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    平衡損失函數(shù)下具有時間變化效應(yīng)的信度保費

    2013-07-06 02:02:16李新鵬吳黎軍
    關(guān)鍵詞:協(xié)方差信度損失

    李新鵬,吳黎軍

    (新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,烏魯木齊 830046)

    1 預(yù)備知識

    在保險實際應(yīng)用中,精算師的一個重要任務(wù)之一就是對給定的風(fēng)險制定一個合適的保費。現(xiàn)代信度理論起源于Bühlmann[1]得到了任意分布下的凈保費信度估計。信度理論是基于過去的索賠經(jīng)歷來制定保費的一種定量方法。信度保費為樣本均值和聚合保費的加權(quán)和,其中權(quán)重因子又被稱為信度因子。

    令Xi表示保單持有人在第i個保單時期的索賠額,Xi的分布依賴于風(fēng)險參數(shù)Θ。由于風(fēng)險的非其次性,一般假設(shè)Θ是隨機變量,具有先驗分布為 π(θ),若給定 Θ =θ,Xi(i=1,2…n)相互獨立,且有相同的分布函數(shù)F(x,θ)。信度理論的目的是在給定保單持有人的前n個時期根據(jù)索賠經(jīng)歷來計算第n+1個時期的保費。如果將估計限定在索賠額的線性函數(shù)中,則得到著名的信度公式:

    其中:z=n/(n+k)為信度因子;k為條件方差的期望值與條件期望的方差值的比值;為樣本均值;μ為聚合保費。

    經(jīng)典的信度理論中假定不同年份的索賠序列有共同的風(fēng)險參數(shù),在風(fēng)險參數(shù)給定時,各年的索賠相互獨立,且具有相同的分布,沒有考慮不同年份之間風(fēng)險的時間效應(yīng)。溫利民等[2]在均方損失函數(shù)下研究了各年索賠風(fēng)險間具有時間變化效應(yīng)的信度模型,得到了相應(yīng)的信度保費。考慮時間方面相依性的信度模型與實際情況更為符合。溫利民等在2009年研究了各年索賠風(fēng)險間具有等相關(guān)的信度模型,得到了相應(yīng)的信度保費。Bolancé等[3]建立了索賠頻率風(fēng)險模型,得到了時間效應(yīng)為自相關(guān)時間序列時的信度保費。Purcaru與Denuit[4]在 Poisson索賠頻率風(fēng)險模型中討論了相依結(jié)構(gòu)對信度估計的影響。Frees等[5]研究了時間效應(yīng)為Student-t copula時的信度保費。

    經(jīng)典的決策論中,損失函數(shù)的選擇通常取決于估計的精確性,然而,擬合的好壞也是一個重要的標(biāo)準。Zellner[6]引入了平衡損失函數(shù)的概念,它既反映了好的擬合度又反映了估計的精確性,函數(shù)如下:

    其中:ρ為距離函數(shù);δ0為目標(biāo)估計,它通常由極大似然估計、最小二乘法或者無偏性條件獲得;δ為θ的估計值;距離函數(shù)通常選為均方誤差損失函數(shù)。

    本文在平衡損失函數(shù)下考慮了具有時間變化效應(yīng)的信度模型,并且得到了相應(yīng)的信度保費[7-10]。

    2 模型假設(shè)與準備

    在信度理論中,假設(shè)保單組合的風(fēng)險參數(shù)為Θ,且有n年的索賠額,由于風(fēng)險的非齊次性,風(fēng)險參數(shù)Θ假定為隨機變量。本文的目標(biāo)為預(yù)測保單在未來1年的索賠Xn+1。但與經(jīng)典的信度理論不同,本文假設(shè)在風(fēng)險參數(shù)給定的條件下,索賠隨機變量 X1,X2,…,Xn有各自的風(fēng)險參數(shù) Θ1,Θ2,…,Θn,且這些風(fēng)險參數(shù)具有某種相依結(jié)構(gòu)。模型的基本假設(shè)如下:

    假設(shè)1 給定時間變化效應(yīng)Θi=θi時,索賠額 Xi,i=1,…,n 互相獨立且同分布 E(Xi|Θi)=μ(Θi),Var(Xi|Θi)=σ2(Θi),i=1,2,…,n。

    假設(shè)2 風(fēng)險參數(shù)Θi的分布函數(shù)為πi(θ),且 E[μ(Θi)]=μ,E[σ2(Θi)]=和協(xié)方差Cov[μ(Θi),μ(Θj)]= τiτj.i,j=1,…n。

    假設(shè)3 本文中平衡損失函數(shù)為:

    其中 δ0(X)為目標(biāo)估計,X=(X1,…,Xn)'且E[δ0(X)]= μδ,Cov[δ0(X),Xi]=di,i=1,2,…,n,w為權(quán)重因子。

    本文目標(biāo)為求解下面最優(yōu)化問題:

    為求解最優(yōu)化問題(4),記L(X,1)={a0+

    引理1~3[2]表明了相依結(jié)構(gòu)的一些簡單但重要的性質(zhì)。

    引理1 在假設(shè)1和假設(shè)2下,有:

    ①Xi的均值為

    ②過去索賠和未來索賠的協(xié)方差為

    ③X的協(xié)方差矩陣為

    其中diag[…]為對角矩陣。

    ④X的協(xié)方差矩陣的逆為

    引理2 假設(shè)(X'1×p,Y'1×q)'為一隨機向量,期望和協(xié)方差矩陣分別為(μ'X,μ'Y)和則當(dāng)時,期望損失E(Y-A-BX)'(Y-A-BX)達到最小。

    引理3 風(fēng)險Xn+1的非齊次信度估計為Xn+1在L(X,1)上的正交投影,即

    3 平衡損失函數(shù)下的信度估計

    定理1為最優(yōu)化問題(4)的解,即未來索賠Xn+1的信度保費。

    定理1 在假設(shè)1~3下,運用平衡損失函數(shù),Xn+1的最優(yōu)線性非齊次估計為

    其中:

    證明引入一隨機變量Y=Iδ0(X)+(1-I)Xn+1,其中I為0-1隨機變量,它獨立于其他的隨機變量,并且P(I=1)=1-P(I=0)=w,w為式(4)中的權(quán)重因子。因此,最優(yōu)化問題(4)等價于

    由引理2和引理3知,下一年保費的最優(yōu)估計為

    根據(jù)Y的定義,均值μY為:

    又因為E(XI)=E(X)為一常數(shù),所以

    定理得證。

    注1 當(dāng)w=0時,此定理給出的保費與溫利民等在2012年提出的具有時間變化效應(yīng)信度模型的保費一致。

    4 Bühlmann-Straub模型的信度估計

    本節(jié)將給出在平衡損失函數(shù)下具有時間變化效應(yīng)的Bühlmann-Straub信度模型的保費。將假設(shè)1中的Var(Xi|Θi)=σ2(Θi)改為 Var(Xi|Θi)=σ2(Θi)/mi,i=1,2,…,n,mi為 Xi自然權(quán)重因子,其他假設(shè)不變。

    引理4 在本文第3節(jié)的假設(shè)和上面的假設(shè)下,有以下結(jié)果:

    ①Xi的均值為

    ②過去索賠和未來索賠的協(xié)方差為

    ③X的協(xié)方差矩陣為

    其中diag[…]為對角矩陣。

    ④X的協(xié)方差矩陣的逆為

    定理2 在本文第3節(jié)假設(shè)和本節(jié)假設(shè)下,運用平衡損失函數(shù),Xn+1的最優(yōu)線性非齊次估計為

    其中:

    定理2的證明與定理1的證明類似,所以只給出粗略的證明。

    證明引入一隨機變量Y=Iδ0(X)+(1-I)·Xn+1,其中I為0~1隨機變量,它獨立于其他的隨機變量,并且P(I=1)=1-P(I=0)=w,w為式(4)中的權(quán)重因子。因此,最優(yōu)化問題(4)等價于

    由引理2和引理3知:下一年保費的最優(yōu)估計為

    其中

    所以,下一年最優(yōu)非齊次信度保費為

    5 結(jié)束語

    本文運用平衡損失函數(shù),研究了具有時間變化效應(yīng)的Bühlmann和Bühlmann-Straub信度模型的保費估計問題,并且推導(dǎo)出相應(yīng)的信度保費,但是對于參數(shù)的估計還需今后深入研究。

    [1]Bühlmann H,Gisler A.A course in credibility theory and its applications[M].Netherlands:Springer,2005:77-264.

    [2]溫利民,鄭丹,章溢.具有時間變化效應(yīng)的信度模型[J].江西師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,36(3):249-252.

    [3]Bolancé C,Guillé M,Pinquet J.Time-varying credibility for frequency risk models:estimation and tests for autogressive specification on the random effects[J].Insurance:Mathematics and Economics,2003,33(2):273-282.

    [4]Purcaru O,Denuit M.On the dependence induced by frequency credibility models[J].Belgian Acturial Bulletin,2002,2(1):73-79.

    [5]Frees E W,Wang Ping.Credibility using copulas[J].North American Acturial Journal,2005,9(2):31-48.

    [6]Zellner A.Bayesian and non-Bayesian estimation using balanced loss functions[M].New York:Springer-Verlag,1994:377-390.

    [7]Wen Limin,Wu Xianyi,Zhou Xian.The credibility premiums for models with dependence induced by common effects[J].Insurance:Mathematics and Economics,2009,44(1):19-25.

    [8]Wu Xianyi,Huang Weizhong.The credibility premiums with common effects obtained under balanced loss functions[J].Chinese Journal of Applied Probability and Statistics,2012,28(2):203-216.

    [9]Wen Limin,Wang Wei,Yu Xueli.Credibility models with error uniform dependence[J].Journal of East China Normal University:Natural Science,2009,5:118-126.

    [10]Gómez-Deniz E.A generalization of the credibility theory obtained by using the weighted balanced loss function[J].Insurance:Mathematics and Economics,2008,42:850-854.

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