高等代數(shù)與解析幾何一體化教學的注記

黃述亮

我校自2004年升本以來數(shù)學系兩個本科專業(yè)一直使用北京大學數(shù)學系編寫的《高等代數(shù)》（兩個學期）和呂林根主編的《解析幾何》（一個學期），由兩個不同老師來講授，占用的時間多，學生負擔重，而且內容常出現(xiàn)交叉和重復，更糟糕的是學生對《高等代數(shù)》感到抽象難理解，對《解析幾何》學得不深不透，這樣就浪費了教與學的時間，而且也不利于兩門課的學習，因此，把它們合并“一體化”開設意義重大。隨著我校應用型本科院校辦學的定位，我院現(xiàn)有的兩個本科專業(yè)急劇需要轉型，目前基本形成金融數(shù)學、保險精算、統(tǒng)計三個方向，只有這樣才能擴大我院畢業(yè)生的就業(yè)面，同時新的人才培養(yǎng)方案即將出爐，在保證教學質量的前提下，增加開設一些符合我院未來發(fā)展方向、適應社會發(fā)展需求的新課程（比如證券投資學、數(shù)量經濟學、市場管理等）使學生掌握更加實用的知識與技能，增加就業(yè)籌碼，這對高等代數(shù)與解析幾何的教學提出了新的要求，而且課時也較之前有了減少。在這樣的形勢下我們要重新探討這兩門課程的教學模式，數(shù)學科學學院從2011級新生開始已經在數(shù)學與應用數(shù)學、信息與計算科學兩個本科專業(yè)中對《解析幾何》和《高等代數(shù)》實施“一體化”教學，考慮到我院學生的實際情況，最終采用了同濟大學應用數(shù)學系主編的《高等代數(shù)與解析幾何》作為試用教材。本文結合我院實施的兩課“一體化”教學實踐的經驗，從幾個不同方面對高等代數(shù)和解析幾何的一體化教學進行研究和探討。

1 兩門課程一體化教學的必要性

眾所周知，從上個世紀中葉開始，我國高校的數(shù)學各專業(yè)都開設數(shù)學分析、高等代數(shù)和解析幾何這三門基礎課程，所謂“三基”教學模式。隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，課程改革作為教育改革的核心環(huán)節(jié)在全世界范圍內受到空前的重視。怎樣才能讓學生在一定的時間里獲得盡可能多的知識，培養(yǎng)成為基礎扎實、高素質、動手能力強的復合型人才，已成為課程改革的一個極其重要的方面。越來越多的與現(xiàn)代數(shù)學和計算機科學有關的課程在客觀上要求必須重新安排課程以節(jié)省時間。高等代數(shù)與解析幾何作為傳統(tǒng)“三基”模式下的“二基”，關系非常密切，幾何與代數(shù)互為問題、合理的結合不僅必要而且切實可行（在歷史上，幾何與代數(shù)相結合的思想是微積分學巨大生命力的主要源泉）。同時，傳統(tǒng)的課程體系往往強調本門課程的獨立性、完整性和系統(tǒng)性。解析幾何與高等代數(shù)這兩門課基本在大學第一學期同時開設，由于兩門課程有不少內容重復，高等代數(shù)往往先講一元多項式理論，然后才到行列式，而解析幾何中的向量運算需要行列式的基本知識，如果不靈活調整就會出現(xiàn)兩者進度上的錯位。其實，早在20世紀50年代，我國著名數(shù)學家華羅庚在中國科學技術大學就嘗試將“三基”采用“一體化”的教學模式，然而由于種種原因最后失敗了?；谏鲜稣J識，目前已有很多高校數(shù)學系將高等代數(shù)與解析幾何二門課程合成一門新的課程，相關的教材也不斷出現(xiàn)，像南開大學孟道驥編寫的《高等代數(shù)與解析幾何》，華東師范大學陳志杰編寫的《高等代數(shù)與解析幾何》等都是這方面相當不錯的教材。

2 正確處理兩門課程的關系

3 重視代數(shù)與幾何方法在實際問題中的應用

高等代數(shù)的內容的確抽象，實際每個概念先有其產生的背景，然后是概念的抽象，最后是概念的應用。然而我們在教學中往往忽略了兩邊，只保留了中間部分，初學者感到抽象也就不足為奇了。在教學中我們應該盡可能把概念的來龍去脈講清楚，不僅要列舉出實際背景材料幫助學生理解，還應當在抽象概念的分析后說明這樣做的原因，這樣才能提高學生的抽象思維能力。比如在講完矩陣的對角化問題后，就可以介紹一些應用層面的例子：比如著名的裴波那契兔子問題，年齡結構種群的離散模型等都要用到矩陣對角化的相關知識；再比如與電學中著名的基爾霍夫定律和電壓定律有關的黑箱的響應函數(shù)就可以利用線性變換的理論解決；還有在處理熱敏電阻溫度曲線數(shù)據(jù)和計算GPS衛(wèi)星軌道等方面有重要應用的多項式擬合就要用到的一元多項式的一般理論。學生對些問題是比較感興趣的，這些問題的引入可以拓寬學生的知識視野，讓學生加深對數(shù)學本質的理解，學生就會覺得學習不再枯燥，知識的確有用。此外，鼓勵學生參加一些應用性訓練，比如全國大學生數(shù)學建模競賽，那真正是理論聯(lián)系實際，鍛煉學生解決實際問題的能力。

4 內容重組，模塊教學

所謂解析幾何就是以代數(shù)方法研究幾何問題，高等代數(shù)中很多概念都有其幾何模型，兩門課程的交叉內容很多，比如解析幾何中的線面方程及線面位置關系就相應與代數(shù)中矩陣的秩及線性方程組，因此兩門課程關系密切，在實施一體化教學時可以考慮內容的優(yōu)化與重組，分成幾個教學模塊進行，層次更加清楚，具體分配如下：（1）行列式與矩陣為第一模塊：行列式的計算和矩陣的初等變換是整個代數(shù)與幾何的核心計算，也可以說是一種工具，在求解線性方程組、二次型的化簡、判斷線面位置等方面有著重要應用；（2）線性空間、線性變換、內積空間（酉空間）為第二模塊：這是整個課程的核心所在，最能體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學研究的對象——抽象的“結構”；（3）二次曲線、二次曲面及二次型為第三模塊：二次型可以看成是二次曲線或二次曲面的二次項部分，在解析幾何中，二次曲線和二次曲面的化簡是通過不變量來實現(xiàn)的，而正交變換下的不變量就是由系數(shù)構成的行列式，因此二次曲線和二次曲面可通過矩陣來表示，并且可以利用二次型的正交變換來實現(xiàn)其分類；（4）一元多項式和λ－矩陣為第四模塊：多項式是整個高等代數(shù)中相對獨立的一章，而其一般理論可以為λ－矩陣（元素是多項式）提供基礎；（5）直線、平面、線性相關性、線性方程組為第五模塊：線性方程組的每個方程的圖形就是一張超平面，線性方程組有解的問題可以表示為其常數(shù)項列向量能由其系數(shù)列向量線性表示等，因此這些概念之間關系密切，放在一起組織教學是合理的。利用模塊教學有利于學生更好的從總體上把握這課的知識結構，掌握知識間的內在聯(lián)系，課程體系將更加明朗。

5 轉變傳統(tǒng)的教學模式

傳統(tǒng)的教學模式基本上是重知識傳授，輕能力培養(yǎng)，學生在教學中應有的主體地位沒有展現(xiàn)出來。因此我們強調在教學內容上要有一定的開放度，在講授中注意穿插討論式、提問式等。特別是習題課也可嘗試學生和教師集體討論，發(fā)揮學生的主觀能動性。在教學手段上，要讓多媒體發(fā)揮恰當?shù)淖饔?。對于一些邏輯性強的內容，其推導過程板書教學為宜（比如，根子空間分解定理的證明過程），如果運用多媒體教學，學生就沒有了思考余地；有些純粹計算性的內容，其過程（比如，求一個三階矩陣的逆，化二次形為規(guī)范型等）可以運用多媒體輔助，還可以介紹給學生常用的數(shù)學軟件（如Matlab），只需要講清楚其原理，讓學生自己動手到計算機上實踐。有些涉及到圖形的問題（比如，二次曲面及其分類）利用計算機處理圖形的完美功能，可以增強直關性和可視效果，而且還可以節(jié)省寶貴的課堂時間。合理運用多媒體集“聲音、圖象、動畫”于一體的效果及計算機強大的計算優(yōu)勢輔助課堂教學，可以大大調動學生多種感官學習的積極性。同時增大課堂教學信息量，提高課堂教學效果。此外，要堅持課上“授業(yè)”和課下“解惑”（包括學習、生活、職業(yè)規(guī)劃等）相結合的原則，現(xiàn)在比較普遍的是課堂上的師生關系在課下變的非常淡，也就很難實施課下輔導等環(huán)節(jié)了，其中一個比較主要的原因可能是良好的師生關系沒有真正建立。最后，要定期跟學生交流（面對面、書面、電話、電郵等）以便了解教學中存在的問題和學生的學習情況，采納學生提出的一些好的建議并及時改進，不斷提高課堂教學效果。

6 采用靈活多樣的課程考核方式

必須要改變期末一次終結性考試為教學全過程的考核，加大平時考核力度，包括考勤制度（比如我院已經開始施行的上課簽名制度就是非常好的一個舉措）實現(xiàn)教學的步步為營，避免學生學習的前松后緊的失衡局面。同時，學生作業(yè)、參與自學、討論、課堂提問等方面也要納入考核的范疇，只有這樣才能在知識、能力、素質等方面對學生進行了全方位考核。我們認為比較完整的考核應該包括以下幾個層面：（1）課堂提問：要占有一定的比例（比如5%～10%）可以調動學生學習主動性與積極性，減少課堂的沉悶現(xiàn)象；（2）小論文：對于一些應用性比較強的問題可以讓學生結合所學知識建立數(shù)學模型解決，或寫出小論文，結合學生提交的小論文質量、提出的問題與解決問題的方法等來評定；（3）單元測驗；（4）期中考試；（5）作業(yè)部分；（6）考勤情況；（7）期末考試。

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