永磁同步電機(jī)的混沌模型及其控制器設(shè)計(jì)

吳鳳嬌，王衛(wèi)玉，商玉娟，劉晨晨，門成堯

（西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，陜西楊凌 712100）

0 引言

永磁同步電機(jī)（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）作為一種發(fā)展非常迅速的電機(jī)，越來越引起人們的廣泛關(guān)注。這與其小體積、輕便、高效率的優(yōu)點(diǎn)是分不開的，永磁材料和控制技術(shù)的迅速發(fā)展也促進(jìn)了PMSM 的應(yīng)用，因而研究PMSM 的特性具有很重要的意義。

非線性是產(chǎn)生混沌的必要條件，PMSM 的數(shù)學(xué)模型是一種典型的非線性系統(tǒng)，因此可以推測(cè)PMSM 中可能會(huì)產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)[1-2]，相關(guān)研究學(xué)者已經(jīng)對(duì)PMSM 的特性進(jìn)行了諸多研究，并取得了很多成果。例如，采用混沌分析的經(jīng)典分岔理論，張波等[3]對(duì)PMSM系統(tǒng)進(jìn)行了復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)分析，從理論上證明PMSM 強(qiáng)非線性系統(tǒng)在一定條件下會(huì)呈現(xiàn)出極限環(huán)和混沌吸引子等非常豐富的動(dòng)態(tài)行為。Jing[4]等對(duì)氣隙非均勻的PMSM 系統(tǒng)進(jìn)行了Hopf 分岔動(dòng)態(tài)行為研究。Li[5]等研究了永磁同步電機(jī)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，如Poincare 映射、Lyapunov 指數(shù)及容量維等。

永磁同步電機(jī)的混沌運(yùn)動(dòng)是有害的，應(yīng)該設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器予以消除。人們對(duì)于如何控制混沌開展了大量的研究，并已經(jīng)設(shè)計(jì)出許多控制方法，包括線性反饋控制方法、模糊控制方法、滑?？刂品椒ㄒ约爸鲃?dòng)控制方法等[6-10]。當(dāng)然對(duì)于不同的混沌系統(tǒng)，可以采用不同的方法進(jìn)行控制，每種方法也有其優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)該在實(shí)際應(yīng)用中進(jìn)行檢驗(yàn)。

筆者通過數(shù)學(xué)分析推導(dǎo)，設(shè)計(jì)方便且容易實(shí)現(xiàn)的線性反饋控制器，將永磁同步電機(jī)控制到期望的運(yùn)行點(diǎn)，從而消除系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象，使系統(tǒng)達(dá)到一穩(wěn)定狀態(tài)。

1 永磁同步電機(jī)的混沌數(shù)學(xué)模型

永磁同步電機(jī)的無量綱數(shù)學(xué)模型如下[4]：

為方便研究，取x1=id，x2=iq，x3=w，a=γ 和b=σ 將永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型（1）改寫為下式：

取a=20，b=5.46，做出系統(tǒng)的相軌跡圖如圖1所示，可以看出，系統(tǒng)含有混沌吸引子。

2 線性反饋控制器設(shè)計(jì)

2.1 線性反饋同步控制機(jī)制

定義如下的非線性混沌系統(tǒng)：

為對(duì)（3）式進(jìn)行控制，加上控制器后可得：

令u=x-x0，則受控系統(tǒng)為：

令X=x-x0，則式（5）可寫為：

其中：F=（f1，f2，…，fn）T，x0=（x01，x02，…，x0n）T，x=（x1，x2，…，xn）T，u=（u1，u2，…，un）T為N 維控制向量，設(shè)計(jì)的目標(biāo)就是通過控制線性反饋參數(shù)K 來實(shí)現(xiàn)將系統(tǒng)控制到穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)。

圖1 系統(tǒng)的相軌跡圖

2.2 受控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

由式（2）知系統(tǒng)加上控制器后的數(shù)學(xué)模型為

其中a=20，b=5.46，K1u1、K2u2、K3u3為加入的控制輸入，K1、K2、K3為控制參數(shù)。u1、u2、u3為：

將式（8）代入式（7）得：

根據(jù)文獻(xiàn)[11]，當(dāng)取控制參數(shù)K>max（λ1，λ2，λ3）時(shí)，可以將混沌系統(tǒng)通過線性反饋控制方法控制至穩(wěn)定狀態(tài)。

2.3 將系統(tǒng)控制到平衡點(diǎn)

固定控制參數(shù)K=18，在平衡點(diǎn)S（0，0，0）時(shí)系統(tǒng)（9）對(duì)應(yīng)的Jacobian矩陣為：

故特征方程為：

圖2 受控后x1時(shí)域圖

通過求解上式可得系統(tǒng)（9）在平衡點(diǎn)S 的特征根為：

λ1=-31.915 2，λ2=-10.544 8，λ3=-19.000 0。由于λ1、λ2、λ3均小于零，即受控系統(tǒng)（9）漸近穩(wěn)定并趨于平衡點(diǎn)S。

采用Matlab 數(shù)值模擬來驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性，利用線性反饋法控制系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的仿真結(jié)果如圖2～圖4所示，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡迅速被穩(wěn)定到了平衡點(diǎn)S（0，0，0）。

圖3 受控后x2時(shí)域圖

圖4 受控后x3時(shí)域圖

3 結(jié)論

首先給出了永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，通過相軌跡曲線得知系統(tǒng)在一定條件下存在混沌運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。然后利用線性反饋控制方法為永磁同步電機(jī)設(shè)計(jì)了相應(yīng)的線性反饋控制器，將系統(tǒng)從混沌態(tài)控制到穩(wěn)定狀態(tài)。并采用Matlab 數(shù)值仿真證實(shí)了該控制方法的可行性，仿真結(jié)果表明線性反饋控制方法用于控制該混沌系統(tǒng)的快速性和有效性，更好的控制方法有待更深入地研究。

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