火箭助飛魚雷入水點精度Bayes點估計評定方法

邵宗戰(zhàn)，侯代文，房 毅

(91439 部隊，大連 116041)

在入水點精度評估中，使用最多的是假設(shè)檢驗方法。該方法在代價函數(shù)最小準(zhǔn)則下，先假設(shè)總體參數(shù)的分布形式，然后利用試驗信息計算似然概率，進而確定接收原假設(shè)還是備擇假設(shè)。假設(shè)檢驗方法在拒絕原假設(shè)時有充分的理由，但是在不能拒絕原假設(shè)時卻沒有足夠的理由接受原假設(shè)，而工程檢驗的目的是要確認(rèn)所關(guān)心的原假設(shè)是否成立，或者說待檢驗的產(chǎn)品是否合格，因此假設(shè)檢驗方法難以滿足工程實踐的需求。特別地，在入水點精度的考核中，假設(shè)檢驗方法一般將入水點偏差信息通過落入圓的劃定轉(zhuǎn)化為服從二項分布的成敗型問題進行簡化處理，在接受原假設(shè)時，不僅意味著不拒絕原假設(shè)，還可能會因為所作假設(shè)的差異，得到截然不同的結(jié)論;而且將精度問題簡化為成敗型問題，在客觀上也造成入水點信息的損失，因此假設(shè)檢驗方法難以滿足工程實踐的需求［2］。

參數(shù)估計方法將入水點偏差看作服從某一分布函數(shù)的隨機變量，利用試驗信息估計變量的值，不僅解決了假設(shè)檢驗方法中接收原假設(shè)時的充分性問題，而且避免了入水點信息的損失。采用經(jīng)典的參數(shù)估計方法進行入水點精度評估，僅僅利用定型階段的試驗信息，要得到置信度較高的評判結(jié)果，需要較多的試驗樣本。不同于傳統(tǒng)的管裝發(fā)射魚雷，火箭助飛魚雷試驗屬于破壞性試驗，魚雷不能回收使用，這會造成試驗消耗大且組織、指揮和協(xié)調(diào)難度高，因而參數(shù)估計只能在小子樣條件下進行。由于火箭助飛魚雷在研制過程中，經(jīng)歷方案設(shè)計驗證試驗、科研試驗等階段，Bayes 點估計方法可利用這些階段的入水點信息作為驗前信息確定驗前分布，并根據(jù)定型試驗時獲取的觀測數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計，在同樣置信條件下，能降低試驗所需魚雷的條次數(shù)，從而有效地降低試驗消耗、縮短試驗周期、提高試驗效率［3］?；诖?，本文利用Bayes 點估計方法［4］對火箭助飛魚雷入水點精度進行評定，僅利用較少的試驗條次數(shù)，就能以較高的置信度，實現(xiàn)入水點精度的評定。最后，給出了相容性檢驗的計算方法，并通過應(yīng)用實例對所提方法進行了驗證。

1 Bayes 參數(shù)估計方法

Bayes 估計方法將魚雷入水點位置看作服從正態(tài)分布的隨機變量，將入水點偏差看作正態(tài)分布中的分布參數(shù)θ，并用概率分布函數(shù)描述參數(shù)θ 的未知狀況。

首先，由驗前信息確定驗前分布π(θ)，由現(xiàn)場試驗信息X={X1，X2，…，Xn}確定似然函數(shù)L(X|θ)，然后，利用Bayes公式綜合現(xiàn)場試驗信息和先驗信息，形成較完備的后驗分布在后驗分布的基礎(chǔ)上進行統(tǒng)計推斷，就能夠確定入水點精度的大小。

Bayes 方法在使用驗前信息時要求信息以分布函數(shù)的形式表示，而指標(biāo)評定過程中這些信息一般以歷史數(shù)據(jù)、主觀信息或者經(jīng)驗信息的形式存在，這就需要確定先驗分布函數(shù)的形式并計算相應(yīng)的參數(shù)。選取恰當(dāng)?shù)南闰灧植际钦_反映先驗信息并進行統(tǒng)計推斷的前提和基礎(chǔ)，目前選取先驗分布的方法主要有共軛分步法、不變先驗分布法等，在滿足合理性要求的前提下，選取共軛分布能給估計帶來極大的方便，在此選取共軛先驗分布法進行研究。

1.1 分布假定［5］

對入水點精度指標(biāo)σ，設(shè)D =σ2的驗前概率密度函數(shù)π(D)為逆Gamma 分布IGa(α0，β0)，即:

以雷達所在位置為原點，在縱平面上，目標(biāo)位置信息主要由觀測距離r以及俯仰角θ來表征，其中觀測距離標(biāo)準(zhǔn)差為σr，俯仰角標(biāo)準(zhǔn)差為σθ，則對應(yīng)的協(xié)方差矩陣為

其中α0和β0是驗前概率密度函數(shù)中的兩個未知的分布參數(shù)，需要利用各種驗前信息確定其取值。Γ(·)表示Gamma函數(shù)。

1.2 驗前分布中超參數(shù)的計算

設(shè)定型試驗之前，在以理論入水點為坐標(biāo)原點的發(fā)射坐標(biāo)系下，有m 個驗前入水點信息{(Δx0i，Δz0i)|i =1，2，…，m}，其中(Δx，Δz)表示實際入水點相對于理論入水點的偏差。如果假定入水點偏差Δx ～N(0，D))，Δz ～N(0，D))，且Δx、Δz 相互獨立，令

則r0i服從Rayleigh 分布，其概率密度函數(shù):

利用驗前信息{r0i|i=1，2，…，m}，根據(jù)Bootstrap 方法［6］求出D 的驗前均值和驗前方差。在計算機上，該過程可利用Monte Carlo 方法按以下步驟實現(xiàn):

1)以R1，R2，…，Rn的實現(xiàn)(r1，r2，…，rn)為有限總體，進行有放回地簡單隨機抽樣，得到Bootstrap 觀察值(，…)，并由此構(gòu)造隨機變量D 的一階矩=R，…，;Fn)和二階矩=R，…;Fn)。

計算得到隨機變量D 驗前概率密度函數(shù)IGa(α0，β0)中的超參數(shù)α0和β0。

1.3 驗后概率密度函數(shù)的計算

如果定型試驗中測量得到的n 個入水點信息為X ={(Δxi，Δzi)|i=1，2，…，n}。同樣計算:

其中

則似然函數(shù)為Rayleigh 分布函數(shù)的積:

根據(jù)Bayes 理論，隨機變量D 的驗后概率密度函數(shù)可以表示如下:

由于

則

則D 的驗后概率密度函數(shù):

其中

由于D=σ2，可求得標(biāo)準(zhǔn)差σ 的驗后概率密度函數(shù)

1.4 入水點精度估計

在均方誤差最小意義下，利用式(12)得到入水點精度的貝葉斯點估計值

2 相容性檢驗

定型試驗之前的驗前數(shù)據(jù)是一種最常見的驗前信息形式，當(dāng)對驗前數(shù)據(jù)直接運用Bayes 公式，實際上它是將驗前數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)同等看待。此時，若兩者不相容，將會降低評判結(jié)果的置信度，因此需要進行相容性檢驗，以確定驗前信息是否可用。

相容性檢驗主要有Smirnov 檢驗、Wilcoxon 檢驗和Mood檢驗等方法。本文采用F 檢驗方法［7］確定驗前信息與現(xiàn)場信息的相容性。

設(shè)x1，x2，…，xn1為驗前信息中的一組入水點偏差，y1，y2，…，yn2為現(xiàn)場試驗中的一組入水點偏差。作統(tǒng)計量:

對于給定的顯著性水平α'，接受H'0假設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)為P(F∈DA|H'0)=1-α'。即當(dāng)F∈DA時，接受H'0，當(dāng)F?DA時，拒絕H'0，接受H'1。DA為檢驗的臨界區(qū)域。對于F 檢驗，接收區(qū)域:

3 應(yīng)用舉例

假定入水點精度指標(biāo)規(guī)定不大于190 m。在以理論入水點為坐標(biāo)原點的發(fā)射坐標(biāo)系下，驗前入水點信息為{(256.76 m，12.57 m)，(366.29 m，342.25 m)，(-55.32 m，245.92 m)，(314.95 m，-145.14 m)}，由式(5)、(6)可計算出驗前超參數(shù)α0=2. 712、β0=3192. 5?，F(xiàn)場試驗入水點信息為{(200.28 m，54.04 m)，(-289.50 m，-55.91 m)，(-97.50 m，- 193. 29 m)，(- 133. 43 m，289. 69 m)，(91. 52 m，-394.62 m)，(-24.64 m，-263.67 m)}，首先根據(jù)由式(21)，兩組數(shù)據(jù)是相容的，再由式(15)、(16)求得驗后超參數(shù)α=8.712、β=259 599。最后，根據(jù)式(18)得到入水點精度估計值為^σ=180.52 m。由于^σ≤190 m，入水點精度滿足指標(biāo)要求。

4 結(jié)束語

為了解決火箭助飛魚雷系統(tǒng)復(fù)雜，試驗子樣數(shù)少，指標(biāo)評定困難的問題，本文采用Bayes 點估計方法，融合各種驗前信息對入水點精度進行評定。首先對驗前信息與試驗現(xiàn)場信息的相容性進行檢驗，以確定驗前信息是否可用;然后利用兩種信息分別計算驗前和驗后概率密度函數(shù)，進而確定入水點精度的概率統(tǒng)計結(jié)果，判定該項指標(biāo)是否滿足技術(shù)要求。最后通過應(yīng)用實例驗證了本文方法的有效性。

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