自相關(guān)過程的修正均值控制圖在MAP中的應(yīng)用

岳瑞華 楊學(xué)猛 徐中英

（第二炮兵工程大學(xué)302教研室，西安710025）

自相關(guān)過程的修正均值控制圖在MAP中的應(yīng)用

岳瑞華 楊學(xué)猛 徐中英

（第二炮兵工程大學(xué)302教研室，西安710025）

傳統(tǒng)控制圖的應(yīng)用前提是來自過程的觀測值彼此獨(dú)立，但通過自動化測試設(shè)備獲得的校準(zhǔn)值通常存在自相關(guān)現(xiàn)象，違背獨(dú)立性假定。結(jié)合新型計量保證方案應(yīng)用的工程實際，對觀測值的自相關(guān)參數(shù)做出辨識和估計，建立一階自回歸時間序列模型，修正了傳統(tǒng)控制圖的控制限，使之適用于自相關(guān)過程。實例分析表明，當(dāng)過程觀測值存在自相關(guān)時使用常規(guī)控制圖將得到錯誤的控制限設(shè)置，使用修正均值控制圖則可以正確判斷過程是否受控。

計量保證；控制圖；自相關(guān)過程；時間序列

0 引言

基于MAP（Measurement Assurance Program）的以等效器作為核查標(biāo)準(zhǔn)和傳遞標(biāo)準(zhǔn)的新型導(dǎo)彈測發(fā)控設(shè)備計量保證方案改變了傳統(tǒng)的人工手動操作、分散拆卸式的逐級定點計量檢定方式，滿足了導(dǎo)彈、火箭綜合測試設(shè)備的計量保證需求［1－2］。

傳統(tǒng)Shewhart控制圖在MAP方案中得到了廣泛應(yīng)用，但是MAP方案實施的一個關(guān)鍵是對核查標(biāo)準(zhǔn)的測量必須是在足夠?qū)挼沫h(huán)境變化和工作條件范圍內(nèi)進(jìn)行。只有這樣才能把所有隨機(jī)過程包括進(jìn)去，即測量值必須是獨(dú)立不相關(guān)的。只有當(dāng)測量值獨(dú)立時，才可以認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)測量值與送檢標(biāo)準(zhǔn)的測量值的隨機(jī)誤差分量是可以比擬的［3］。范巧成［4］證明了采用重復(fù)性條件下所得數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差確定的平均值控制限來控制復(fù)現(xiàn)性條件下子組均值的波動并不妥當(dāng)，并提出了簡化的測量過程統(tǒng)計控制方法［5］。

Alwan對235個錯誤使用常規(guī)控制圖的實際案例研究表明，超過45%的錯誤源于過程觀測值存在自相關(guān)［6］。Shewhart在《Economic Control of Quality and Manufactured Product》中，得到對絕緣材料電阻的測量數(shù)據(jù)觀測值204個，分為51組，每組4個觀測值［7］。當(dāng)直接運(yùn)用休哈特圖對樣本均值數(shù)據(jù)進(jìn)行監(jiān)控時，共有8個點超出控制限，表明在這些時刻過程存在異常原因。然而再對204個觀測值進(jìn)行相關(guān)性分析后發(fā)現(xiàn)序列相關(guān)，獨(dú)立性假設(shè)前提不成立，因此對于含有相關(guān)性的觀測值使用標(biāo)準(zhǔn)方法計算控制限并不準(zhǔn)確［8］。新型導(dǎo)彈測發(fā)控設(shè)備計量保證方案將計量標(biāo)準(zhǔn)器、計量校準(zhǔn)輔助設(shè)備、環(huán)境條件、人員素質(zhì)和測試方法等因素所引入的誤差納入研究，在使用某大型測試設(shè)備便攜式綜合計量檢定儀進(jìn)行高頻數(shù)據(jù)采集與抽樣時，得到的過程觀測值并不總是滿足獨(dú)立的假設(shè)，而是存在自相關(guān)現(xiàn)象［9］。因此需要新的控制圖方法應(yīng)用于對過程進(jìn)行控制。

1 傳統(tǒng)Shewhart控制圖

1.1 控制圖原理

在使用控制圖對生產(chǎn)過程進(jìn)行監(jiān)控時，可以把在一系列時刻采集到的同一質(zhì)量指標(biāo)數(shù)據(jù)看作一個信號的時間序列［10－11］。若該序列在不同時刻的取值不是相互獨(dú)立，或者說該信號在時間上與它的滯后項相關(guān)，則稱該序列具有自相關(guān)性，意在強(qiáng)調(diào)同一指標(biāo)受歷史數(shù)據(jù)的影響。如果自相關(guān)性可以忽略，且該質(zhì)量指標(biāo)與其它質(zhì)量指標(biāo)之間的相關(guān)性（互相關(guān)）也可以忽略，則可以認(rèn)為該質(zhì)量指標(biāo)對應(yīng)的時間序列在各時刻的取值相互獨(dú)立且服從相同的分布，即滿足獨(dú)立同分布條件，稱該過程為I.I.D.（independent identical distribution）過程。

Shewhart控制圖基于《工業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量的經(jīng)濟(jì)控制》提出，當(dāng)正常的生產(chǎn)過程在沒有異常原因存在時，質(zhì)量指標(biāo)是一個穩(wěn)定的隨機(jī)過程X1，X2，…，Xn。其數(shù)學(xué)描述為

式中，μ＝E（Xt），εt～I(xiàn).I.D.N（0，σ2）

Xt相互獨(dú)立

不同時間的Xt服從同一分布，分布參數(shù)與時間無關(guān)，即Xt～N（0，σ2）。Xt的樣本均值也是隨機(jī)變量

1.2 常規(guī)控制圖

對某過程取樣本含量為n的m組（I.I.D.）觀測值，令xij表示第i組數(shù)據(jù)的第j個樣本測量值，則組內(nèi)樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差sw為

總合成標(biāo)準(zhǔn)偏差sc

于是可建立

2 觀測數(shù)據(jù)自相關(guān)

2.1 自相關(guān)過程的辨識

對于某些采用了傳感器等技術(shù)、實現(xiàn)了數(shù)據(jù)自動采集的過程，由于數(shù)據(jù)采集的頻率較高，相鄰數(shù)據(jù)的時間間隔很短，所采集或觀測到的數(shù)據(jù)往往存在自相關(guān)［12］。對自相關(guān)過程的判別通常直觀的采用相關(guān)圖法。

構(gòu)成時間序列的每個序列值X1，X2，…，Xn之間的簡單相關(guān)關(guān)系稱之為自相關(guān)。自相關(guān)程度由自相關(guān)系數(shù)γk度量，表示時間序列中相隔k期的觀測值之間的相關(guān)程度。

偏自相關(guān)是指對于時間序列 Xt，在給定的Xt－1，Xt－2，…，Xt－k＋1的條件下，Xt與Xt－k之間的條件相關(guān)關(guān)系。其相關(guān)程度用偏相關(guān)系數(shù)Φkk度量，有－1≤Φkk≤1。

式中，γk是滯后k期的自相關(guān)系數(shù)。

如果序列的自相關(guān)系數(shù)很快地（滯后階數(shù)k大于2或3時）趨于0，即落入隨機(jī)區(qū)間，則可認(rèn)為時間序列是平穩(wěn)的，反之時間序列是非平穩(wěn)的。若有更多的自相關(guān)系數(shù)落在隨機(jī)區(qū)間以外，即與0有顯著不同，時間序列就是不平穩(wěn)的。

2.2 自相關(guān)過程的參數(shù)估計

MAP方案中測量過程控制參數(shù)的最初建立是基于對核查標(biāo)準(zhǔn)的認(rèn)可值，即利用核查標(biāo)準(zhǔn)值的算術(shù)平均值作為表征長期值的統(tǒng)計量，其每一次測量的有效性通過t檢驗，、F檢驗和保證。根據(jù)時間序列理論，可以將測得的認(rèn)可值序列視為因果可逆的平穩(wěn)過程［13］。

若自相關(guān)觀測數(shù)據(jù)可表示為一階自回歸AR（1）模型

式中，Xt為過程在t時刻的觀測值；μ為過程均值；為自回歸參數(shù)；εt～I(xiàn).I.D.N（0，σ），為白噪聲序列。

則AR（1）觀測數(shù)據(jù)｛Xt｝的方差

3 修正均值控制圖及兩類錯誤

當(dāng)應(yīng)用傳統(tǒng)控制圖對自相關(guān)過程控制時，對過程波動的有偏估計往往導(dǎo)致控制圖失效。可是自相關(guān)現(xiàn)象是過程的本質(zhì)屬性，它不是源于數(shù)據(jù)的采集或觀測不當(dāng)，也不是控制圖這一工具本身的失靈，不能通過重新采集數(shù)據(jù)加以消除，也不必理解成是生產(chǎn)過程中必須消除的故障，應(yīng)該對控制圖改進(jìn)，以期適用于自相關(guān)條件，因此應(yīng)當(dāng)采用修正均值控制圖。

對于符合一階自回歸模型的觀測值序列，根據(jù)式（16）可以得到包含了觀測值樣本的組內(nèi)波動

設(shè)容量為n的每組觀測數(shù)據(jù)X1，X2，…Xn為一個隨機(jī)向量樣本，其概率分布為n維正態(tài)分布，X＝｛X1，X2，…Xn｝為正態(tài)隨機(jī)矢量，且X～N（a，B），其中矢量a＝（E（X1），E（X2），…E（Xn））為X的數(shù)學(xué)期望矢量，即均值向量；矩陣

為X的協(xié)方差陣。

當(dāng)過程均值發(fā)生偏移時，假設(shè)偏移為δσ，則發(fā)生偏移之后的過程均值，此時圖的第二類錯誤的概率：

4 實例驗證

數(shù)據(jù)來自于計量站采用計量保證方案對某大型測控設(shè)備的28.5V標(biāo)準(zhǔn)電壓源定期校準(zhǔn)記錄，該標(biāo)準(zhǔn)源在滿足統(tǒng)計受控條件下每周進(jìn)行一次檢定，共得到50個校準(zhǔn)數(shù)據(jù)。由其自相關(guān)函數(shù)圖1和偏相關(guān)函數(shù)圖2可見，該校準(zhǔn)數(shù)據(jù)存在自相關(guān)。

利用式（15）所建AR（1）模型，根據(jù)式（16）（17）（19）估計出該自相關(guān)過程參數(shù)＝0.42，通過式（7）～（9）得到sc＝0.227。分別求出常規(guī)均值控制圖和修正均值控制圖的控制限見于表1。

表1 控制限對比

圖1 觀測值的自相關(guān)函數(shù)圖

圖2 觀測值的偏自相關(guān)函數(shù)圖

圖3 常規(guī)均值控制圖

對于事實上受控的標(biāo)準(zhǔn)源，圖3所示為常規(guī)均值控制圖，圖中有1個點落在控制限外，4個點接近控制限，依據(jù)均值控制圖理論，可判斷此過程失控。圖4所用修正均值控制圖則表示過程受控。

對比圖3、4可見，若忽視自相關(guān)現(xiàn)象的存在而采用常規(guī)控制圖，會導(dǎo)致產(chǎn)生虛假警報，影響計量保證方案的使用效果。

5 結(jié)語

圖4 修正均值控制圖

針對自動化測試設(shè)備獲得的校準(zhǔn)值通常存在的自相關(guān)現(xiàn)象，采用AR（1）的時間序列模型，首先對觀測值的自相關(guān)參數(shù)做出辨識和估計，修正傳統(tǒng)控制圖的控制限，使之適用于自相關(guān)過程。對計量保證方案應(yīng)用實例的分析表明，使用修正均值控制圖對自相關(guān)的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行控制可以有效避免在受控狀態(tài)下虛發(fā)警報的情況出現(xiàn)。

［1］岳瑞華.導(dǎo)彈測試設(shè)備便攜式綜合計量檢定技術(shù)研究與應(yīng)用［D］.西安：第二炮兵工程學(xué)院，2005

［2］岳瑞華，闕浩，徐中英.MAP中的測量過程的統(tǒng)計控制［J］.控制工程，2007（增刊）：134－135，163

［3］王立吉.計量質(zhì)量保證方案［M］.中國計量出版社，1992

［4］范巧成.對休哈特控制圖中平均值控制界限的商討［J］.計量學(xué)報，2010，31（1）：42－46

［5］范巧成，田靜，祝福，等.簡化的測量過程統(tǒng)計控制方法［J］.計量學(xué)報，2012，33（3）：284－288

［6］Alwan LC，and Roberts H V The problem ofmisplaced control limits J.Journal of Royal Statistical Society（Series C）［J］，1995，44（3）：269－275.

［7］Shewhart，W.A.，Economic Control of Quality and Manufactured Product，D.van Nostrand Company，Inc.Toronto［J］，1931

［8］張志雷.自相關(guān)過程的統(tǒng)計控制理論方法及算法的研究［D］.廣州：暨南大學(xué)，2005

［9］Amin R W，Lee S J.The effects of autocorrelation and outliers on two-sided tolerance limits［J］.Journal of Quality Technology，1999，31（3）：286～300

［10］Alwan，L.C.and M.G.Bissell.Time series modeling for quality control in clinical chemistry，Clinical Chemistry［J］，1988，34（7）：1396－1406

［11］Alwan，L.C.and H.V.Roberts.Time-seriesmodeling for statistical process control.Journal of Business and Economic Statistics［J］，1988，6（1）：87－95

［12］孫靜.自相關(guān)過程的質(zhì)量控制［J］.中國質(zhì)量，2001（12）：20－24

［13］張公緒，孫靜.現(xiàn)代質(zhì)量控制與診斷工程［M］，北京：經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，1999

10.3969／j.issn.1000－0771.2013.4.23