關于CRCE-半群

李 煥， 高振林

（上海理工大學理學院，上海 200093）

關于CRCE-半群

李 煥， 高振林

（上海理工大學理學院，上海 200093）

引進半群的Cwrpp Rees根、Cwrpp Rees根擴張wrpp半群（CRCE-半群）等概念.解決Cwrpp Rees根擴張wrpp半群的存在性，證明這是一個迄今為止從未涉及的半群類.研究wrpp半群的Cwrpp（根）理想擴張的性質(zhì).最后給出這類wrpp半群的關于Cwrpp Rees根擴張結構的特征.

（強）Cwrpp Rees根；Cwrpp根半群；Cwrpp擴張；CRCE-半群

1 預備知識

定義7半群S上的同余ρ稱為Cwrpp同余，如果S/ρ是Cwrpp半群.此時如果ρ還是S上的Rees同余，稱ρ是Cwrpp Rees同余.

定義8對半群S上的Cwrpp同余ρ，如果存在S的子集I和Cwrpp子半群使得

則稱I是S的（Cwrpp）ρ-集，這時將ρ記作ρI.

由文獻［3］知，若（Cwrpp）ρ-集存在，則由ρ唯一確定.另外，若ρ是Cwrpp Rees同余，則（Cwrpp）ρ-集I必存在，且I是半群S的理想，稱I為S的Cwrppρ-理想.

定義9對半群S，如果S無任何Cwrpp同余，那么定義S的Cwrpp根同余是泛關系S×S，則稱S是Cwrpp根半群；如果S至少有一個Cwrpp同余，那么定義S上的Cwrpp根同余是所有Cwrpp同余ρα（α∈w）的交，記作ρcr，即

如果ρcr也有ρcr-集，則將其記為N（S），即ρcr= ρN（S），稱N（S）為S的Cwrpp根集.對于Cwrpp根同余ρcr和Cwrpp根集N（S），有時統(tǒng)稱它們?yōu)镾的Cwrpp根.

由定義9知，對任一半群S，ρcr總是存在的.一般地，ρcr不必仍是S的Cwrpp同余.當然，若ρcr仍是S上的Cwrpp同余，那么ρcr是S上的最小Cwrpp同余.

定義10稱半群S的Cwrpp根同余ρcr是強Cwrpp根，若ρcr仍是S上的Cwrpp同余，且N（S）存在.

設半群S的Cwrpp根同余ρcr是強Cwrpp根，則易知N（S）可表示為

在式（3）中，若對于?α∈w，Iα是S上的Cwrppρα-理想，則N（S）也是S的理想，但不必是wrpp半群，于是以下概念是有意義的.

定義11若半群S有強Cwrpp Rees根同余ρcr，且根理想N（S）是S的wrpp子半群，則稱S為CRCE-半群.

設S為CRCE-半群，則由式（2）、式（3）得

2 CRCE-半群基本性質(zhì)

引理1設S為CRCE-半群，則S是wrpp半群，且是Cwrpp半群.

證明只要證S是wrpp半群，剩余部分由定義9～11即得.

對a∈C，用以上相同方法可得定義4中條件a與條件b在S上成立.

由定義1～11易得以下結論：

引理2設S是CRCE-半群，則

a.N（S）是Cwrpp根半群；

b.如果I既是S的Cwrpp理想，又是Cwrpp根半群，那么I=N（S）.

引理3 設S為CRCE-半群.若E（S）是帶，則E（N（S））包含子帶

3 CRCE-半群根理想擴張的性質(zhì)和存在性

現(xiàn)討論CRCE-半群關于根理想擴張的性質(zhì)和存在性.首先回憶一下理想擴張的概念（見文獻［4］）.

定義13 設N，C=C*∪｛0｝是半群，C*沒有零元0.稱半群S是（C關于）N的一個（理想）擴張，如果S=C*N（不交并），且N是S的一個理想使得S/N?C.

本文定義Cwrpp擴張與（Cwrpp）根Cwrpp擴張半群概念.

定義14稱理想I的擴張S是Cwrpp擴張，如果S/I是Cwrpp半群且I是wrpp半群.

定義15設半群S為其理想I的Cwrpp擴張，若I=N（S），則稱S為（Cwrpp）根Cwrpp擴張半群.

由以上定義和文獻［4］得下面結論.

引理5如果半群C，I滿足以下兩個條件，則存在C關于I的擴張S.

a.C不包含真零因子；

b.I至少包含一個冪等元.

特別地，當I是wrpp半群，C?S/I是Cwrpp半群時，S是Cwrpp擴張.

定理2設N（S）=∩α∈ωIα（見式（4））是CRCE-半群S的強Cwrpp Rees根，則

a.（?α∈ω）Iα是理想**-左理想，且可表示為Iα=∪e∈E（Iα）J**（e）；

b.N（S）是理想**-左理想，且可表示為N（S）=∪f∈∩α∈ωE（Iα）J**（f）；

c.（?α∈ω）存在Cwrpp半群Cα，使得S是Cα關于Iα的Cwrpp擴張.

證明

a.設e∈E（Iα）（?α∈ω），由引理4，J**（e）是理想**-左理想.設T=∪e∈E（Iα）J**（e），由引理4，T是**-左理想.對e∈E（Iα），由Iα是S的理想得J**（e）?Iα，所以T?Iα.另-方面，設a∈Iα，則存在冪等元e∈E（Iα）使得a∈L**e.由e∈L**（e）?J**（e）?T和T是**-左理想，故=?T，即有a∈T，綜合得Iα=T.

b.類似于a的證明可得到N（S）=∪f∈E（N（S））J**（f），且N（S）是一個**-左理想.只需再證E（N（S））=∩α∈ωE（Iα）.事實上

易證φα是從Cα到S/Iα的一個同構映射.因此Cα是S的一個Cwrpp子半群，使得Cα∩Iα=｛0｝，S=Iα.由結論a、引理4和定義14知，S是Cα關于Iα的Cwrpp擴張.

由以上引理5、定理2、定義11、定義14即得以下定理3～4.

定理3設I是CRCE-半群S的wrpp子半群，則以下條件等價：

a.I是S的Cwrpp理想；

b.S是某個Cwrpp子半群C關于理想I的Cwrpp擴張.

定理4設S是wrpp半群，則以下兩個條件等價：

a.S是CRCE-半群；

b.S為其Cwrpp根的Cwrpp擴張半群.

證明a?b.因為S是CRCE-半群，由文獻［4］知，S至少包含一個Cwrpp理想，且N（S）=∩α∈ωIα是S的一個真理想.由定理2，對任意的α∈ω記S=Iα∪，其中不包含零元.設C=∪α∈ω∪｛0∪｛0｝，若x∈N（S）∩C*，則x∈N（S）且x∈C*.因此推出對所有的α∈ω，x∈Iα，且對所有的α∈ω，x?，推出x?∪α∈ω= C*，與x∈C*矛盾.因此，N（S）∩C*=Φ.計算得

類似于定理2中c的證明，得到C?S/N（S），且C是S的Cwrpp子半群.由S=N（S）∪·C*和定義15知，S為其Cwrpp根的Cwrpp擴張半群.

b?a.設S為其Cwrpp根N（S）的Cwrpp擴張半群，則N（S）是S的理想，使得S=N（S）∪·C*，C*∪｛0｝=C?S/N（S）是S的Cwrpp子半群.若能證明S是wrpp半群，由定義11知S為CRCE-半群.往證S是wrpp半群.

綜合之得S是wrpp半群.

4 例 子

最后，用以下實例說明CRCE-半群的存在性，并體現(xiàn)這類半群具有獨特意義.

設N和C=C*∪｛0｝是半群，C*是沒有零元的Cwrpp半群，C*的半格分解表示由式（1）給出. N是有冪等元集E（N）的Cwrpp根wrpp半群，其

中E（N）包含由Y決定的子帶E1如下

因C*=∪α∈YMα，故可定義從C*到N的映射θ如下

可證θ是一個局部同態(tài)映射（見文獻［5］）：對?x，y∈C*，則存在α，β∈Y使得x∈Mα，y∈Mβ.

故θ為C*到N的局部同態(tài)映射.令S=C*N，在S上定義以下運算“°”

a.（?x，y∈C*）x°y=xy在C*中；

b.（?x∈C*，n∈N）x°n=xθ·n在N中；

c.（?x∈C*，n∈N）n°x=n·xθ在N中；

d.（?α，β∈N）α°β=αβ在N中.

則S關于運算“°”成Cwrpp根的Cwrpp擴張半群，由定理4知S是一個有強Cwrpp根N的CRCE-半群.這里指出：由于

故S不是文獻［3］中的左Cwrpp（右Cwrpp）-半群，也不是文獻［5］中的完備Wrpp半群（見文獻［3，5-7］）.這說明CRCE-半群具有獨特意義.

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［6］ Fountain J B，Right pp monoids with central idempotent［J］.Semigroup Forum，1996，53（1）：229-237.

［7］ 高振林，吳小寶.C-ρRrpp半群的結構特征［J］.上海理工大學學報，2012，34（1）：48-50.

On CRCE-semigroups

LIHuan， GAOZhenlin
（College of Science，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

The concepts of Cwrpp Rees root of semigroup and Cwrpp Rees radical extension of wrpp semigroups were introduced.The Cwrpp Rees radical extension of wrpp semigroups（CRCE-semigroups）were investigated，and the properties and existence of Cwrpp（radical）ideal extension of the class of CRCE-semigroups were discussed.

（strong）Cwrpp Rees radical；Cwrpp radical semigroups；Cwrpp radical extension；CRCE-semigroups

O 152.7

A

1007-6735（2013）01-0097-06

2011-12-23

李 煥（1985-），女，碩士研究生.研究方向：代數(shù)學.E-mail：lihuan3110@163.com