一種閾值化的小波圖像去噪算法

薛明志，李天鈞

(1.商丘師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 商丘 476000;2.鄭州大學(xué) 軟件學(xué)院，河南 鄭州 450001 )

0 引 言

圖像處理過(guò)程涉及數(shù)字圖像的采集、傳輸?shù)拳h(huán)節(jié)，每一個(gè)環(huán)節(jié)都可能出現(xiàn)圖像的噪聲.而這噪聲會(huì)對(duì)圖像的處理環(huán)節(jié)，如分割、增強(qiáng)、檢索等產(chǎn)生直接影響.因此，許多學(xué)者討論了圖像去噪算法.

使用小波變換是進(jìn)行圖像去噪的一種有效方法，原因在于小波變換具有多分辨率、快速算法等特點(diǎn).據(jù)我們所知，小波系數(shù)相關(guān)性原理、小波變換模極大值原理和小波系數(shù)閾值化函數(shù)是三種常用的去噪方法.關(guān)于小波基本理論、變換和小波在圖像的應(yīng)用，見(jiàn)文獻(xiàn)［1］.特別指出的是，Donoho 于1995年針對(duì)圖像去噪提出了小波閾值萎縮法［2］.該方法比較好，它根據(jù)圖像噪聲及信號(hào)在小波變換后的幅度分布進(jìn)行相應(yīng)展開(kāi).盡管如此，可也會(huì)出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象等視覺(jué)失真的缺點(diǎn);而軟閾值方法會(huì)造成高頻信息丟失、邊緣模糊等失真.因此，很多學(xué)者都針對(duì)性地提出了一些解決方案和改進(jìn)方法，如多項(xiàng)式插值法、軟硬閾值折衷法、模平方處理法、最大似然估計(jì)法、半軟閾值法和修正軟閾值法等［3－5］.鑒于上述分析，本文給出新的閾值化函數(shù)，以達(dá)到提高信噪比、改善去噪效果.最后進(jìn)行了仿真試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)表明，我們構(gòu)造的函數(shù)可以改善硬、軟閾值化方法中存在的邊界模糊和振蕩，也顯示出在閾值化處理過(guò)程中具有自適應(yīng)性.

1 Mallat的去噪原理

Mallat的結(jié)果［6］為

定理1 設(shè)0≤n≤1，函數(shù)f(x)定義在［a，b］上.那么f(x)滿足一致的Lipschitz 指數(shù)n 當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)k ＞0，使?x ∈［a，b］有

在(1)式兩邊取對(duì)數(shù)得

在小波變換后域中，有效信號(hào)的性態(tài)表現(xiàn)與隨機(jī)噪聲的表現(xiàn)有所不同，因此當(dāng)尺度變化時(shí)，兩者的小波系數(shù)幅度變化出現(xiàn)相反的態(tài)勢(shì).這樣，如果變換尺度較大，那么可認(rèn)為信號(hào)完全主導(dǎo)了小波系數(shù);如果變換尺度較小，那么可認(rèn)為噪聲幾乎完全控制了小波系數(shù).正是這個(gè)特性才是我們有理由說(shuō)明，小波變換后可以辨別噪聲與信號(hào).但在應(yīng)用中，使用小波對(duì)圖像去噪往往是先設(shè)定閾值，然后分離信號(hào)和噪聲.這種方法的依據(jù)就是某分解尺度下具有不同的噪聲小波系數(shù)幅度與信號(hào)小波系數(shù)幅度.

2 改進(jìn)的閾值算法

2.1 Donoho 閾值算法

D.L.Dohono 提出的閾值化方法(［2］)可以分為硬閾值法與軟閾值法.

硬閾值化方法規(guī)則為

軟閾值化方法規(guī)則為

圖1 硬閾值化(左)和軟閾值化(右)方法Fig.1 The method of hard threshold (left)and soft threshold (right)

2.2 閾值算法的改進(jìn)

本文結(jié)合軟、硬閾值化函數(shù)的不同特點(diǎn)，構(gòu)造了一種新的閾值函數(shù):

其中α 與β 為調(diào)節(jié)參量，α ≥0，0≤β≤1.

以下對(duì)函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)性進(jìn)行考察:

此外，階次的調(diào)節(jié)是可由α的不同選擇而實(shí)現(xiàn):α=0 且β=1 是軟閾值化;α=0 且β=0 是硬閾值化，此時(shí)閾值函數(shù)為原信號(hào)函數(shù);α→+∞且0≤β≤1，也是硬閾值化函數(shù).因此，給出的新函數(shù)就是介于硬、軟閾值化之間的可調(diào)整函數(shù).在具體應(yīng)用中，為達(dá)到最佳效果，我們可調(diào)整參量α 和β 來(lái)處理不同的圖像.

2.3 仿真實(shí)驗(yàn)

我們?nèi)∮秒p正交小波函數(shù)bior6.8，同時(shí)選4 層分解層.將這里改進(jìn)的閾值、軟閾值和硬閾值分別作用于含有隨機(jī)噪聲的sinsin 圖像來(lái)實(shí)驗(yàn)圖像去噪.在實(shí)驗(yàn)中，α 取3，β 取0.5，并且每層上的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)取Birge－Massart 策略中的經(jīng)驗(yàn)系數(shù).下圖為仿真效果圖.

圖2 不同閾值化方法作用后的效果圖Fig.2 The effective image processed by different threshold methods

以下通過(guò)均方誤差MSE 和峰值信噪比PSNR 兩項(xiàng)指標(biāo)對(duì)去噪效果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算.對(duì)于一幅像素為N×M的圖像，定義均方誤差MSE 為

定義峰值信噪比為

其中fmax=maxf(n，m);n=0，1，…，N－1;m=0，1，…，M－1;f(n，m 和^f(n，m)分別為圖像在(n，m)位置上的像素的灰度值和經(jīng)去噪后的灰度值.

實(shí)際應(yīng)用中，由于圖像各種各樣及它們包含的噪聲也不盡相同，所以最終會(huì)采用不同的參數(shù).下表給出了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果.

表1 圖像閾值化去噪后的MSE 和PSNR 統(tǒng)計(jì)Table 1 Statistics of MSE and PSNR processed by image threshold de－noising

3 結(jié) 語(yǔ)

本文首先對(duì)Dohono的硬、軟閾值化方法存在的問(wèn)題進(jìn)行了分析;其次，針對(duì)存在問(wèn)題，構(gòu)造了新的閾值化函數(shù)，該函數(shù)通過(guò)調(diào)整參量α 和β的取值可達(dá)到較優(yōu)的小波系數(shù)閾值估計(jì).最后進(jìn)行了仿真試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果表明，新方法可較好地去掉圖像中噪聲，并且有效地彌補(bǔ)了Dohono的硬、軟閾值化方法中存在的一些不足，如邊緣模糊、高頻信息“過(guò)扼殺”等，以及偽吉布斯效應(yīng)、振蕩等視覺(jué)失真.

［1］李登峰，楊曉慧.小波基本理論與應(yīng)用實(shí)例［M］.北京:高等教育出版社，2010.

［2］Donoho David L.De－noising by soft－thresholding［J］.IEEE Trans on Information Theory，1995，41(3):613－627.

［3］付煒，等.一種改進(jìn)的小波域去噪算法［J］.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2006，42(11):80－81.

［4］劉衛(wèi)東，等.小波閾值去噪函數(shù)的改進(jìn)方法分析［J］.高電壓技術(shù)，2007，33(10):59－63.

［5］張弦，等.一種改進(jìn)的小波閾值去噪方法［J］.微計(jì)算機(jī)信息，2007，23(11－1):309－311.

［6］Mallat S.Singularity detection and processing with wavelets［J］.IEEE Trans on Information Theory，1992，38(2):617－643.