細(xì)、嚴(yán)格的討論

還是先從前文已詳細(xì)討論過的貝克萊悖論開始。如：在二次曲線y＝x2下，有Δy＝2x·Δx＋Δx2，在Δy、Δx→0而不等于0時，都對。也可以說Δx決定Δy值。但當(dāng)Δx＝0時，上式為：0＝2x·0＋x·0，也對，即縱、橫坐標(biāo)的增量都沒有了，割線的二交點匯集到二次曲線上的一點。但一旦把Δx除到等式左邊的分母上，就有在增量Δx為0時，2x是什么？不好解釋了。如果我們像牛頓一樣，給Δy、Δx賦與物理意義，這反映了在Δx即時間增量（進(jìn)程）為0時，即在某曲線（可理解成有加速運(yùn)動）上的增量也自然為0，其比0／0不存在。但該點（瞬時、時刻）究竟還有沒有值？（其中Δy′、Δx′；dy′、dx′為切線、割線上的，所涉及的二點與曲線可以無關(guān)且任意，見前文）。顯然，Δx、Δy直接與曲線上的二點相對應(yīng)，當(dāng)然都是可以為0（曲線上二點化一點）的，但此時其比值不成立。中的dy、dx，盡管我們可以認(rèn)為其為無窮小量，但由于前文理由，此時貝克萊悖論仍存在，即存在一個等式右邊的無窮小量dx的與等式左邊分母上的無窮小量dx不能同時舍棄或不舍棄的問題。唯一可以保證邏輯上無問題的，唯有值，它們與曲線上二點直接相關(guān)的Δx、dx等于0與否無關(guān)。它們唯一地決定于曲線上的點而非兩點，即與切線相交的那一點，另一點無論遠(yuǎn)近，都明確在曲線之外、切線之上。而非曲線上“真實的運(yùn)動”。真實運(yùn)動的軌跡與時間的比為平均速度，而直線（切線）上的斜率處處一樣，自然在該點也一樣。除該點外，與曲線y＝x2無任何關(guān)聯(lián)。這就是曲線上該點的“瞬時速度”概念，即在Δx＝0時刻，物理質(zhì)點如突然不再受力，該質(zhì)點將沿該直線（切線）運(yùn)動而脫離曲線y＝x2。在這個意義上，瞬時速度也是“真實的”。但如果實際的運(yùn)動軌跡是曲線y＝x2，物理上即是質(zhì)點始終受力，則此時的“瞬時速度”，即不是現(xiàn)實中的速度，因為即使一個無窮小的時間“進(jìn)程”，也有無窮小的速度增量。加速度及速度增量是無法用令時間間隔Δx→dx即達(dá)到無窮小而不等于0來徹底消除的。

我們可以十分尖銳地以一個實例來揭示此問題：設(shè)一個勻速運(yùn)動的質(zhì)點，在某時刻受到一個瞬時力，產(chǎn)生瞬時加速度（無論是改變運(yùn)動方向還是運(yùn)動速度），請問，該時刻（瞬時）的速度、加速度為何？

由于該質(zhì)點受瞬時力后，運(yùn)動軌跡或其速度矢量圖將出現(xiàn)折線，轉(zhuǎn)折點即受力點，如圖5。因此，該點的速度是A點后的折線（實線3），還是A點后的延長線（虛線2）、還是A點前一刻的實線1？

不徹底搞清“瞬時速度”、“瞬時加速度”等概念，此問題別看簡單，卻很難回答。事實上，此問題在本文之前，別說回答，甚至都未見提出。我們說，在理論上，某絕對意義的瞬時、時刻，只能有一個物理動作、事件發(fā)生。在絕對意義的該時刻，不可能又啟動施力，又撤消該力。換言之，該“瞬時力”的撤除或消失，必在理論上的下一時刻，而無論這一時段多短。也就是說，既然“產(chǎn)生”、“發(fā)生”屬于這一時刻了，那“撤除”、“消失”只能屬于下一時刻?？傊?，任何力，從產(chǎn)生、存在到消失都必須要有一個時段，盡管此時段在理論上可以無窮小下去，但必存在于兩個時刻、兩個瞬時之間。一個絕對意義的抽象的“脈沖”，只可能屬于一個抽象意義的時刻，而一個時刻不可能同時又有、同時又無脈沖。無脈沖的只能是下一時刻。在此意義上，圖5的折線實際放大來看在折點A處是彎曲的，如圖6①，即使力為絕對意義的、抽象的脈沖（作用時間間隔為0），也是圖6②的情況。

圖6

總之，A、B分別為不同的時刻，無論其間隔可以多小，A為開始施力處，B為力的撤消處。如此我們可以看出，所謂A點（時刻）的“瞬時加速度”，使其后的B點（時刻）速度改變或運(yùn)動方向改變了，因此A點（時刻）的瞬時速度不應(yīng)該是圖中A點后的實線3了，而只能是實線1或虛線2，其二者實際是一回事，只不過解釋稍有不同，即實線1的解釋是：A點（時刻）的瞬時速度，是施力前的質(zhì)點速度；而虛線2的解釋是：A點（時刻）的瞬時速度，是在A點如該瞬時力未實施時的A點后的速度。這二種解釋當(dāng)然是同一個事物的兩面。由此，我們可以看出，在勻速直線運(yùn)動時，由于平均速度與瞬時速度完全一樣，因此盡管本質(zhì)上速度概念要涉及一個時間段（再小也要有），因此仍然存在何為“瞬時速度”的問題，但它被掩蓋了，而且無足輕重。但在變速（加速）運(yùn)動時就完全不一樣了，此問題再也含糊不下去了。否則就會產(chǎn)生貝克萊悖論。而筆者由一個新的微積分導(dǎo)數(shù)的求解思路進(jìn)而引伸出的對瞬時速度的理解與定義，既可以使無時間段大小的瞬時（時刻）速度在曲線運(yùn)動、加速運(yùn)動時有定義（定義在抽象的時間點即時刻上，而不是時間段上（哪怕再?。?，又使速度（任何速度，無論平均、瞬時、加速、曲線等）的需要一個時段的本質(zhì)得以被解釋及說明，而在傳統(tǒng)微積分理論中，此二者是直接矛盾的。所以我們說，傳統(tǒng)微積分的問題，并不僅限于微積分，實際上它是對這些基本概念沒有厘清的必然結(jié)果。下面，我們根據(jù)以上分析，給出曲線運(yùn)動或有加速度時的瞬時速度的一個完整定義：曲線運(yùn)動、加速運(yùn)動時的瞬時速度，是指該時刻如果施于運(yùn)動質(zhì)點的力突然撤消時的質(zhì)點作勻速直線運(yùn)動的速度；或在該時刻一個勻速直線運(yùn)動突然被施力加速時，施力加速前一時刻的速度（對應(yīng)圖上實線1）?；驗榕c前一定義統(tǒng)一，我們也可認(rèn)為是如果在該時刻本應(yīng)施加的力未施加時的（還未施加就被撤消了）勻速直線運(yùn)動速度（對應(yīng)圖中虛線2）。注意，此時雖然名為“瞬時速度”，其本質(zhì)僅是在運(yùn)動曲線上該點（瞬時）的的二點間（二時刻間）、但此二點在切線上并不固定而可隨意選定的勻速直線運(yùn)動速度，此切線的一點與所論曲線相交，另一點無論遠(yuǎn)近，都在所論曲線之外。

以上，我們用曲線運(yùn)動時在某瞬間突然不受力后的質(zhì)點運(yùn)動狀態(tài)，來定義該瞬間的“瞬時速度”。但還應(yīng)回答為什么質(zhì)點在該瞬時突然不受力，質(zhì)點會沿切線方向運(yùn)動。以下給一證明。

證明曲線上某點上的質(zhì)點如突然不受力，只能沿切線方向運(yùn)動：曲線上某點的切線與曲線只有唯一交點。在此點，物理質(zhì)點受力則作曲線運(yùn)動，不受力則作切線方向的直線勻速運(yùn)動，所以不可能沿其它直線運(yùn)動。其它直線，不是與曲線不相交（無關(guān)），就是與曲線有兩個交點，而后者意味著，一個沿曲線正向運(yùn)動或反向運(yùn)動的質(zhì)點，不受力后比始終受力的情況彎折度還大。如圖7，顯然不合理。

圖7

總之，以往的微積分理論之所以會產(chǎn)生問題，本質(zhì)上就是沒有分清質(zhì)點受力時的“真實的”變速運(yùn)動與一旦在某時刻不受力時質(zhì)點的勻速直線運(yùn)動（此為該點的瞬時速度，因始自該點）之間的區(qū)別。幾何直觀上，平均速度在曲線上用二點間的割線表征，只要二點不重合成一點，割線再小也是割線。由于速度隨時在變（方向、速率），所以僅就“速度”概念而言，此時在現(xiàn)實中只能是“平均”的；而二點重合的某時刻、瞬間的“瞬時速度”，既然有值，就不會是在該實際曲線上現(xiàn)實發(fā)生的。但速度概念按定義又離不開“時段”概念，抽象的“點”、時刻是無“時段”可言的，于是只能是該點（時刻）切線上的二點間的斜率，而絕非曲線本身上的二點。以往之所以人們未能意識到此問題，恐怕還有一個原因，那就是在不受力的勻速度直線運(yùn)動中，平均速度和瞬時速度在數(shù)值上是一樣的，人們將二者混為一談。延及曲線、變速運(yùn)動，就未能嚴(yán)格區(qū)分二者在概念上的絕大差異，因此帶來理解上的困難，以致完全忽視了這個問題?？傊晒P者此文的分析，在微積分的導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)中可以徹底擯棄“無窮小”、“無限接近”、“潛無窮”、“極限”這樣的概念的，并澄清了貝克萊悖論。我們可以再一次以一個簡單的圖來表示這個思想（見圖8）。

圖8

我們甚至可以給出一個證明：瞬時速度只能是離開曲線的直線（勻速）速度。因：速度或?qū)?shù)定義：既為比值，自然離不開的自變量的不為0，即Δx≠0，否則就有不成立、無定義。但瞬時速度又必須每點有定義，即在Δx＝0時有定義。而這與速度的一般定義即要求Δx≠0表觀矛盾。所以只能是在該點與曲線相交的一條直線上的Δx′≠0的速度（在曲線的Δx＝0時），即有（直線上的），得證。簡而言之，切線與曲線之間，不可能有兩個以上的交點；而割線和曲線之間，不可能只有一個交點。而速度按其本源性定義，要求定義線段上的二點以對應(yīng)區(qū)別于“時刻”的“時段”，所以在切點我們所談?wù)摰乃俣龋荒苁巧婕扒芯€上的二點的。它既不可能涉及曲線上的二點（一如牛頓、ε－δ法那樣），也不可能只涉及曲線上的一點。正確的理解應(yīng)是：它可以定義在曲線的一點上，但必須與切線上的另一點相關(guān)聯(lián)。即：作為本源性定義，它必須定義在切線上的二點上（定義域）；而作為次生定義，它可以定義在曲線與切線的交點上。但我們必須清楚，作為速度的本源定義只能與一個時段相關(guān)聯(lián)。在“時刻”上并無本源性速度可言，如要給以定義，必須按本文的理解來解釋這一次生的定義才行。

總之，只有在勻速直線運(yùn)動中，才應(yīng)該有現(xiàn)實中發(fā)生的速度、瞬時速度概念。在現(xiàn)實中發(fā)生的變速、曲線運(yùn)動中，嚴(yán)格講應(yīng)該沒有這兩個概念，只有“平均速度”及“加速度”概念。如果說有，也是在本文定義下的，即需要“實際”在某點之后脫離曲線的切線上的“線段”的縱、橫坐標(biāo)差之比，也僅在此意義上，我們才可以把這個東西看成曲線上該點的“瞬時速度”。它雖然在曲線上每個點都有值，但不要忘了其“物理”、“現(xiàn)實”意義究竟是什么。也就是：在點（不是線段）上是無法定義本源性的“速度”的，速度只能是某時段中質(zhì)點走過的路程與該時段之比。瞬時速度是在這一基本定義上派生出來的“次級定義”，即在某時刻如不受力，質(zhì)點下一步將以什么樣的速度（勻速）運(yùn)動下去。著名的芝諾悖論中的“飛矢不動”悖論，也說明這個問題：時刻只與位置關(guān)聯(lián)。某時刻運(yùn)動物體只有某位置?？梢哉f某時刻到達(dá)某位置，但這不是速度，速度只與“時段”相關(guān)聯(lián)而非“時刻”。通常說某“時刻”的速度，只有指勻速直線運(yùn)動時在該時刻（點）的前一時段或后一時段的速度，即該點（時刻）的到達(dá)速度與離去速度，為該點“瞬時速度”。而在曲線、加速運(yùn)動時，則為一旦在該時刻、瞬間質(zhì)點解除所受之力，則下一“時段”應(yīng)具有的速度為該曲線、加速度在該“時刻”的瞬時速度。由于其前一時段必受力（否則不會是曲線運(yùn)動），所以不能再用前一時段的平均速度來定義該點（時刻）的瞬時速度了。通俗些講，飛矢不動（芝諾悖論）的正解為：運(yùn)動定義：隨時間流動（時段內(nèi)）的位置差的變化；靜止（不動）定義：隨時間流動（時段內(nèi)）位置不變。原因自然是現(xiàn)實中時間總在“流動”，不會靜止不動。飛矢不動，指“瞬時”，即時間如果固定時的情況，此時的“不動”，不能理解成“隨時間流動不動（無位置變化）”，而是指時間不流動（固定）時，位置也固定。這在現(xiàn)實中當(dāng)然不可能發(fā)生（原因自然是沒有不流動的時間），過去將二者混為一談了。因此，嚴(yán)格講在某時刻我們只能說“到達(dá)”（處于、位于）某位置，而不能說“靜止”于某位置，即使真的靜止也一樣（嚴(yán)格講，因這里針對的是“時刻”而非“時段”）。

既然“靜止”的定義是在某時間段內(nèi)物體保持位置不變，那么在此時間段內(nèi)，我們才可以說“每時每刻都靜止”，即才有每一的靜止概念。它是一個“次生”的概念。

同樣，運(yùn)動、速度是相對靜止而言的，也是定義在某時間段上的，正是有了這個本源性的定義，我們才可以說“每時每刻都在運(yùn)動”、“每時每刻都有速度”這樣的話。也就是，由這里的運(yùn)動、速度定義，在該時段內(nèi)每一時刻所論物體不會靜止，于是它只有在該時刻也在運(yùn)動、也有速度。雖然在該瞬時，它運(yùn)動的距離為0，但這不是“靜止”，這是兩個概念。前文已經(jīng)說了，“靜止”嚴(yán)格講其本源性的定義是指在某內(nèi)的運(yùn)動距離為0，而不是某的運(yùn)動距離為0。所以某瞬時的運(yùn)動距離為0，不能作為“靜止”的定義，也自然不能就看成“靜止”。于是，它就完全是在運(yùn)動狀態(tài)下的情況，即看成在該瞬時運(yùn)動和有瞬時速度，盡管在該瞬時所論物體的運(yùn)動距離為0也罷。該瞬時的速度與運(yùn)動，也可理解成在下一時刻（瞬時），物體必不再留在原地，而是位置有變，這就是前一瞬時有運(yùn)動、有速度所致。

總之，嚴(yán)格講，速度就是勻速，變速是改變了的勻速、變化了的速度。速度是不變的，才可能在無窮小時或有限時仍有確定值，微積分研究變速自然要賦與新意了。時間過程（進(jìn)程）不能為0，最多只能是無窮小，但再小也要有，時間過程而時間到達(dá)無過程，只能到達(dá)、經(jīng)過，“時刻”本身沒有甚至無窮小的過程。時間過程和到達(dá)時刻為兩個不同的概念，不能混淆。能證明此點的其實正是貝克萊悖論。其邏輯是：如不區(qū)分，必推出0又非0的貝克萊悖論，所以必為二個概念?？傊?，由速度的定義，離不開時段與距離，但它又是在每一時刻有定義、有值的。本質(zhì)上，它就是矛盾的，表觀上也是如此。只不過在勻速直線運(yùn)動時，速度、平均速度、瞬時速度其值全一樣，因此人們并未深究。但在加速、曲線運(yùn)動時就不一樣了，深層次的矛盾暴露了出來。主要體現(xiàn)在傳統(tǒng)微積分求導(dǎo)過程中的貝克萊悖論上。其本質(zhì)是沒有嚴(yán)格對速度概念進(jìn)行徹底澄清。按本文提出的瞬時速度定義，當(dāng)可徹底消除貝克萊悖論，而且揭示了瞬時速度這一物理概念的本質(zhì)，其相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)涵也得到了說明。從另一角度看，由于任何力作用產(chǎn)生的效果（比如使質(zhì)點軌跡彎曲）都需要作用時間，而抽象的“瞬時”無這種必要的時間段，所以可視為在此抽象的“瞬時”質(zhì)點未受力，或力不起作用。因此，雖然抽象時點（瞬時）上本沒有本源性的“瞬時速度”定義，也就是說抽象的瞬間、瞬時、時刻、時間點上，無定義速度必須要有的要素“時段”，但由于在其上未受力的意義上，可以把在該瞬時如不受力的時段上的直線勻速運(yùn)動的速度成該抽象時間點上的“瞬時速度”。這是一種外延、外推性的瞬時速度定義，這個意義上，瞬時速度又是處處現(xiàn)實存在的。以往這種細(xì)微的區(qū)別，是沒有被徹底澄清的，由此才產(chǎn)生諸多問題，也是貝克萊悖論產(chǎn)生的根本原因。在這方面，某種“辯證思維”的確是需要的，也就是，我們應(yīng)分清一種概念在何種意義上（前提下）成立，在何種意義上（前提下）不成立。

對于這個重要的問題，我們可以總結(jié)如下：在某一抽象的、絕對意義的時間點（時刻、瞬時），正像在直角三角形的頂點不會再有“長、寬比”一樣，不會有現(xiàn)實中已發(fā)生的速度（無論等于0還是不等于0的）存在。因在此時刻時段為0（時刻的定義），而速度的本原性定義，是必須建立在時段不為0的基礎(chǔ)之上的。固然，在賦值而非本原的意義上，我們可以強(qiáng)行定義或賦值直角三角形的長寬比（二直角邊之比）在該頂點仍有值（對應(yīng)于勻速直線運(yùn)動），但如果此直角三角形的斜邊為曲線（對應(yīng)于變速運(yùn)動），由于隨二直角邊的長度的改變，其比值不是常數(shù)，無固定值，因此在其頂點不可能再有確定的、涉及三角形二直角邊比值的賦值存在。對速度在某點的賦值性定義（即前面提到的“次生定義”）而言，情況也是如此，而這正是傳統(tǒng)微積分理論的癥結(jié)所在。

最后，對第三節(jié)中求導(dǎo)的解方程法再做一些更嚴(yán)格的討論。必須說明，當(dāng)4式的方程組中的直線方程為x＝D（D為常數(shù)）時，等于強(qiáng)行令二次方程的通解（5式）中的x只取一值，而放棄了在通解公式中存在的另一值，因此該直線與曲線不但不可能再有兩個交點，而且必然與曲線交叉而不是切線。但這并不是這里的做法所得到的結(jié)果。這是因為，當(dāng)上述直線方程x＝D中的系數(shù)（這里僅僅是D）改變時，其與曲線只有一個交點的性質(zhì)不會改變，這意味著它是與曲線交叉的直線而不是切線。因為如是切線，當(dāng)方程中的a、b、c等系數(shù)單獨(dú)或共同有很小改變時，幾何上意味著此時曲線的切線不是斜率不變地平移，就是以切點為軸心地旋轉(zhuǎn)，或二者的疊加。這必然導(dǎo)致：不是直線將與曲線有兩個交點，就是直線與曲線脫離接觸而再無交點可言。而這正是5式中根號下的部分為0時才可能發(fā)生的的情況。也就是，只要令其等于0，得到的與曲線只有一個交點的直線，就是該曲線在交點處的切線。因此，前文中4式到7式所給出的求曲線的切線（導(dǎo)數(shù)）的方法，是完備的。這里的論述可以看成是一個證明。

對于微分，本文沒有涉及。這主要是筆者認(rèn)為微積分理論中最關(guān)鍵的部分還是導(dǎo)數(shù)問題。導(dǎo)數(shù)問題澄清了，微分問題自然迎刃而解。此外，篇幅也不允許筆者再對微分問題多做討論。這里只做一些相應(yīng)的簡單提示：對于微分公式中dy、dx等是否無窮小的問題，歷來頗有爭論。顯然，導(dǎo)數(shù)的求得（或更確切地說是得到）依賴于dx的趨于0，并且還不止于此，還要在dx＝0時“有極限”并“有定義”。而公式中包含導(dǎo)數(shù)的微分被定義成全部增量的“主部”或更確切的“線性主部”、“線性部分”，其中的dx卻可以是宏觀量。不同的東西，卻用相同的符號表示，其本質(zhì)是顯示了這里面有未被澄清的東西。特別是在需要積分時令dx趨向于0時，其是否到達(dá)0，及“線性主部”外的“高階無窮小”是否為0的問題，又將顯現(xiàn)。有人強(qiáng)辯說微分的一般定義、公式是無問題的。因它不涉及無窮小。但那沒有用，因為微分的價值和經(jīng)常的使用，正是需要dx趨于0的（在積分中）。在筆者此文的討論中，這個問題根本不存在了。這從1＇式和7式的區(qū)別就可以看出來。7式正是作為直線的切線的斜率，它不依賴于無窮小等等，其中的增量是用dx＇等表示的，而用牛頓及極限方法求得的1＇式，嚴(yán)重依賴于無窮小、潛無窮等概念，其中的增量是用dx等表示的，明確地表示區(qū)別。于是，這個疑難問題不再存在。

五、辯證地看待微積分基礎(chǔ)問題

筆者曾有專文討論“辯證邏輯問題”［5］。在那篇文章中，筆者提出即使空間中的一個點，如欲準(zhǔn)確描述其狀態(tài)也得用多維空間的視角。這就是所謂“辨證”的本質(zhì)，就是全面地看問題，多維、“立體”地看問題，“多視角”地看問題，不要平面地看問題。因此可說這些都是等價命題。多維視角，就是辯證視角。這樣，不同維中的“正”、“負(fù)”概念及表觀的對立、矛盾概念，可以不再相互矛盾。微積分的基礎(chǔ)性推導(dǎo)問題，本質(zhì)也屬此類問題，是辯證法、辯證邏輯的一個生動體現(xiàn)。以往它為什么會產(chǎn)生“悖論”、“矛盾”？本文中已徹底搞清楚了，那就是未能嚴(yán)格區(qū)分勻速運(yùn)動時的速度、瞬時速度和變速、曲線運(yùn)動時的平均速度間的本質(zhì)差異和區(qū)別。在勻速運(yùn)動時，這些概念起碼在數(shù)值上是無差異的，但一旦推廣到變速，就需要我們擴(kuò)充“視角”，從“多視角”的角度來看問題了。如果還是“平面”地、“線性”地看問題，勢必產(chǎn)生矛盾、悖論，也解釋不了“非線性”的現(xiàn)象。而一旦嚴(yán)格區(qū)別不同概念、論域，則知它們代表的是完全不同事物，矛盾、悖論立消。

［1］徐利治．論無限—無限的數(shù)學(xué)與哲學(xué)［M］．大連：大連理工大學(xué)出版社，2008．

［2］［美］卡爾·B·波耶．微積分概念發(fā)展史［M］．上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2007．

［3］沈衛(wèi)國．論熵、不可逆過程及數(shù)學(xué)中的無窮［M］．福州：海風(fēng)出版社，2009．

［4］沈衛(wèi)國．論自然科學(xué)的若干基本問題［M］．福州：海風(fēng)出版社，1998．

［5］沈衛(wèi)國．辯證邏輯與智能［J］．智能系統(tǒng)報，2011，（04）．