高速鐵路測量中高斯平面坐標(biāo)與斜軸墨卡托平面坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換

田林亞，祖力比亞·阿布都熱西提，張勇，熱比亞·依馬爾

(河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210098)

近些年來，中國的高速鐵路建設(shè)得到了快速的發(fā)展。高速鐵路作為一種精密工程，對工程測量各個(gè)環(huán)節(jié)都提出了更高的要求。例如，根據(jù)《客運(yùn)專線無砟軌道鐵路工程測量技術(shù)暫行規(guī)定》的技術(shù)要求，高速鐵路測量的平面坐標(biāo)系應(yīng)采用獨(dú)立坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)滿足投影的長度變形不超過10 mm/km。對于大致呈東西走向的線路來說，如果采用高斯投影方法建立獨(dú)立坐標(biāo)系，就需要?jiǎng)澐侄鄠€(gè)投影帶進(jìn)行投影才能滿足上述要求，這樣就產(chǎn)生了多個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)系，產(chǎn)生了坐標(biāo)系不統(tǒng)一和鄰帶坐標(biāo)的換算等問題。如果采用斜軸墨卡托投影方法建立坐標(biāo)系，投影時(shí)將圓柱面相切于線路中心線附近，這樣既可以保證投影的長度變形值不大于10 mm/km，且可以獲得統(tǒng)一的坐標(biāo)系。本文主要研究高斯平面坐標(biāo)向斜軸墨卡托平面坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換模型，并結(jié)合實(shí)際工程數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算與分析。

1 由高斯平面坐標(biāo)計(jì)算斜軸墨卡托平面坐標(biāo)的模型

墨卡托投影是一種保角圓柱投影，它以圓柱作為投影面，將經(jīng)緯線先投影到圓柱面上，再將圓柱面展開成平面。圓柱面與地球相切，當(dāng)切線處于斜位的狀態(tài)下時(shí)便為斜軸墨卡托投影，如圖1所示。

圖1 斜軸墨卡托投影

采用斜軸墨卡托投影時(shí)，如果把地球視為橢球，計(jì)算過程將極其繁瑣與不便，在幾百千米的范圍內(nèi)把地球視為半徑相同的圓球是可行的，如果線路太長，則可以采用分段處理的方法。值得注意的是，在大范圍內(nèi)把地球看做圓球來處理所產(chǎn)生的誤差將是不容忽略的。

1.1 投影圓球體的選取

斜軸墨卡托投影中，投影圓球的定位應(yīng)滿足:參考圓球體的中心位于國家空間直角坐標(biāo)系的Z軸上;定向應(yīng)滿足參考圓球體三維坐標(biāo)系的Z軸與國家空間直角坐標(biāo)系的Z軸重合，X軸和Y軸分別與國家空間直角坐標(biāo)系的X軸和Y軸平行。

設(shè)線路中某個(gè)已知點(diǎn)在國家坐標(biāo)系中的高斯平面坐標(biāo)為(B，L)，由高斯投影反算公式(1)可計(jì)算該點(diǎn)在國家坐標(biāo)系中的大地坐標(biāo)(B，L)。

式中，l為經(jīng)差，Bf為垂足緯度，ηf、tf分別為按 Bf值計(jì)算的相應(yīng)量。

再根據(jù)式(2)，由該點(diǎn)的國家大地坐標(biāo)(B，L，H)計(jì)算其空間直角坐標(biāo)(X，Y，Z)。

現(xiàn)假設(shè)參考圓球體中心O'位于國家參考橢球中心O下方，如圖2所示，O'O的長度為S，那么線路上該點(diǎn)在以O(shè)'為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(X，Y，Z+S)。定義圓球的半徑為 R，R根據(jù)式(3)計(jì)算得到。

圖2 參考圓球體示意

根據(jù)式(3)可列出如下誤差方程式

式中，S0和 R0分別為 S和 R的初始值，R0

當(dāng)線路中有2個(gè)以上已知點(diǎn)時(shí)，可通過最小二乘法求得dS和dR，從而計(jì)算出S和R。

1.2 計(jì)算任意一點(diǎn)相對于參考圓球體的大地坐標(biāo)

因?yàn)榈厍騾⒖紙A球的定向、定位與地球參考橢球的定向、定位原理是一樣的，所以在計(jì)算任意一點(diǎn)位于參考圓球體上的大地坐標(biāo)(φ1，λ1，H1)時(shí)，可采用式(6)計(jì)算得到。

式中，φ1為緯度，λ1為經(jīng)度，H1為大地高。

1.3 計(jì)算任意一點(diǎn)相對于圓球體和斜軸的大地坐標(biāo)

如圖3所示，假設(shè)AB為線路走向上的兩點(diǎn)。首先在球面上建立以A點(diǎn)為極點(diǎn)、以AP為極軸的球面坐標(biāo)系，根據(jù)球面三角公式可推得式(7)，并可計(jì)算出線路上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)(θ，ρ)。

圖3 斜軸投影大地坐標(biāo)計(jì)算示意

其次，確定斜軸圓球。以過AB的大圓弧為中央子午線，則沿線任意一點(diǎn)各點(diǎn)在斜軸圓球上以A為極點(diǎn)、AB 為極軸的極坐標(biāo) θ'和 ρ'為

式中，θB為B點(diǎn)的 θ坐標(biāo)。

最后，計(jì)算任意一點(diǎn)在斜軸圓球上的大地坐標(biāo)。取極點(diǎn)A為工程獨(dú)立坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則極點(diǎn)A在斜軸圓球上的經(jīng)緯度為(0，0)。根據(jù)球面三角公式可得到由極坐標(biāo)計(jì)算大地坐標(biāo)的計(jì)算公式:

式中，(φ2，λ2)為所求點(diǎn)在斜軸圓球上的經(jīng)緯度。

1.4 參考圓球體的投影正算

投影正算就是根據(jù)投影條件將參考圓球面上的大地坐標(biāo)(φ2，λ2)換算成投影面上的平面坐標(biāo)(xm，ym)?；谛陛S圓球體的投影正算與高斯投影正算類似，等角投影的條件是

式中，r為平行圈半徑，M為卯酉圈半徑。當(dāng)投影球體為圓球時(shí)，其條件式可表達(dá)為

參考高斯投影正算公式，由于 xm是經(jīng)度差λ2的偶函數(shù)，ym是λ2的奇函數(shù)，可假設(shè)

其中，a0、a1、a2、a3…為只包含 φ2的函數(shù)，且 φ2、λ2應(yīng)化為弧度形式，對式(12)求偏導(dǎo)得

將式(12)、式(13)分別代入式(10)中，由于在起點(diǎn)處有λ2=0，則點(diǎn)(0，φ2)投影后的平面坐標(biāo)為(R·φ2，0)，即 xm=a0=R·φ2，因此解得各個(gè)系數(shù)為

式中，(φ2，λ2)為所求點(diǎn)在斜軸圓球上的經(jīng)緯度，R為圓球半徑。將上述系數(shù)代入式(11)，便可求得任意一點(diǎn)的斜軸墨卡托平面坐標(biāo)(xm，ym)。

2 實(shí)例計(jì)算與分析

如圖4所示，設(shè)某條高速鐵路線路長400 km，寬15 km，大致呈東西走向，首級平面控制網(wǎng)中的6個(gè)控制點(diǎn)采用GPS測量，并將測量成果轉(zhuǎn)換為北京54坐標(biāo)系中的平面坐標(biāo)，為了控制投影的長度變形值不大于10 mm/km，分成6個(gè)高斯投影帶進(jìn)行投影，其高斯平面坐標(biāo)及投影變形見表1。

圖4 線路及控制點(diǎn)略圖

表1 高斯平面坐標(biāo)及投影變形

從表1數(shù)據(jù)可以看出，將線路首級平面控制網(wǎng)分成6個(gè)投影帶進(jìn)行投影和平差計(jì)算，每個(gè)控制點(diǎn)到相應(yīng)投影帶中央子午線的投影長度變形都小于10 mm/km，滿足了有關(guān)高速鐵路測量規(guī)范的要求，但是分成6個(gè)投影帶分別進(jìn)行投影計(jì)算，就形成了6個(gè)獨(dú)立平面坐標(biāo)系，產(chǎn)生了坐標(biāo)系不統(tǒng)一的問題，在相鄰點(diǎn)的綜合使用過程中，不僅需要頻繁的換帶計(jì)算，還可能存在較大的投影變形。

如果采用斜軸墨卡托投影方法來建立平面坐標(biāo)系，并且取點(diǎn) ZX1為起點(diǎn)，取點(diǎn) ZX6為終點(diǎn)，取點(diǎn)ZX1和點(diǎn)ZX6所在圓弧為斜軸墨卡托的投影中線，根據(jù)本文探討的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法和流程，采用C號.NET編寫相應(yīng)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換計(jì)算程序，將表1中的高斯平面坐標(biāo)換算成斜軸墨卡托平面坐標(biāo)，結(jié)果見表2。

表2 斜軸墨卡托平面坐標(biāo)及投影變形

從表2的數(shù)據(jù)可以看出，斜軸墨卡托投影產(chǎn)生的長度變形遠(yuǎn)小于高斯投影產(chǎn)生的長度變形。ZX5距離投影中線的距離為12 km，投影變形最大，但是遠(yuǎn)小于10 mm/km。采用斜軸墨卡托投影，這6個(gè)控制點(diǎn)同屬一個(gè)坐標(biāo)系，坐標(biāo)系也得到了統(tǒng)一。

另外，對斜軸墨卡托投影進(jìn)行有關(guān)計(jì)算表明:當(dāng)線路長度為幾百千米時(shí)，為了使所有的投影變形小于10 mm/km，線路至投影中線的最大橫向距離應(yīng)小于25 km;如果線路長度達(dá)到幾千千米或者最大橫向距離超過25 km，應(yīng)該將線路分成幾段進(jìn)行投影，且相鄰?fù)队皫еg應(yīng)有適當(dāng)?shù)闹丿B區(qū)域。

3 結(jié)論

對于呈東西走向的高速鐵路，在建立平面坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)特別注意投影的長度變形問題。當(dāng)線路較長時(shí)，為了控制長度投影變形，可以采用高斯分帶投影，但也因此產(chǎn)生了坐標(biāo)系不統(tǒng)一問題，如果分帶過多，在控制點(diǎn)坐標(biāo)的使用中也帶來了坐標(biāo)換帶計(jì)算的麻煩。采用斜軸墨卡托投影，可有效地解決高斯分帶投影導(dǎo)致的一些問題。

本文對高斯平面坐標(biāo)向斜軸墨卡托平面坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換模型進(jìn)行了研究，詳細(xì)地闡述了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法及其流程。對某條長約400 km的高速鐵路測量數(shù)據(jù)，先采用高斯分帶投影的方法進(jìn)行控制點(diǎn)坐標(biāo)及投影變形的計(jì)算，認(rèn)為分6個(gè)帶投影可以滿足投影變形不大于10 mm/km的要求，但同時(shí)也產(chǎn)生了6個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)系。采用斜軸墨卡托投影和本文研究的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法，不僅顯著地減小了投影變形，也將6個(gè)高斯帶中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到1個(gè)斜軸墨卡托投影帶中，使6個(gè)控制點(diǎn)的坐標(biāo)系統(tǒng)得到了統(tǒng)一。計(jì)算、分析和實(shí)際應(yīng)用表明，本文研究的方法是正確的。

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