計(jì)及多重開(kāi)關(guān)的電磁暫態(tài)仿真插值算法

劉 濤，閆貽鵬，金 娜，王旭東，林濟(jì)鏗

（1．天津市電力公司電力科學(xué)研究院，天津 300384；2．上海市電力公司青浦供電公司，上海 201700；3．上海市電力公司金山供電公司，上海 201500；4.同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院電力系，上海 201804）

計(jì)及多重開(kāi)關(guān)的電磁暫態(tài)仿真插值算法

劉 濤1，閆貽鵬2，金 娜3，王旭東1，林濟(jì)鏗4

（1．天津市電力公司電力科學(xué)研究院，天津 300384；2．上海市電力公司青浦供電公司，上海 201700；3．上海市電力公司金山供電公司，上海 201500；4.同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院電力系，上海 201804）

為解決快速電磁暫態(tài)仿真程序中因多重開(kāi)關(guān)動(dòng)作易引起迭代震蕩及仿真精度不高問(wèn)題，提出一種能避免迭代震蕩及具有較高精度的快速電磁暫態(tài)仿真插值新算法。該算法首先通過(guò)內(nèi)插技術(shù)確定開(kāi)關(guān)動(dòng)作的準(zhǔn)確時(shí)刻；然后從最近的開(kāi)關(guān)動(dòng)作時(shí)刻開(kāi)始對(duì)本步長(zhǎng)內(nèi)該開(kāi)關(guān)動(dòng)作點(diǎn)之后的區(qū)間進(jìn)行后向歐拉法試探積分；進(jìn)而利用外插回推技術(shù)得到開(kāi)關(guān)動(dòng)作后的變量值作為下一步積分的初始值；最后進(jìn)行一步梯形法積分并插值回到積分整步點(diǎn)，完成一個(gè)完整時(shí)步積分計(jì)算。算例證明本算法能避免迭代震蕩并提高仿真精度，擁有應(yīng)用前景。

插值技術(shù)；電磁暫態(tài)仿真；數(shù)值振蕩；多重開(kāi)關(guān)

目前，電力電子元件及設(shè)備在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用非常廣泛。由于電力電子元件的快速多次反復(fù)動(dòng)作特性造成了系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也是隨時(shí)間不斷變化，且很可能在一個(gè)很短的時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)多個(gè)開(kāi)關(guān)動(dòng)作。如何準(zhǔn)確地反映及捕捉各個(gè)開(kāi)關(guān)動(dòng)作給網(wǎng)絡(luò)及系統(tǒng)帶來(lái)的影響及現(xiàn)象，是所有電磁暫態(tài)仿真研究及程序開(kāi)發(fā)所面臨的挑戰(zhàn)。

基于定步長(zhǎng)積分技術(shù)而開(kāi)發(fā)的EMTP程序是目前應(yīng)用最為廣泛的電磁暫態(tài)仿真程序[1，2]。在開(kāi)關(guān)動(dòng)作時(shí)，若實(shí)際開(kāi)關(guān)動(dòng)作時(shí)間出現(xiàn)在非整步點(diǎn)上，而積分過(guò)程卻只能在整點(diǎn)上反映開(kāi)關(guān)動(dòng)作情況，往往造成開(kāi)關(guān)動(dòng)作點(diǎn)延遲，并且會(huì)出現(xiàn)非特征諧波[3-5]和數(shù)值振蕩[6-10]。對(duì)于該問(wèn)題，目前常采用的是插值算法[11-15]，即利用梯形積分中的分段線(xiàn)性化，在開(kāi)關(guān)電流過(guò)零點(diǎn)時(shí)利用插值技術(shù)尋找到精確的開(kāi)關(guān)動(dòng)作時(shí)間。而對(duì)于在一個(gè)積分時(shí)步中包含有多個(gè)開(kāi)關(guān)動(dòng)作，即出現(xiàn)所謂的多重開(kāi)關(guān)[16]時(shí)，當(dāng)前的插值算法大都只是尋找一次開(kāi)關(guān)動(dòng)作或?qū)⒍鄠€(gè)動(dòng)作近似到一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上，從而不能準(zhǔn)確反映實(shí)際情況，且也容易引起積分震蕩。如何更準(zhǔn)確地模擬多重開(kāi)關(guān)動(dòng)作問(wèn)題一直是備受關(guān)注的課題。

本文首先對(duì)包含有多重開(kāi)關(guān)的電磁暫態(tài)積分過(guò)程中的數(shù)值振蕩和非特征諧波的產(chǎn)生機(jī)理進(jìn)行理論分析；在此基礎(chǔ)上，針對(duì)多重開(kāi)關(guān)動(dòng)作問(wèn)題，提出了計(jì)及多重開(kāi)關(guān)動(dòng)作的插值新算法用于電磁暫態(tài)仿真積分計(jì)算，以消除仿真計(jì)算時(shí)出現(xiàn)的數(shù)值振蕩和非特征諧波。

1 非特征諧波和數(shù)值振蕩

EMTP等電磁暫態(tài)仿真程序均采用定步長(zhǎng)的梯形積分法，從而只能計(jì)算整步點(diǎn)變量值。然而電力電子開(kāi)關(guān)的動(dòng)作點(diǎn)不一定出現(xiàn)在整步點(diǎn)上，以圖1為例，當(dāng)開(kāi)關(guān)斷開(kāi)后，由于電感電流不能突變，二級(jí)管導(dǎo)通，在電感電流衰減至零時(shí)二極管關(guān)斷，假設(shè)在td時(shí)刻二極管關(guān)斷，如圖2所示，則在第一個(gè)整仿真步長(zhǎng)時(shí)刻（即圖2中t-Δt）程序計(jì)算得到的二極管電流為正，二極管繼續(xù)導(dǎo)通，在第二個(gè)整仿真步長(zhǎng)時(shí)刻（即圖2中時(shí)刻t）程序計(jì)算得到二極管電流為負(fù)，這個(gè)信息直到下一個(gè)整仿真步長(zhǎng)時(shí)刻（即圖2中t+Δt）才被處理，將二極管關(guān)斷。而二極管電流實(shí)際上是在第一個(gè)仿真步長(zhǎng)和第二個(gè)仿真步長(zhǎng)之間的時(shí)刻（即圖2中td）過(guò)零點(diǎn)。

圖1 簡(jiǎn)單電力電子開(kāi)關(guān)電路Fig.1 Simple power electronic switch circuit

圖2 固定步長(zhǎng)仿真時(shí)開(kāi)關(guān)動(dòng)作示意Fig.2 Switch action schemes at fixed-step simulation

程序中開(kāi)關(guān)動(dòng)作時(shí)間上的延遲將造成電壓電流波形出現(xiàn)不真實(shí)的“尖峰”，即非特征諧波。因此，只有找到真正的開(kāi)關(guān)動(dòng)作點(diǎn)，讓仿真中電子開(kāi)關(guān)的動(dòng)作回歸到正確時(shí)刻才能消除非特征諧波。

對(duì)于圖1中電感支路，其梯形法積分公式為

如果開(kāi)關(guān)在td時(shí)刻動(dòng)作，電壓u將發(fā)生突變，即UL（td-）≠UL（td+），在仿真中應(yīng)以td+時(shí)刻的變量求解td+Δt時(shí)刻的值，但實(shí)際計(jì)算時(shí)常用td-時(shí)刻非狀態(tài)變量值計(jì)算等值電流源，而由于UL（td-）≠UL（td+），這就造成了數(shù)值震蕩。

目前常采用向后歐拉法消除數(shù)值震蕩，向后歐拉法的公式為

從式（2）可看出，該方法避免了非狀態(tài)突變量UL（td-）的影響，因此能夠徹底地消除數(shù)值震蕩。

2 新的插值算法

以上分析可知，要仿真電力電子元件的動(dòng)作過(guò)程，首先要尋找到正確的開(kāi)關(guān)動(dòng)作點(diǎn)，然后采用向后歐拉法，從而既能消除震蕩產(chǎn)生，又能正確反應(yīng)開(kāi)關(guān)動(dòng)作?；诖怂枷耄瑫r(shí)考慮到快速仿真中往往需采用大步長(zhǎng)而導(dǎo)致一個(gè)積分時(shí)步中可能包括多重開(kāi)關(guān)動(dòng)作，本文提出一種新的插值算法，既能對(duì)多重開(kāi)關(guān)的開(kāi)斷準(zhǔn)確反映，又能避免震蕩。

算法的核心思想是，在從t積分到t+Δt時(shí)刻時(shí)檢測(cè)到開(kāi)關(guān)動(dòng)作td，以t和t+Δt時(shí)刻的變量插值到td，得到td（0-）變量，接著檢查在td到t+Δt直接是否有開(kāi)關(guān)動(dòng)作，若有則以td和t+Δt為基準(zhǔn)插值到新的開(kāi)關(guān)動(dòng)作點(diǎn)td′，再?gòu)男碌拈_(kāi)關(guān)動(dòng)作點(diǎn)用一步1%的向后歐拉法以消除振蕩，再通過(guò)外插回推得到td（0+）時(shí)刻的變量，最后回到整步點(diǎn)，開(kāi)始下一時(shí)步的仿真積分。具體過(guò)程如下：

（1）由t-Δt時(shí)刻使用一步梯形法積分法到t；

（2）由t時(shí)刻使用一步梯形法積分法到t+Δt，此時(shí)檢測(cè)到td時(shí)刻開(kāi)關(guān)動(dòng)作；

（3）由t和t+Δt時(shí)刻內(nèi)插到td時(shí)刻值；

（4）改變開(kāi)關(guān)狀態(tài)，重新形成導(dǎo)納矩陣，從td時(shí)刻以步長(zhǎng)為t+Δt-td的向后歐拉法積分到t+Δt時(shí)刻，檢測(cè)td到t+Δt之間是否還有開(kāi)關(guān)動(dòng)作，若有則由td和t+Δt時(shí)刻內(nèi)插到新的開(kāi)關(guān)動(dòng)作點(diǎn)，重復(fù)步驟（4），若沒(méi)有，則轉(zhuǎn)入步驟（5）；

（5）在td時(shí)刻，用向后歐拉法以1%步長(zhǎng)積分一步到td+Δt/100；

（6）由td+Δt/100和td時(shí)刻值外插到td-Δt/100時(shí)刻值；

（7）在td+Δt/100時(shí)刻以1%步長(zhǎng)的向后歐拉法積分一步到td；

（8）在td時(shí)刻以1%步長(zhǎng)的向后歐拉法積分一步到td+Δt/100；

（9）在td+Δt/100時(shí)刻用一整步梯形法積分至td+Δt/100+Δt；

（10）由td+Δt/100和td+Δt/100+Δt時(shí)刻值內(nèi)插到t+Δt整步時(shí)刻，恢復(fù)正常梯形法積分直到檢測(cè)到下一個(gè)開(kāi)關(guān)動(dòng)作點(diǎn)。插值變化過(guò)程如圖3所示。

圖3 新插值算法的插值變化過(guò)程Fig.3 Interpolating process for the new interpolationextrapolation algorithm

上述插值算法的解釋和說(shuō)明：

（1）第（3）步通過(guò)內(nèi)插技術(shù)得到開(kāi)關(guān)動(dòng)作前的變量值；第（4）步進(jìn)行因開(kāi)關(guān)動(dòng)作而進(jìn)行相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涓淖?；第?）步繼續(xù)尋找本步長(zhǎng)內(nèi)的其他開(kāi)關(guān)動(dòng)作點(diǎn)，并插值到新的開(kāi)關(guān)動(dòng)作時(shí)刻同時(shí)改變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，直到找到最后一個(gè)開(kāi)關(guān)動(dòng)作點(diǎn)為止；第（5）步利用1%步長(zhǎng)的向后歐拉法消除振蕩；第（6）、第（7）步利用外插回推過(guò)程得到開(kāi)關(guān)動(dòng)作后的變量值，即td（0+）時(shí)刻值；第（8）步利用td（0+）時(shí)刻的值向前積分，避免了td（0-）值的影響；第（9）、第（10）步利用內(nèi)插技術(shù)插值到整步點(diǎn)上，完成下一步梯形法積分的準(zhǔn)備。

（2）在上述算法第（4）步中，采用了試探檢測(cè)來(lái)尋找同一步長(zhǎng)內(nèi)的多次開(kāi)關(guān)動(dòng)作，且每次尋找到一個(gè)新動(dòng)作點(diǎn)都進(jìn)行內(nèi)插計(jì)算和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涓淖?，雖要多花去一部分計(jì)算時(shí)間，但通過(guò)該操作后能準(zhǔn)確尋找到每一次開(kāi)關(guān)動(dòng)作時(shí)刻，從而為下一步積分提供正確的初始狀態(tài)，可明顯提高仿真精度。

（3）因電磁暫態(tài)仿真精度取決于數(shù)值積分方法和步長(zhǎng)，梯形積分法的精度為二階，向后歐拉法精度為一階，因此在第（5）步中采用1%步長(zhǎng)向后歐拉法，相比文獻(xiàn)[12，13]中采用的半步長(zhǎng)向后歐拉法策略既能消除振蕩且精度更高。同時(shí)，本方法回到了整步點(diǎn)輸出，能與導(dǎo)納矩陣和暫態(tài)模型相匹配。由于本方法將計(jì)算得到的td（0+）時(shí)刻值用于下一步積分，相比文獻(xiàn)[14]獲得了更加精確的初始值，故總體仿真結(jié)果也具有更高精度。

（4）本文方法相對(duì)于非插值算法，相同步長(zhǎng)下計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。但相對(duì)于插值類(lèi)算法，雖計(jì)算量略有增加，但增加的不大。本文方法的突出優(yōu)點(diǎn)是具有較高的仿真精度和穩(wěn)定性，雖有一定的計(jì)算量增加，但相對(duì)于現(xiàn)在計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力，這樣的增加幾乎可以忽略不計(jì)。

3 算例

3.1 算例1

如圖1所示，在開(kāi)關(guān)斷開(kāi)后，二極管導(dǎo)通為電感續(xù)流，當(dāng)電感電流為零時(shí)二極管關(guān)斷。分別利用文獻(xiàn)[13，14]和本文插值法對(duì)該過(guò)程進(jìn)行電磁暫態(tài)仿真，給出二極管關(guān)斷時(shí)電壓V的波形，并與10 μs步長(zhǎng)仿真時(shí)的電壓波形對(duì)比，如圖4和圖5所示，其中圖4采用50 μs步長(zhǎng)，圖5采用100 μs步長(zhǎng)。

圖4 50 μs步長(zhǎng)時(shí)電壓波形比較Fig.4 Comparison of the voltage waveforms at 50 μs time-step

通過(guò)圖4（a）和圖5（a）比較可知，50μs和100μs步長(zhǎng)時(shí)，不利用插值算法的仿真結(jié)果誤差很大，而利用插值算法后的仿真波形接近10 μs仿真結(jié)果，說(shuō)明插值技術(shù)對(duì)程序的精度有很大提高。

圖5 100 μs步長(zhǎng)時(shí)電壓波形比較Fig.5 Comparison of the voltage waveforms at 100 μs time-step

由圖4（b）和圖5（b）可看出，本文提出的新插值方法相比文獻(xiàn)[13]，[14]的方法更接近于10 μs的仿真結(jié)果。從而也證明本文方法相較其他方法具有更高的仿真精度和更好的數(shù)值穩(wěn)定性。

3.2 算例2

算例2為一完整整流逆變電路，如圖6所示。有4個(gè)換流器，24個(gè)電力電子開(kāi)關(guān)元件，并包含分布式參數(shù)線(xiàn)路，濾波器等元件。在這個(gè)電路中，開(kāi)關(guān)動(dòng)作不僅包括自然換相也包括強(qiáng)制換相，而且用大步長(zhǎng)仿真時(shí)會(huì)出現(xiàn)多重開(kāi)關(guān)問(wèn)題。本文采用頻率50 Hz，仿真步長(zhǎng)分別為50 μs和100 μs，整流側(cè)觸發(fā)角α=15°，逆變側(cè)β=45°，仿真時(shí)間為1 s，測(cè)量長(zhǎng)線(xiàn)路中靠近整流側(cè)端的電壓值。

圖7和圖8分別給出了50 μs和100 μs步長(zhǎng)時(shí)本文插值方法、文獻(xiàn)[13]，[14]中的插值方法以及沒(méi)有插值時(shí)的電壓曲線(xiàn)?？煽闯隼貌逯捣椒ê螅绷麟妷旱恼袷庉^少、波形平穩(wěn)，說(shuō)明3種插值方法對(duì)于開(kāi)關(guān)動(dòng)作引起的振蕩有很好消除。然而，本文方法相對(duì)于文獻(xiàn)[13]，[14]方法得到的波形更加平穩(wěn)，說(shuō)明在包含多個(gè)開(kāi)關(guān)動(dòng)作的系統(tǒng)仿真中，本文方法更好地消除了數(shù)值振蕩和非特征諧波，具有更好的仿真精度和數(shù)值穩(wěn)定性。同時(shí)從圖7和圖8的比較可知，步長(zhǎng)從50 μs增加到100 μs時(shí)，對(duì)于本文插值方法得到的波形平穩(wěn)度基本不受影響，說(shuō)明本插值方法在大步長(zhǎng)時(shí)仍適用，即對(duì)于大步長(zhǎng)的電磁暫態(tài)仿真依然保證了一個(gè)較高精度，從而適用于大系統(tǒng)快速電磁暫態(tài)仿真。

圖6 整流逆變系統(tǒng)圖Fig.6 Rectifier inverter system

圖7 50 μs步長(zhǎng)時(shí)直流電壓比較Fig.7 Comparison of DC voltage waveforms at 50 μs time-step

圖8 100 μs步長(zhǎng)時(shí)直流電壓比較Fig.8 Comparison of DC voltage waveforms at 100 μs time-step

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)快速仿真中多重開(kāi)關(guān)的問(wèn)題，本文提出一種適用于快速電磁暫態(tài)仿真的插值新算法。該方法的特點(diǎn)是通過(guò)內(nèi)插技術(shù)尋找正確的開(kāi)關(guān)動(dòng)作點(diǎn)，采用試探法尋找一個(gè)步長(zhǎng)內(nèi)的多次開(kāi)關(guān)動(dòng)作，利用1%步長(zhǎng)的向后歐拉法有效消除了數(shù)值振蕩；并利用外插回推技術(shù)得到正確的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和積分初始值。算例表明，本文算法相較于其他方法在處理多重開(kāi)關(guān)時(shí)，既能更好地避免數(shù)值震蕩，又有更高的仿真精度。算例也表明，本文算法在較大積分步長(zhǎng)時(shí)，仍具有較高的數(shù)值穩(wěn)定性和精度，從而擁有實(shí)際工程應(yīng)用的前景。

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Interpolation Algorithm for Electromagnetic Transient Simulation Considering Multiple Switching Events

LIU Tao1，YAN Yi-peng2，JIN Na3，WANG Xu-dong1，LIN Ji-keng4
（1.Electrical Power Research Institute of Electrical Company of Tianjin，Tianjin 300384，China；2．Qingpu Power Supply Branch of Shanghai Municipal Electric Power Company，Shanghai 201700，China；3.Jinshan Power Supply Branch of Shanghai Municipal Electric Power Company，Shanghai 201500，China；4.Department of Electrical Engineering，College of Electronic and Information Engineering，Tongji University，Shanghai 201804，China）

Due to the iteration oscillation and low precision frequently resulted from multiple switching events in electromagnetic transient program，a new interpolation algorithm to solve these problems is presented in the paper.Interpolation technology is applied to find the accurate switching time.The trial backward Euler integration method，considering multiple switching action during the simulation，is then utilized to integrate interval followed the latest action from switching action in current step.Extrapolation and back-ward technology are combined to obtain the variable value after switching points.Thus a correct topology and initial values for the next integration are achieved.Finally，a step of trapezoidal integration combined with interpolating is further proceeded to be back to the integer step point.The results of the samples demonstrate the validity of the proposed algorithm.

interpolation technology；electromagnetic transient simulation；numerical oscillation；multiple switching

TM711

A

1003-8930（2013）06-0143-05

劉 濤（1980—），碩士，工程師，從事電力系統(tǒng)仿真及繼電保護(hù)試驗(yàn)工作。Email：net_liutao@126.com

2013-04-22；

2013-05-18

閻貽鵬（1987—），碩士，助理工程師，從事電力系統(tǒng)仿真分析工作。Email：yyp1125018@126.com

金 娜（1986—），碩士，助理工程師，從事電力系統(tǒng)仿真分析工作。Email：Jinna198777@163.com