新課程背景下利用幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的探索與反思

張瀚錕

摘 要：探討與分析了幾何畫板輔助高中數(shù)學(xué)探究性教學(xué)的相關(guān)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)幾何畫板在“柱、錐、臺(tái)的體積”教學(xué)中應(yīng)用的教學(xué)案例的分析和解決，具體說(shuō)明了利用幾何畫板輔助高中數(shù)學(xué)教學(xué)、輔助學(xué)生學(xué)習(xí)等方面應(yīng)用的優(yōu)勢(shì)及問(wèn)題。以《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》理念為指導(dǎo)，以建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論、人本主義心理學(xué)理論、教育傳播學(xué)理論作為理論基礎(chǔ)，從課程整合的角度，緊緊圍繞幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了研究。

關(guān)鍵詞：信息技術(shù)；抽象思維；形象思維；創(chuàng)新能力

一、問(wèn)題的提出

20世紀(jì)中葉以來(lái)，數(shù)學(xué)自身發(fā)生了巨大的變化，特別是與計(jì)算機(jī)的結(jié)合，使得數(shù)學(xué)在研究領(lǐng)域、研究方式和應(yīng)用范圍等方面得到了空前的拓展?，F(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展，一方面為數(shù)學(xué)教育的普及與傳播提供了得天獨(dú)厚的土壤，另一方面也對(duì)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值、目標(biāo)、內(nèi)容以及教與學(xué)的方式產(chǎn)生了重大的影響。目前，各級(jí)各類學(xué)校都在進(jìn)行信息技術(shù)和數(shù)學(xué)課程整合的探索，如浙江的《信息技術(shù)和數(shù)學(xué)教學(xué)整合的教學(xué)模式研究》、江蘇常州的《信息技術(shù)與數(shù)學(xué)科課程整合》、廣東的《信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)（新教材）教學(xué)整合實(shí)驗(yàn)研究》、北師大林君芬、余勝泉開(kāi)展的《信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的教學(xué)模式研究》等，都體現(xiàn)了人們對(duì)現(xiàn)代信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的重視。而從國(guó)外引進(jìn)的教育軟件“幾何畫板”以其學(xué)習(xí)入門容易和操作簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)及其強(qiáng)大的圖形和圖像功能、方便的動(dòng)畫功能被國(guó)內(nèi)許多數(shù)學(xué)教師看好，并已成為制作高中數(shù)學(xué)課件的主要?jiǎng)?chuàng)作平臺(tái)之一。它為現(xiàn)代信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用提供了具體方案，實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)在數(shù)學(xué)科學(xué)中的最佳效果，有利于培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知能力與創(chuàng)新能力。

二、利用幾何畫板開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)理論依據(jù)

培養(yǎng)創(chuàng)新能力，首先要具備創(chuàng)造性思維?！皠?chuàng)造性思維是創(chuàng)造過(guò)程中的思維活動(dòng)，是抽象思維和形象思維兩種思維新穎靈活的有機(jī)結(jié)合?！倍鴶?shù)學(xué)學(xué)科主要是抽象思維和形象思維，它在培養(yǎng)和提高思維能力發(fā)揮著特有的功效；而從人類數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的發(fā)展來(lái)說(shuō)，形象思維是最早出現(xiàn)的，并在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中起著重要的作用。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育重視抽象的邏輯推理演算，卻忽視了靈活發(fā)散的形象思維，從而導(dǎo)致我國(guó)中小學(xué)生的數(shù)學(xué)文化精神嚴(yán)重“缺鈣”。不難想象，一個(gè)沒(méi)有得到形象思維培養(yǎng)的人不會(huì)有很高的抽象思維能力。古代希臘數(shù)學(xué)家說(shuō)：“從作圖的直觀上發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的非演繹的無(wú)理的元素，這些元素使得作圖的直觀可與音樂(lè)和藝術(shù)相媲美?！鼻疤K聯(lián)著名數(shù)學(xué)家A.H.柯?tīng)柲曷宸蛞苍赋觯骸爸灰锌赡?，?shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問(wèn)題從幾何上視覺(jué)化?！边@正是數(shù)學(xué)形象思維重要性的一個(gè)縮影。因此，發(fā)展形象思維是培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)知能力、發(fā)展創(chuàng)新能力的一個(gè)必要的突

破口。

三、幾何畫板在高中數(shù)學(xué)重要模塊教學(xué)中的運(yùn)用

1.幾何畫板在代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

“函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的內(nèi)容。近幾年，在函數(shù)的教學(xué)與解題中特別強(qiáng)調(diào)了數(shù)與形的結(jié)合。幾何畫板快速直觀精確的顯示及變化的功能在解決數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題上得到了體現(xiàn)，大大提高了課堂效率，進(jìn)而起到了事倍功半的效果。

具體說(shuō)來(lái)，可以用幾何畫板根據(jù)函數(shù)的解析式快速作出函數(shù)的圖像，并可以在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出多個(gè)函數(shù)的圖像。如在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x2、y=x3和y=■的圖像，比較各

圖像的形狀和位置，歸納冪函數(shù)的性質(zhì)；還可以作出含有若干參數(shù)的函數(shù)圖像，當(dāng)參數(shù)變化時(shí)函數(shù)圖像也相應(yīng)地變化。如在講函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像時(shí)，傳統(tǒng)教學(xué)只能將A、ω、φ代入有限個(gè)值，觀察各種情況時(shí)的函數(shù)圖像之間的關(guān)系；利用幾何畫板則可以不斷地分別改變A、ω、φ來(lái)觀察每一個(gè)量對(duì)函數(shù)圖形的影響，而且又可以同時(shí)改變A、ω、φ來(lái)觀察函數(shù)圖形的整體變化（如圖1）。這樣在教學(xué)時(shí)既快速靈活，又不失一般性。

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圖1

幾何畫板在高中代數(shù)的其他方面也有很多用途。例如，借助于圖形對(duì)不等式的一些性質(zhì)、定理和解法進(jìn)行直觀分析——由“半徑不小于半弦”證明不等式“■≤■”等；再如，講解數(shù)列的極限的概念時(shí)，作出數(shù)列的圖形（即作出一個(gè)由離散點(diǎn)組成的函數(shù)圖像），觀察曲線的變化趨勢(shì)，并利用幾何畫板的制表功能以“項(xiàng)數(shù)、這一項(xiàng)的值、這一項(xiàng)與0的絕對(duì)值”列表，幫助學(xué)生直觀地理解這一較難的概念。

2.幾何畫板在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

立體幾何是在學(xué)生已有的平面圖形知識(shí)的基礎(chǔ)上討論空間圖形的性質(zhì)，它所用的研究方法是以公理為基礎(chǔ)，直接依據(jù)圖形的點(diǎn)、線、面的關(guān)系來(lái)研究圖形的性質(zhì)。初學(xué)立體幾何時(shí)，大多數(shù)學(xué)生不具備豐富的空間想象能力及較強(qiáng)的平面與空間圖形的轉(zhuǎn)化能力，主要原因在于人們是依靠對(duì)二維平面圖形的直觀來(lái)感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實(shí)寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線；正方體的各個(gè)面不能都畫成正方形等。這樣一來(lái)，學(xué)生不得不根據(jù)歪曲真正的圖形去想象真實(shí)情況，這便給學(xué)生認(rèn)識(shí)立體幾何圖形增加了困難。而應(yīng)用幾何畫板將圖形動(dòng)起來(lái)，就可以使圖形中各元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系表示出來(lái)，使學(xué)生從各個(gè)不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學(xué)生理解和接受立體幾何知識(shí)，還可以讓學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力得到充分發(fā)揮。

例如：二面角的平面角的概念，是“二面角”這節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)。解決這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是，讓學(xué)生在理解這一概念的本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上，自然地形成二面角的平面角的概念。為此，我們可以采用幾何畫板設(shè)計(jì)如圖2所示的二面角。α-L-β，使得射線OA，OB能分別在半平面α，β內(nèi)繞棱上一點(diǎn)O自由旋轉(zhuǎn)，兩個(gè)半平面α，β繞L自由轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)二面角α-L-β確定之后，通過(guò)OA，OB分別在α，β緩緩轉(zhuǎn)動(dòng)，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，必須使OA，OB與L成定角。從而進(jìn)一步提出：這個(gè)定角多大時(shí)，才能合理地、科學(xué)地用∠AOB的大小來(lái)描述二面角的兩個(gè)半平面的張合程度呢？此時(shí)演示動(dòng)畫，使得OA，OB都與L垂直時(shí)停頓閃爍，就不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)定角為90°時(shí)就比較合理、科學(xué)（如圖3）。這樣二面角的平面角這一概念的屬性（過(guò)棱L上一點(diǎn)O；OA，OB分別在半平面α，β；OA⊥L，OB⊥L）得到了充分的顯示，概念的形成水到渠成。

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3.幾何畫板在平面解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

平面解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，它研究的主要問(wèn)題，即它的基本思想和基本方法是：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，借助形和數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出表示平面曲線的方程，把形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)來(lái)研究；再通過(guò)方程，研究平面曲線的性質(zhì)，把數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為形來(lái)討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導(dǎo)致點(diǎn)、線按不同的方式作運(yùn)動(dòng)，曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系比較抽象，學(xué)生不易理解，顯而易見(jiàn)，展示幾何圖形變形與運(yùn)動(dòng)的整體過(guò)程在解析幾何教學(xué)中是非常重要的。這樣，幾何畫板又以其極強(qiáng)的運(yùn)算功能和圖形圖像功能在解析幾何的教與學(xué)中大顯身手。如它能作出各種形式的方程（普通方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程）的曲線；能對(duì)動(dòng)態(tài)的對(duì)象進(jìn)行“追蹤”，并顯示該對(duì)象的“軌跡”；能通過(guò)拖動(dòng)某一對(duì)象（如點(diǎn)、線）觀察整個(gè)圖形的變化來(lái)研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上曲線的位置關(guān)系。

具體地說(shuō)，在講橢圓的定義時(shí)，可以由“到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡”入手（如圖4）。

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圖4

先讓學(xué)生猜測(cè)P點(diǎn)的軌跡是什么圖形，學(xué)生各抒己見(jiàn)之后，老師演示圖4，學(xué)生豁然開(kāi)朗：“原來(lái)是橢圓”。這時(shí)老師還可以改變PF1+PF2的值，使得PF1+PF2=F1F2，滿足條件的點(diǎn)的軌跡變成了一條線段F1F2，甚至還可以得到PF1+PF2

以上是教學(xué)中的典型實(shí)例，在這幾個(gè)例子中充分運(yùn)用幾何畫板的動(dòng)畫、移動(dòng)、平移、旋轉(zhuǎn)、標(biāo)識(shí)向量等高級(jí)功能，從中我們看到幾何畫板對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)是十分有利的。只要我們發(fā)揮自己的創(chuàng)造性，潛心研究，就能不斷地加深對(duì)幾何畫板的理解和應(yīng)用，不斷開(kāi)發(fā)出適用于教學(xué)的優(yōu)秀課件。

四、高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)案例及案例分析

基于以上對(duì)幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用的具體分析，下面筆者以“北師大版高中數(shù)學(xué)必修2第七節(jié)《簡(jiǎn)單幾何體的面積和體積》”為例進(jìn)行較為詳細(xì)的教學(xué)設(shè)計(jì)。

課題：柱、錐、臺(tái)的體積

一、教學(xué)設(shè)計(jì)思想

（一）背景

北師大版高中數(shù)學(xué)必修2第七節(jié)《簡(jiǎn)單幾何體的面積和體

積》，是在學(xué)生掌握了前幾節(jié)的內(nèi)容，具有一定的空間想象能力的基礎(chǔ)上，要求學(xué)生學(xué)會(huì)一些簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積的計(jì)算方法。關(guān)于柱、錐、臺(tái)、球的體積公式，課程標(biāo)準(zhǔn)要求我們只給出公式，要求學(xué)生理解公式中的各個(gè)量詞表示的意義，會(huì)套用公式進(jìn)行計(jì)算，而不要求對(duì)公式進(jìn)行證明。但與過(guò)去不同的是我們希望學(xué)生在運(yùn)用過(guò)程中自然掌握這些公式，目的是想培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力。運(yùn)用幾何畫板輔助教學(xué)，使立體圖形直觀化，可以幫助學(xué)生自然掌握公式，這就是筆者選擇本課題的實(shí)際背景。

（二）目標(biāo)

（1）知識(shí)與能力：自然掌握柱、錐、臺(tái)、球的面積和體積計(jì)算公式，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力；靈活運(yùn)用“割、補(bǔ)、轉(zhuǎn)”的方法，提高分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

（2）過(guò)程與方法：滲透把有關(guān)立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想和類比的思想方法。

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：使信息技術(shù)與課程進(jìn)行有效的整合，提高學(xué)習(xí)效率，并使得抽象問(wèn)題形象化，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣。

（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

（1）教學(xué)重點(diǎn)：

柱、錐、臺(tái)的體積。

（2）教學(xué)難點(diǎn)：

組合體體積的計(jì)算。

（四）說(shuō)明

柱、錐、臺(tái)的體積在《立體幾何初步》中是重點(diǎn)內(nèi)容，其在傳承數(shù)學(xué)幾何思想上具有獨(dú)到的作用。本課題的拓展性強(qiáng)，運(yùn)用多媒體技術(shù)，使對(duì)圖形割補(bǔ)變換以動(dòng)態(tài)形式呈現(xiàn)，速度快，立體感強(qiáng)，整合效果好，具有不可替代的作用。

二、教學(xué)實(shí)施過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境

（1）回顧我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)過(guò)哪些幾何體的體積的計(jì)算，它們的體積公式是什么。

初中學(xué)習(xí)了正方體、長(zhǎng)方體、圓柱的體積計(jì)算公式，其公式是：

V=Sh S——底面積 h——高

（2）還記得初中時(shí)你們的數(shù)學(xué)老師是如何驗(yàn)證棱柱、圓柱、棱錐、圓錐的體積公式的嗎？

（3）對(duì)幾何體的體積你有哪些認(rèn)識(shí)？

教師引導(dǎo)學(xué)生交流，討論回答。

①幾何體占有空間部分的大小，就是幾何體的體積。

②完全相同的幾何體的體積相等。

③一個(gè)幾何體的體積等于它的各個(gè)部分的體積之和。

④體積相等的幾何體叫等積體，等積體不一定形狀相同。

⑤一般棱柱的體積如何計(jì)算。引起學(xué)生思考。

（二）探究一般棱柱和錐體的體積如何計(jì)算

（1）關(guān)于棱柱和圓柱的體積

設(shè)有一個(gè)n棱柱、一個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，它們的底面積都等于S，高都等于h，它們的下底面都在同一平面上，如下圖：