Lagrange 系統(tǒng)的Lie 對稱性與動(dòng)力學(xué)逆問題

梅鳳翔，李彥敏

(1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081;2.商丘師范學(xué)院 物理與電氣信息學(xué)院，河南 商丘 476000)

0 引 言

20世紀(jì)60年代以來，動(dòng)力學(xué)逆問題有了一般的數(shù)學(xué)提法.目前，動(dòng)力學(xué)逆問題已成為星際航行學(xué)，火箭動(dòng)力學(xué)，規(guī)劃運(yùn)動(dòng)理論中的基本問題.專著［1，2］對動(dòng)力學(xué)逆問題的提法和解法給出較全面的論述.本文研究Lagrange 系統(tǒng)的Lie 對稱性與動(dòng)力學(xué)逆問題.1979年Lutzky 首先將Lie 對稱性引入力學(xué)系統(tǒng)守恒量的研究［3］.文獻(xiàn)［4－6］研究了各類約束力學(xué)系統(tǒng)的Lie 對稱性導(dǎo)致的守恒量.對Lagrange 系統(tǒng)與Lie 對稱性相關(guān)的正問題是指，對給定的Lagrange 函數(shù)，如果Lie 對稱性的無限小生成元滿足某個(gè)結(jié)構(gòu)方程，則可導(dǎo)出系統(tǒng)的守恒量.與Lie 對稱性相關(guān)的動(dòng)力學(xué)逆問題是指，對給定的守恒量(積分)，反過來構(gòu)造Lagrange函數(shù)，并給出發(fā)生Lie 對稱性的無限小生成元以及規(guī)范函數(shù).

1 Lie 對稱性與動(dòng)力學(xué)正問題

Lagrange 系統(tǒng)的微分方程表為完整保守系統(tǒng)，廣義力有廣義勢的系統(tǒng)，Lagrange 力學(xué)逆問題系統(tǒng)等，其微分方程可表為形式(1)［6］.假設(shè)系統(tǒng)(1)非奇異，即設(shè)

則由方程(1)可解出所有廣義加速度，簡記作

引入時(shí)間和坐標(biāo)的無限小變換

其中ε 為一無限小參數(shù)，ξ0，ξs為無限小生成元.方程(3)Lie 對稱性的確定方程表為

其中

如果無限小生成元ξ0，ξs滿足方程(5)，則相應(yīng)對稱性為Lie的.如果Lie 對稱性的生成元ξ0，ξs和規(guī)范函數(shù)GN滿足如下結(jié)構(gòu)方程［6］

則Lie 對稱性導(dǎo)致守恒量

與結(jié)構(gòu)方程(7)相應(yīng)的Killing 方程為

因此，如果無限小生成元ξ0，ξs和規(guī)范函數(shù)GN滿足Killing 方程(9)，(10)，則Lie 對稱性導(dǎo)致守恒量式(8).

2 Lie 對稱性與動(dòng)力學(xué)逆問題

對Lagrange 系統(tǒng)，與Lie 對稱性相關(guān)的動(dòng)力學(xué)逆問題的提法如下:

給定Lagrange 系統(tǒng)的一個(gè)積分需要確定系統(tǒng)Lagrange 函數(shù)L，以及Lie 對稱性的無限小生成元ξ0，ξs和規(guī)范函數(shù)GN.

為解上述逆問題，首先，令積分(11)等于Lie 對稱性導(dǎo)致的守恒量I，即令

它給出L，ξ0，ξs和GN的一個(gè)關(guān)系.其次，按Lie 對稱性逆問題，由積分給出生成元［6］

其中

它給出L，ξ0，ξs的n個(gè)關(guān)系.第三，利用Killing 方程(9)，(10)，給出L，ξ0，ξs，GN的(n+1)個(gè)關(guān)系.最后，需驗(yàn)證所得無限小生成元ξ0，ξs是否Lie的.文獻(xiàn)［7］已證明，對Lagrange 系統(tǒng)，Noether 對稱性必是Lie 對稱性.因此，這一步驟可以省略.

與Lie 對稱性相關(guān)的動(dòng)力學(xué)逆問題的解，與一般動(dòng)力學(xué)逆問題的解一樣，一般說來不是唯一的，而是一個(gè)解集.

3 算 例

已知單自由度Lagrange 系統(tǒng)的一個(gè)積分

試求Lagrange 函數(shù)L，Lie 對稱性的生成元ξ0，ξ 以及規(guī)范函數(shù)GN.

將式(14)代入(13)，得到

將式(14)～(16)代入(12)，得

由此得

此時(shí)Killing 方程(10)自動(dòng)成立.將式(15)～(17)代入Killing 方程(9)，得到

它有解

這樣，就得到逆問題的一個(gè)解

問題還有其他解，例如

4 結(jié) 論

Lagrange 系統(tǒng)是一類重要而常用的約束力學(xué)系統(tǒng).動(dòng)力學(xué)逆問題是一個(gè)既有理論又有應(yīng)用的動(dòng)力學(xué)問題.本文對Lagrange 系統(tǒng)，給出與Lie 對稱性相關(guān)的動(dòng)力學(xué)逆問題的提法和解法，主要結(jié)果為求解逆問題的基本公式(5)，(9)，(10)，(12)，(13).對其他約束力學(xué)系統(tǒng)也可進(jìn)行類似討論.

［1］Galiullin AS.Methods of solution of inverse problems of dynamics［M］.Moscow:Nauka，1986 (in Russian).

［2］梅鳳翔.動(dòng)力學(xué)逆問題［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2009.

［3］Lutzky M.Dynamical symmetries and conserved quantities［J］.J Phys A:Math Gen，1979，12(7):973－981.

［4］趙躍宇，梅鳳翔.關(guān)于力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與不變量［J］.力學(xué)進(jìn)展，1993，23(3):360－372.

［5］趙躍宇，梅鳳翔.力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與不變量［M］.北京:科學(xué)出版社，1999.

［6］梅鳳翔.李群和李代數(shù)對約束力學(xué)系統(tǒng)的應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，1999.

［7］梅鳳翔.約束力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量［M］.北京:北京理工大學(xué)出版社，2004.