擴(kuò)展的Sinh-Gordon方程展開(kāi)法與Kaup-Kupershmidt方程的Jacobi橢圓函數(shù)解

王倩,陳曉燕

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127)

擴(kuò)展的Sinh-Gordon方程展開(kāi)法與Kaup-Kupershmidt方程的Jacobi橢圓函數(shù)解

王倩,陳曉燕

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127)

利用擴(kuò)展的Sinh-Gordon方程展開(kāi)法研究了Kaup-Kupershmidt方程的Jacobi橢圓函數(shù)解,此方法也適用于求解其他非線性演化方程,從而豐富了方程解的范圍.

擴(kuò)展的Sinh-Gordon方程展開(kāi)法;Kaup-Kupershmidt方程;

1 引言

非線性偏微分演化方程出現(xiàn)在數(shù)學(xué),物理,化學(xué),生物,通信等廣泛領(lǐng)域,它具有相異于線性演化方程的豐富內(nèi)涵,與生活聯(lián)系更為緊密.在(1+1)維可積模型中,有Kaup-Kupershmidt方程(以下簡(jiǎn)稱KK方程):

到目前為止,已有很多種方法用來(lái)求解KK方程.2003年,文獻(xiàn)[1]通過(guò)使用雙曲函數(shù)法求得了方程(1)的一些孤立波解;2005年,文獻(xiàn)[2]利用Jacobi橢圓函數(shù)的特性和平衡法的思路求得了方程(1)的多種周期解,而文獻(xiàn)[3-5]所提出的Sinh-Gordon方程展開(kāi)法是一種方便快捷的辦法,已經(jīng)被用來(lái)求解了很多非線性演化方程的Jacobi橢圓函數(shù)解.

本文在Sinh-Gordon方程展開(kāi)法的基礎(chǔ)上,對(duì)文獻(xiàn)[5]中變換方法以及所設(shè)解中第二項(xiàng)系數(shù)函數(shù)稍加改變,即擴(kuò)展的Sinh-Gordon方程展開(kāi)法[6]再次研究了KK方程,并獲得了由Jacobi橢圓函數(shù)表示的方程的通解.進(jìn)而在極限的形式下,得到了方程相應(yīng)的三角函數(shù)解,從而擴(kuò)大了解的范圍.

2 擴(kuò)展的Sinh-Gordon方程展開(kāi)法

利用擴(kuò)展的Sinh-Gordon方程展開(kāi)法求解非線性演化方程的步驟:

步驟一對(duì)于含有三個(gè)獨(dú)立變量x,y,t的非線性演化方程:

得來(lái),通過(guò)平衡(3)式中最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和起決定性作用的非線性項(xiàng)可以確定n的值.而若參數(shù)n恰好不是正整數(shù),則需要再次進(jìn)行變換u=vn.

步驟三將(4)式代入(3)式,再結(jié)合(5)式,可以得到一個(gè)關(guān)于sinhiω(ξ),coshiω(ξ)的多項(xiàng)式方程,令含有sinhiω(ξ),coshiω(ξ)的各項(xiàng)系數(shù)為0,得到關(guān)于k,l,λ,A0,Ai,Bi的代數(shù)方程組,利用Maple可以解出k,l,λ,A0,Ai,Bi的關(guān)系式.

步驟四將得到的k,l,λ,A0,Ai,Bi的關(guān)系式代回到(3)式,再利用(4)式的通解,經(jīng)過(guò)分析即可以得到(2)式的Jacobi橢圓函數(shù)解.

3 五階KK方程的Jacobi橢圓函數(shù)解

從而將上述解(1)-(6)分別代入(7)式,即可獲得KK方程的對(duì)應(yīng)的(6)式的新的Jacobi橢圓函數(shù)解:

從而得到KK方程相應(yīng)的三角函數(shù)解.

類似地,利用以上步驟還可以對(duì)著名方程Benjamine-Ono方程,對(duì)稱長(zhǎng)波方程和mKdV方程[8]進(jìn)行求解.用擴(kuò)展Sinh-Gordon方程展開(kāi)法求解時(shí)方便且快捷,值得在以后的研究中將其推廣,應(yīng)用到更多的非線性演化方程的求解中.

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[2]Fu Z,Liu S,Liu Shida.Exact solutions to double and triple sinh-Gordon equations[J].Z.Naturforsch, 2004,59:933-937.

[3]楊先林,唐駕時(shí).非線性演化方程的新Jacobi橢圓函數(shù)解[J].動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào),2011,2(6):147-150.

[4]劉式適,付遵濤,劉適達(dá).Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法及其在求解非線性波動(dòng)方程中的應(yīng)用[J].物理學(xué)報(bào),2001, 50(11):2068-2073.

[5]翁建平.用Jacobi橢圓函數(shù)求非線性方程的解析解[J].安徽大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,9(5):36-39.

[6]劉式適,付遵濤,劉適達(dá).非線性波動(dòng)方程的Jacobi橢圓函數(shù)包絡(luò)周期解[J].物理學(xué)報(bào),2002,51(4):718-722.

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[10]趙云梅,芮偉國(guó).Zhiber-Shabat方程的孤立波解與周期波解[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2008,24(2):283-288.

[11]曹瑞.帶色散項(xiàng)的高階非線性Schrdinger方程的精確解[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2012,1(2):92-98.

Extended Sinh-Gordon equation-expansion method and solutions to Kaup-Kupershmidt equation with Jacobi elliptic function

Wang Qian,Chen Xiaoyan
(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an710127,China)

The paper tends to introduce the extended Sinh-Gordon equation-expansion method which is a convenient tool in solving equations,and the solutions to Kaup-Kupershmidt equation with Jacobi elliptic function can be derived by this method.Furthermore,the related famous equations can also be derived by the method above,which has enriched solutions of them.

extended Sinh-Gordon equation-expansion method,Kaup-Kupershmidt equation, the solutions with Jacobi elliptic function,the solutions with trigonometric function

O175.29

A

1008-5513(2013)02-0159-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.02.008

2012-11-14.

國(guó)家自然科學(xué)基金(10671156).

王倩(1989-),碩士生,研究方向：非線性偏微分方程.

Jacobi橢圓函數(shù)解;三角函數(shù)解

2010 MSC:35J15