局部化DQ法與MAPS方法的比較

唐德萍，張學(xué)瑩

(河海大學(xué)理學(xué)院，南京 210098)

傳統(tǒng)的數(shù)值解法如有限差分法(finite difference method，F(xiàn)DM)、有限體積法(finite volume mehod，F(xiàn)VM)、有限元法(finite element method，F(xiàn)EM)等的數(shù)值結(jié)果很大程度上取決于網(wǎng)格劃分的質(zhì)量，因此，在處理復(fù)雜幾何問(wèn)題以及特大變形問(wèn)題時(shí)容易出現(xiàn)網(wǎng)格畸變，嚴(yán)重影響解的精度，甚至導(dǎo)致計(jì)算失效。為了克服以上缺陷，無(wú)網(wǎng)格方法應(yīng)運(yùn)而生。在眾多的無(wú)網(wǎng)格方法中基于徑向基函數(shù)(radial basis functions，RBFs)的無(wú)網(wǎng)格法備受矚目。20世紀(jì)60年代 Hardy［1］成功地將多重二次函數(shù)(multiquarics，MQ)應(yīng)用于擬合散步數(shù)據(jù)問(wèn)題。20世紀(jì)90年代Kansa［2-3］首次提出利用RBFs求解偏微分方程的思想。不過(guò)這些方法中的RBFs具備全局性質(zhì)，因此，由它所形成的系數(shù)矩陣是滿(mǎn)陣，有時(shí)甚至是很病態(tài)的，這給處理大規(guī)模問(wèn)題帶來(lái)了諸多的不便。為了改進(jìn)這些方法，區(qū)域分解法［4］、多重網(wǎng)格法［5］等相繼問(wèn)世。之后，研究者們將目光轉(zhuǎn)向局部化的無(wú)網(wǎng)格方法［6-8］，特別是Shu C等［6］的局部微積分法(local radial basis-functioned differential quadrature，LRBF-DQ)和Chen C S等［7］的局部近似特殊解法(local method of approximate particular solution，LMAPS)。這2種方法不僅操作起來(lái)靈活方便，而且還能保證精度方面的要求。鑒于這2種方法的相似性，本文將對(duì)這2種方法進(jìn)行比較研究，并給出誤差分析。

1 2種基于RBFs的無(wú)網(wǎng)格方法

1.1 局部RBF-DQ方法

設(shè)f(x)是光滑函數(shù)，其中x=(x1，x2，…，xn)T。已知它在結(jié)點(diǎn)xi及其支撐域內(nèi)各支撐點(diǎn)xj，j=1，…，ni上的函數(shù)值，則f(x)關(guān)于xk的m階導(dǎo)數(shù)可以表示為

其中:xk表示第k個(gè)坐標(biāo)方向表示線性組合系數(shù)。將徑向基函數(shù)φ代入方程(1)中，得到

這里φl(shuí)(x)=φ(‖x-xl‖)。式(2)還可以化為如下形式:

由文獻(xiàn)［9］知式(3)中的系數(shù)矩陣是條件正定的，故系數(shù)矩陣可逆，從而可以求出系數(shù)，將之代入式(1)就可以求出函數(shù)f關(guān)于xk的m階導(dǎo)數(shù)的近似值。

1.2 局部MAPS方法

由特別解法［10-11］知，u(xi，yi)可以由 ni個(gè) RBFs的線性組合近似:

1.3 方程的求解過(guò)程

全文選取MQ函數(shù)作為基函數(shù)，它的表達(dá)式為

目前，野生動(dòng)物棲息地的保護(hù)已經(jīng)成為一項(xiàng)非常重要的任務(wù)，為了讓各類(lèi)野生動(dòng)物有一個(gè)美好的家園，人們應(yīng)該正確樹(shù)立保護(hù)野生動(dòng)物的思想意識(shí)，不亂砍亂伐，不肆意殺戮，確保野生動(dòng)物的生存與繁衍。同時(shí)，國(guó)家應(yīng)該加大對(duì)野生動(dòng)物棲息地的保護(hù)力度，安排相關(guān)人員在野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)堅(jiān)守崗地，在未經(jīng)允許的情況下，禁止任何人進(jìn)入野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)，并且倡導(dǎo)周邊的人民群眾一起做好保護(hù)野生動(dòng)物的工作。

其中c是形狀參數(shù)。2種方法的求解過(guò)程為:①確定求解區(qū)域點(diǎn)的分布以及支撐域中內(nèi)點(diǎn)的數(shù)量;② 計(jì)算組合系數(shù);③利用上一步中已經(jīng)求得的系數(shù)去離散偏微分方程;④求解離散化的偏微分方程。

考慮如下邊界值問(wèn)題:

其中:Δ 是 線性二階線性 L aplace 算子;α(x，y)、β(x，y)、γ(x，y)、f(x，y)和 g (x，y)是給定的函數(shù)。設(shè){ ( xj，yj)}是區(qū)域 Ω 內(nèi) 的插值點(diǎn)，?(xi，yi)∈Ω，構(gòu)建一個(gè)支撐區(qū)域 Ωi，{ ( xj，yj)}是與(xi，yi)相鄰的ni個(gè)點(diǎn)，且 { ( xj，yj)}?Ωi。用局部DQ法離散方程(8)和(9)，得

若( xi，yi)??Ω，則有

其中 ωni=［ωi1，ωi2，…，ωini］T。

通過(guò)在適當(dāng)位置添加零元素將wni從局部形式推廣至全局形式，即將向量wni延拓至n維向量wn，其中有n-ni個(gè)零元素，詳細(xì)的延拓方法參見(jiàn)文獻(xiàn)［7］。從而得到:

用局部MAPS方法離散方程(8)和(9)得

其中:

至于將局部形式推廣成全局形式采用與局部DQ方法的做法，本文就不做贅述。

2 數(shù)值算例

本文考慮均方根誤差(RMSE)、最大絕對(duì)誤差(MAE)、最大相對(duì)誤差(RAE)。它們的定義為:

算例1 首先考慮二維Possion方程

其中 Ω∪?Ω =［0，1］2。問(wèn)題的精確解為 u(x，y)=sinπxsinπy。

圖1是LRBF-DQ和LMAPS在不同網(wǎng)格尺寸下關(guān)于形狀參數(shù)c的數(shù)值結(jié)果。觀察此圖，可以驚奇地發(fā)現(xiàn):LMAPS法在c=m時(shí)，形狀參數(shù)都趨于穩(wěn)定，而LRBF-DQ法則在此時(shí)取得最優(yōu)值。因而不必?fù)?dān)心c的取值，只要取c=m即可。表1則清晰地表明，無(wú)論應(yīng)用哪種方法，所取得的數(shù)值結(jié)果都比較令人滿(mǎn)意，并且隨著插值點(diǎn)的增加，所取得的數(shù)值結(jié)果的計(jì)算精度越來(lái)越高。

圖1 LRBF-DQ和LMAPS在不同網(wǎng)格尺寸下關(guān)于形狀參數(shù)c的數(shù)值結(jié)果

表1 對(duì)于不同插值點(diǎn)應(yīng)用LMAPS和LRBF-DQ方法的數(shù)值結(jié)果

算例2 考慮不規(guī)則區(qū)域下的Possion方程問(wèn)題:

其邊界是一個(gè)星型的區(qū)域，具體的表達(dá)式為

計(jì)算區(qū)域如圖2所示。圖3表明，這2種方法在整個(gè)不規(guī)則計(jì)算區(qū)域上的相對(duì)誤差都是平滑下降的，只是在星型圖形各角處的誤差有跳躍現(xiàn)象。另外，2種方法的計(jì)算精度都比較高，局部MAPS法的相對(duì)誤差甚至可以達(dá)到10-6。

圖2 不規(guī)則區(qū)域下的Possion問(wèn)題的計(jì)算區(qū)域

圖3 nb=200，ns=3 676時(shí)局部RBF-DQ法與局部MAPS法得到的相對(duì)誤差對(duì)比

表2為L(zhǎng)RBF-DQ法與LMAPS法的誤差對(duì)比，它清晰地表明，無(wú)論哪種方法，隨著插值點(diǎn)的增加，計(jì)算結(jié)果的精度也越來(lái)越高，而且后者的計(jì)算速度比前者更快。不管從精度還是從計(jì)算速度上來(lái)看，LMAPS法都比LRBF-DQ法略有優(yōu)勢(shì)。

表2 LRBF-DQ法與LMAPS法數(shù)值結(jié)果的誤差對(duì)比

3 結(jié)束語(yǔ)

本文主要介紹了LMAPS和LRBF-DQ這2種方法，它們都具有真無(wú)網(wǎng)格性質(zhì)，而且特別適用于解決高維問(wèn)題。LRBF-DQ利用DQ法直接近似場(chǎng)量導(dǎo)數(shù)，再用RBFs來(lái)近似函數(shù)。整個(gè)過(guò)程中，LRBF-DQ法需要求出各個(gè)坐標(biāo)方向上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的線性組合系數(shù)，而LMAPS則是利用RBFs的特別解近似問(wèn)題的數(shù)值解。本文選擇難以處理的不規(guī)則計(jì)算區(qū)域上的Possion方程問(wèn)題來(lái)比較LMAPS和LRBF-DQ方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:這2種基于RBFs的無(wú)網(wǎng)格方法計(jì)算效率都比較高，且能保證精度方面的要求。

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