王競進(jìn)
小穎準(zhǔn)備用21元錢買筆和筆記本.已知每支筆3元,每本筆記本2元,她買了4本筆記本,那么她最多還可以買幾支筆?怎么解答這類問題呢?在這個問題中,隱含著買筆和筆記本所花的錢與準(zhǔn)備的錢之間具有不相等的數(shù)量關(guān)系.與方程類似,不等式是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間不等關(guān)系的有效模型.一元一次不等式是表示不等關(guān)系的最基本的工具,是學(xué)習(xí)其他相關(guān)數(shù)學(xué)知識的工具.學(xué)習(xí)時,應(yīng)關(guān)注以下幾個方面:
一、 正確理解基本概念
1. 不等式解與不等式解集的概念
能使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.如:x=3.5、5、6、10.2等大于3的實數(shù)都是不等式x-3>0的解;x=-1、0、2、3、3.5、-5、-6等小于4的實數(shù)都是x-4<0的解.一個含有未知數(shù)的不等式的解的全體叫做不等式的解集.因此,不等式的解集包含了不等式的所有解,解集中的任何一個數(shù)都是不等式的一個解.
例1 下列說法中正確的是( ).
A. x=2是不等式x+2>3的解 B. x=2是不等式x+2>3的唯一解
C. x=2不是不等式x+2>3的解 D. x=2是不等式x+2>3的解集
【解答】A.
【點評】弄清不等式的解及解集的區(qū)別,是解本題的關(guān)鍵.不等式的解可以有無數(shù)個,一般是某個范圍內(nèi)的所有數(shù).不等式中的未知數(shù)取解集中的任何一個值時,不等式都成立;不等式中的未知數(shù)取解集外的任何一個值時,不等式都不成立.
2. 一元一次不等式的概念
只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1,系數(shù)不等于0的不等式,叫做一元一次不等式.這個不等式必須同時滿足3個條件:(1) 只含有一個未知數(shù);(2) 含未知數(shù)的式子是整式;(3) 未知數(shù)的次數(shù)是1.這3個條件缺一不可.如:2x-(4x+1)>3、5y+2≤3(y-1),都是不等式,而x2-3x+2<0、y+■<2都不同時滿足上述的3個條件.反過來,如果(a-1)x+3>0是關(guān)于x的一元一次不等式,則a必須具備的條件是a-1≠0,即a≠1.
3. 一元一次不等式組的概念
小明要制作一個長方形的相片框架,這個框架的長為25 cm,面積不小于500 cm2,試確定這個長方形寬的長度范圍.在這個問題中具有兩個不等關(guān)系:長方形的相片框架的長總大于寬,其面積不小于500,因而可以得到兩個不等式:x<25、25x≥500,再聯(lián)立這兩個不等式,記作x<25,25x≥500,從而組成一個關(guān)于x的不等式組.像這樣,由幾個含有同一個未知數(shù)的一次不等式組成的不等式組叫做一元一次不等式組.根據(jù)概念,可以知道組成一個不等式組的條件有(1) 含有同一個未知數(shù),(2) 幾個不等式是一次不等式.如:2x-4<6,5(x-2)+3>-3x+1,2x+1<3(3-x),■(x-1)-1>x+■都是一元一次不等式組,而x2-4x<5,4(x-1)-3>-2x+1,■-1
4. 不等式組的解集概念
我們知道一個含有未知數(shù)的不等式的解的全體叫做這個不等式的解的集合,簡稱為這個不等式的解集,那么一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分,就稱為這個一元一次不等式組的解集.如x<3,x<1中兩個不等式解集的公共部分為x<1,則其解集為x<1;x>3,x>1中兩個不等式解集的公共部分為x>3,則其解集為x>3;x<3,x>1中兩個不等式解集的公共部分為1
二、 了解不等式解集的表示方法
1. 用不等式表示 一般地,一個含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解,它的解為某個范圍,這個范圍可以用一個具體的、簡單的不等式來表示.如:不等式x+3>-1的解集為x>-4;不等式2x+1<3的解集為x<1.
2. 用數(shù)軸來表示 用數(shù)軸可以直觀地表示出一個不等式的解集.表示時,必須注意不等式的類型.小于a則在數(shù)軸上表示a的點的左邊,大于a則在數(shù)軸上表示a的點的右邊,且表示a的點處是一個空心;如果是“小于或等于a”或“大于或等于a”時,則表示a的點處應(yīng)該是一個實心.
例3 在數(shù)軸上表示下列不等式的解集:
(1) x<3; (2) x≥3.
【解答】(1) 在數(shù)軸上表示x<3為: ;
(2) 在數(shù)軸上表示x≥3為: .
【點評】在數(shù)軸上表示不等式時,首先在數(shù)軸上找到表示不等號右邊數(shù)的點,再根據(jù)“小于向左畫、大于向右畫、無等號畫空心、有等號畫實心”用相應(yīng)的線在數(shù)軸上表示出不等式的解集.
三、 理解不等式的性質(zhì),掌握一元一次不等式的解法
不等式的性質(zhì)有兩個.不等式的性質(zhì)1:不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式,不等號的方向不變;不等式的性質(zhì)2:不等式的兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變;不等式的兩邊都乘(或除以)同一個負(fù)數(shù),不等號的方向改變.其中特別要注意的是:在不等式的兩邊都乘(或除以)同一個負(fù)數(shù)時,不等號的方向必須改變.
和一元一次方程的解法類似,解一元一次不等式的基本步驟是:(1) 去分母;(2) 去括號;(3) 移項;(4) 合并同類項;(5) 系數(shù)化為1.逐步將不等式轉(zhuǎn)化為x>a(x≥a)或x
四、 掌握解一元一次不等式組的一般步驟
解一元一次不等式組的一般步驟大致為:先分別求得不等式組中各個不等式的解集,再求出這幾個不等式解集的公共部分,從而確定不等式組的解集.
如:解不等式2x-4<6,5(x-2)+3>-3x+1,先分別求得不等式2x-4<6的解集為x<5,不等式5(x-2)+3>-3x+1的解集為x>1,再把它們在如圖所示的數(shù)軸上表示出來,因此,這個不等式組的解集為1 五、 正確理解題意,找出不等關(guān)系,列出一元一次不等式,解決實際問題 和列一元一次方程解決實際問題類似,在解答具有不等關(guān)系的實際問題時,往往先列出不等關(guān)系,再用含有未知數(shù)的代數(shù)式分別表示相關(guān)數(shù)量,再根據(jù)不等關(guān)系列出一元一次不等式,進(jìn)而解出不等式,寫出答案. 例4 某單位共有36位工作人員,為改善辦公設(shè)備,提高工作效率.單位準(zhǔn)備為每位工作人員配備一臺手提電腦. 現(xiàn)有A、B兩種型號的手提電腦供選擇.根據(jù)預(yù)算,共需資金145 000元.購買一臺A型電腦和兩臺B型電腦共需資金11 840元;購買兩臺A型電腦和一臺B型電腦共需資金12 040元. (1) 購買一臺A型電腦和一臺B型電腦所需的資金分別是多少元? (2) 問該單位最多能購買A型電腦多少臺? 【分析】本題中第(2)題,隱含著一個不等量關(guān)系:購買A、B兩種型號的手提電腦的費用和≤總資金.因此,可以建立關(guān)于所購買商品的價格為未知數(shù)的不等式解決問題. 【解答】(1) 設(shè)A型電腦x臺,B型電腦y臺,根據(jù)題意,列方程組,得: x+2y=11 840,2x+y=12 040.解得:x=4 080,y=3 880. 答:購買一臺A型電腦和一臺B型電腦所需的資金分別是4 080元和3 880元. (2) 設(shè)該單位能購買A型電腦a臺,根據(jù)題意,得: 4 080x+3 880(36-a)≤145 000,解得a≤26.6. 所以該單位最多能購買A型電腦26臺. 【點評】本題能夠融二元一次方程組與一元一次不等式的應(yīng)用于一體,考查同學(xué)們分析問題、解決問題的能力.解答這類問題的關(guān)鍵是理解題意,找到題目的等量關(guān)系和不等量關(guān)系分別列出方程組和不等式組求解.對于問題中出現(xiàn)的“至少”、“至多”、“不少于”等等,往往隱含著不等關(guān)系,需要建立不等式進(jìn)行解答.