衛(wèi)星發(fā)射任務(wù)主動(dòng)段實(shí)時(shí)彈道算法研究

胡亞男，甘友誼，王盛璽

(太原衛(wèi)星發(fā)射中心，山西太原030027)

0 引言

在靶場(chǎng)衛(wèi)星跟蹤任務(wù)中，由于布站幾何的限制，需利用脈沖雷達(dá)與3或4臺(tái)高精度測(cè)速雷達(dá)聯(lián)合解算實(shí)時(shí)彈道。傳統(tǒng)的實(shí)時(shí)彈道計(jì)算方法有綜合求速解析法和微分平滑法，這2種方法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行，但是由于對(duì)定位測(cè)元精度的依賴性很強(qiáng)，所以解算出的彈道精度不高。事后傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)融合方法——逐點(diǎn)多站最小二乘可以應(yīng)用到實(shí)時(shí)彈道解算，但是目前的布站幾何會(huì)導(dǎo)致在某個(gè)特定時(shí)間域出現(xiàn)計(jì)算發(fā)散的狀況?！癠KF”算法是在無跡變換(Unscented Transformation，UT)的基礎(chǔ)上，借用卡爾曼線性濾波框架建立起來的，它利用非線性狀態(tài)方程來估算狀態(tài)向量的概率密度函數(shù)，其估計(jì)精確度對(duì)于任意非線性問題均可達(dá)到二階以上［1］。采用上述不同方法解算實(shí)時(shí)彈道，分析評(píng)估彈道精度，對(duì)目前靶場(chǎng)實(shí)時(shí)彈道計(jì)算方法進(jìn)行研究和評(píng)估。

1 實(shí)時(shí)彈道算法

1.1 綜合求速

把脈沖雷達(dá)在測(cè)站坐標(biāo)系中的觀測(cè)量R、A、E轉(zhuǎn)換成測(cè)站發(fā)射坐標(biāo)系中的觀測(cè)量R'、A'、E'后，根據(jù)幾何關(guān)系，第tj時(shí)刻目標(biāo)在發(fā)射坐標(biāo)系中的位置參數(shù)Xj=［xj，yj，zj］T為:

式中，x0、y0、z0為測(cè)站在發(fā)射坐標(biāo)系中的站址坐標(biāo)。

連續(xù)波多測(cè)速系統(tǒng)在tj時(shí)刻的觀測(cè)方程為:

將式(2)的方程組寫成矩陣形式為:

式中，

則tj時(shí)刻目標(biāo)在發(fā)射坐標(biāo)系中的速度參數(shù)為:

1.2 微分平滑

把脈沖雷達(dá)觀測(cè)量轉(zhuǎn)換到發(fā)射坐標(biāo)系下，直接根據(jù)幾何關(guān)系由式(1)得到目標(biāo)在發(fā)射坐標(biāo)系中的位置參數(shù)，然后使用最小二乘中心微分平滑公式對(duì)位置參數(shù)進(jìn)行一階微分，得到目標(biāo)的速度參數(shù)為:

式中，h為步長(zhǎng);N為總平滑點(diǎn)數(shù);n為中心平滑半點(diǎn)數(shù);N=2n+1。

1.3 逐點(diǎn)多站最小二乘

第tj時(shí)刻脈沖雷達(dá)在發(fā)射坐標(biāo)系的觀測(cè)方程為:

連續(xù)波測(cè)速雷達(dá)的觀測(cè)方程為式(2)，由于式(8)和式(2)都是非線性方程，一般將該兩式聯(lián)立并泰勒展開成線性方程，設(shè)觀測(cè)隨機(jī)誤差為ζj，則展開后的線性模型為:

式中，

而

式中，(·)|0表示初始彈道參數(shù)代入對(duì)應(yīng)方程得到的觀測(cè)元素的初始值;Aj為各測(cè)量元素關(guān)于彈道參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)組成的雅可比矩陣，對(duì)應(yīng)的值由初始彈道參數(shù)代入得到。

隨機(jī)誤差向量ζj滿足利用高斯—馬爾可夫估計(jì)得到tj時(shí)刻彈道參數(shù)增量ΔXj的最優(yōu)線性無偏估計(jì)為:［2］

誤差協(xié)方差陣為:

而tj時(shí)刻彈道參數(shù)Xj的估計(jì)值為:

通常需要迭代計(jì)算以提高彈道參數(shù)的解算精度。將第一次解算得到的彈道參數(shù)作為初始彈道參數(shù)，繼續(xù)上述處理過程，直至解算的彈道參數(shù)增量很小為止。

1.4 UKF算法

Julier等人針對(duì)改進(jìn)非線性濾波問題提出了基于UT的濾波思想，其相應(yīng)算法稱為無跡Kalman濾波(Unscented Kalman Filter，UKF)。該算法是在無跡變換(簡(jiǎn)稱UT變換)的基礎(chǔ)上，采用一種確定性抽樣方法(Sigmadian的抽樣方法)來計(jì)算均值和協(xié)方差。而UT變換的核心思想是:對(duì)概率密度函數(shù)的估計(jì)比非線性函數(shù)更容易［3－5］。理論證明UKF算法對(duì)于任意非線性問題均可達(dá)到二階以上精度。

UKF的算法流程如下:

①σ點(diǎn)集及其權(quán)值的選取:在n維狀態(tài)矢量集X={x1，x2，…，xn}中選取2n+1個(gè)σ點(diǎn)集及其相應(yīng)權(quán)值。

②通過非線性函數(shù)f(·)傳遞σ點(diǎn)集:

③預(yù)測(cè)均值及協(xié)方差:

④將σ點(diǎn)集通過觀測(cè)方程:

⑤計(jì)算:

⑥更新狀態(tài)均值mk和協(xié)方差Pk:

針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的 UKF算法，已有很多的應(yīng)用［6～10］，仿真計(jì)算中采用的是一種基于“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型的方法，文獻(xiàn)［10］有較為詳細(xì)的計(jì)算公式，這里不再贅述。

2 仿真結(jié)果分析

下面以某次衛(wèi)星跟蹤測(cè)量任務(wù)為例進(jìn)行仿真計(jì)算，算例中使用的雷達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)均為事后修正數(shù)據(jù)。

從4種方法的計(jì)算過程和結(jié)果分析，可以說各有特點(diǎn):

①傳統(tǒng)的綜合求速法計(jì)算簡(jiǎn)單，但對(duì)定位元的依賴性很大，也就是說對(duì)脈沖雷達(dá)實(shí)時(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)的精度要求較高;② 微分平滑法完全依賴于定位測(cè)元，計(jì)算雖然最簡(jiǎn)單，但速度的計(jì)算沒有與高精度測(cè)速元融合，因此速度精度很低;③ 由于跟蹤幾何的原因，逐點(diǎn)多站最小二乘法會(huì)出現(xiàn)雅克比矩陣局部奇異的現(xiàn)象，使計(jì)算結(jié)果發(fā)散;④ UKF算法不受跟蹤幾何影響，且計(jì)算結(jié)果精度較高，但對(duì)初值的選擇有一定范圍的要求，如果初值誤差較大，也會(huì)出現(xiàn)發(fā)散的狀況。

圖1 綜合求速法彈道比對(duì)結(jié)果

圖2 微分平滑法彈道比對(duì)結(jié)果

圖3 逐點(diǎn)多站最小二乘法彈道比對(duì)結(jié)果

圖4 UKF算法彈道比對(duì)結(jié)果

圖5 最小二乘主法雅可比矩陣條件數(shù)

3 結(jié)束語

衛(wèi)星發(fā)射任務(wù)時(shí)，采用UKF算法把脈沖雷達(dá)測(cè)元與高精度測(cè)速元融合，能夠提高實(shí)時(shí)彈道解算的精度。但是需要對(duì)遴選初值的方法做進(jìn)一步探討;在出現(xiàn)極端情況(比如提供初值的設(shè)備出現(xiàn)異常)時(shí)，濾波器發(fā)散，如何再次獲得滿足要求的初值，如何有效地提高捕獲初值的速度，都是下一步必須重點(diǎn)研究的內(nèi)容。從另外一個(gè)角度考慮，如果能夠提高脈沖雷達(dá)實(shí)時(shí)處理數(shù)據(jù)的精度，采用綜合求速法計(jì)算實(shí)時(shí)彈道仍不失為一個(gè)簡(jiǎn)便而有效的方法。

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