鞏乾
【摘 要】平面上簡(jiǎn)單閉曲線的外接正方形問(wèn)題是一道很有意思的平面幾何的問(wèn)題,也是一道世界數(shù)學(xué)難題。本文嘗試著對(duì)一些簡(jiǎn)單的圖形,如三角形、四邊形等給出外接正方形的解答。對(duì)外接正方形的不同理解將產(chǎn)生不同的解答。本文論討論了外接正方形的兩種定義,并依此給出一些解答。本文所研究的內(nèi)容以及得出的理論可用于實(shí)際生活當(dāng)中,例如,可以作出三角形的最小外接正方形,這樣如運(yùn)用到材料生產(chǎn)中,可以大大節(jié)省材料,節(jié)約資源。
【關(guān)鍵詞】凸多邊形;三角形;正方形;外接正方形
平面幾何是一門基礎(chǔ)的內(nèi)容,也是博大精神的一門學(xué)問(wèn),甚至可以說(shuō)是一種語(yǔ)言,是一種傳承了古代數(shù)學(xué)璀璨文化的特殊語(yǔ)言。
然而,在這門神圣的“語(yǔ)言”里面卻蘊(yùn)含著許多有趣的文藝。例如:平面上任意簡(jiǎn)單閉曲線都有外接正方形,是一道世界難題,至今仍無(wú)法解決。本文想做的工作就是從簡(jiǎn)單的凸多邊形入手,即從三角形開始,到正方形,長(zhǎng)方形,梯形,平行四邊形,菱形……利用這些圖形的一些性質(zhì),從中給出一些具體的解答。
本論文討論了外接正方形的兩種理解。首先從圖形的外接正方形的定義出發(fā),引出圖形外接正方形的第一種定義方式,給出一些圖形,特別是三角形的外接正方形的存在性。多邊形額各頂點(diǎn)都在一個(gè)正方形的邊上為論文的外接正方形的第二種定義,按此定義討論三角形,正方形,長(zhǎng)方形,一些梯形的外接正方形的存在性。
本文所研究的內(nèi)容以及得出的理論可用于世紀(jì)生活工作匯總,例如,可以做出三角形的最小外接正方形,這樣如運(yùn)用到日常生活生產(chǎn)中,都能夠讓使用者更加便捷。
1.外接正方形的定義
平面上,任意簡(jiǎn)單閉曲線,即不相交的封閉曲線,將平面分成兩個(gè)連通部分,一個(gè)有界,一個(gè)無(wú)界。我們討論有界的部分,其邊界就是已知的閉曲線,而它一定包含在一個(gè)矩形之內(nèi),直觀上可以將矩形調(diào)節(jié)到盡可能的小,于是有下列定義。
定義:對(duì)于平面上的簡(jiǎn)單閉曲線,若存在一個(gè)長(zhǎng)方形,使得該簡(jiǎn)單閉曲線完全落在長(zhǎng)方形之內(nèi)且長(zhǎng)方形的四邊都與簡(jiǎn)單閉曲線相切,則稱長(zhǎng)方形為簡(jiǎn)單閉曲線的外接長(zhǎng)方形,若此長(zhǎng)方形為正方形的話,那么這個(gè)正方形就成為此簡(jiǎn)單閉曲線的外接正方形。
一個(gè)至今仍未解決的問(wèn)題就是“平面上的任意簡(jiǎn)單閉曲線是否都存在其外接正方形”,我們就討論三角形的外接正方形問(wèn)題。
2.外接正方形的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)
我們先給出一些外接正方形的分析和簡(jiǎn)單命題。
命題(一)(凸化性質(zhì))若一個(gè)簡(jiǎn)單閉曲線有外接正方形,那么該圖形的凸包閉曲線也有外接正方形。
命題(二)若凸多邊形有兩個(gè)相鄰內(nèi)角都小于等于45度,那么則此凸多邊形有外接正方形。
實(shí)際上,可以以這兩內(nèi)角所夾的邊作為正方形的對(duì)角線,那么此正方形就是該凸多邊形的外接正方形。
命題(三)任意圓形都存在外接正方形。
作法:過(guò)圓形一條直徑的兩端作其垂線,然后再作圓的兩條切線并且垂直于先前的兩條垂線,所截得的四邊形就是圓形的外接正方形。
證明:兩條直線所截得的四邊形相鄰兩邊遲滯,且都與直徑相等,所以此四邊形為外接正方形。
注:由作法可知,任意圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外接正方形。
3.三角形的外接正方形
假設(shè)存在一個(gè)正方形,在其內(nèi)部畫一個(gè)三角形,因?yàn)檫@樣的三角形可以有無(wú)數(shù)個(gè),并且由于定義中要求其整個(gè)圖形都要落在這個(gè)正方形中且與四邊相切。
如圖1所示,則此正方形ABCD將可以繼續(xù)被壓縮成一個(gè)矩形AHFD直至不能再壓縮位置。如圖2所示情況不符合定義。因此有引理(一):三角形的其中一個(gè)頂點(diǎn)必須和其外接正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合。
圖1 圖2
將三角形按內(nèi)角種類分為3類:①直角三角形②銳角三角形③鈍角三角形。
定理(1):任意直角三角形都存在外接正方形。
證明:假設(shè)直角三角形BEF存在外接正方形ABCD,由引理(一)只能如圖3所示。
圖3
設(shè)兩條直角邊BF=b,EF=a,正方形邊長(zhǎng)為m,∠ABF為θ,則∠EFD=θ,因?yàn)閎cosθ=m,acosθ=FD,則=,所以=≥1,即b≥a。
旋轉(zhuǎn)正方形ABCD,只需證明出0°≤θ≤45°則結(jié)論得證。
因?yàn)閙=bcosθ,而m=bsinθ+acosθ,所以,bcosθ=bsinθ+acosθ,
整理得
bsinθ=(b-a)cosθ
tanθ=
tanθ=1-
由0<≤1,得0°≤θ<45°,結(jié)論得證。
定理(2):任意銳角三角形都存在外接正方形。
證明:因?yàn)殇J角三角形BEF存在外接長(zhǎng)方形ABCD,如圖4所示:
圖4
設(shè)兩條邊BF=b,BE=c,且b≥c,正方形邊長(zhǎng)為m,∠ABF為θ,∠FBE為α。
旋轉(zhuǎn)長(zhǎng)方形ABCD,則當(dāng)bcosθ=csin(θ+α)時(shí),長(zhǎng)方形ABCD為正方形。
整理得:
bcosθ=csinθcosα+ccosθsinα,
cosθ(b-csinα)=csinθcosα,tanθ=
因?yàn)?°<α<90°,假設(shè)0<θ<-α,所以tanθ <, sinα< 因?yàn)?<≤1,所以0 所以0°<α<90°符合題目條件,故假設(shè)成立,結(jié)論得證。 定理(3):若一個(gè)鈍角三角形的其中一個(gè)銳角為45度,則此鈍角三角形存在外接正方形。 證明:由命題(二)可直接作此三角形的外接正方形,設(shè)三角形ABC,如圖5所示。 作法如下: (1)過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。 (2)過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線h。 (3)過(guò)C點(diǎn)作AD的平行線交直線h于點(diǎn)E。 以上就是我對(duì)一些簡(jiǎn)單圖形的外接正方形的思考和探索,希望能起到拋磚引玉的作用,讓更多的人研究并有所發(fā)現(xiàn)。