富有趣味的二元一次方程組試題

顏士彬

近年來關于方程組的題目在緊扣教材的同時，進行了適度延伸，改變了呆板單一的模式，顯得新穎活潑，格調清新，令人耳目一新.我們在解答此類問題的同時，既提高了對數(shù)學知識的理解能力，鍛煉了思維能力，又可以得到美的享受，陶冶了情操.現(xiàn)作如下分類，供同學們在學習時參考.

一、 詩歌類

例1 周瑜壽類：

而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；

十比個位正小三，個位六倍與壽符.

哪位同學算得快，多少年壽屬周瑜？

【分析】詩的意思是“周瑜病逝時的年齡是一個大于30的兩位數(shù)，其十位數(shù)上的數(shù)字比個位上的數(shù)字小3，個位上的數(shù)字的6倍正好等于這個兩位數(shù)，求這個兩位數(shù)”.

解：設這個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字是x，個位上的數(shù)字為y，根據(jù)題意，得

x+3=y，6y=10x+y. 解得：x=3，y=6.

答：這個兩位數(shù)是36，即周瑜活到36歲時病逝.

例2 八戒吃仙果.

三種仙果紅紫白，八戒共吃十一對；

白果占紫三分一，紫果正是紅二倍.

三種仙果各多少？看誰算得快又對？

解：設紅果x只，紫果y只，則白果（22-x-y）只，根據(jù)題意，得

22-x-y=■y，y=2x.解得：x=6，y=12.

答：紅果6只，紫果12只，則白果4只.

下面兩個詩歌算題同學們能通過列方程組算出來嗎？

1. 敵軍和狗.

一隊敵軍一隊狗，兩隊并成一隊走，

腦袋共有八十個，卻有二百條腿走.

請君仔細算一算，多少敵軍多少狗？

2. 武大郎賣餅.

武大郎賣餅串滿街，甜咸炊餅銷得快；

甜三咸二兩厘一，咸四甜二兩厘二.

各買一張?zhí)鹣田?，武大郎餅價該怎賣？

二、 寓言故事類

例3 古代有這樣一個寓言故事：驢子和騾子一同走，它們馱著不同袋數(shù)的貨物，每袋貨物都是一樣重的.驢子抱怨負擔太重，騾子說：“你抱怨干嗎，如果你給我一袋，那我所負擔的就是你的兩倍；如果我給你一袋，我們才恰好馱的一樣多！”問驢子和騾子原來所馱貨物的袋數(shù)分別是多少？

解：設驢子原來所馱貨物的袋數(shù)是x，騾子原來所馱貨物的袋數(shù)是y.

由題意得2（x-1）=y+1，x+1=y-1.解得x=5，y=7.

答：驢子原來所馱貨物的袋數(shù)是5，騾子原來所馱貨物的袋數(shù)是7.

例4 《一千零一夜》中有這樣一段文字：有一群鴿子，其中有一部分在樹上歡歌，另一部分在地上覓食，樹上的一只鴿子對地上覓食的鴿子說：“若從你們中飛上來一只，則樹下的鴿子為整個鴿群的■，若從樹上飛下去一只，則樹上、樹下的鴿子就一樣多.”你知道樹上、樹下各有多少只鴿子嗎？

解：設樹上有x只鴿子，樹下有y只鴿子，由題意可列：y-1=■（x+y），x-1=y+1.整理得：2y-x=3，y-x=-2.解之可得x=7，y=5.

答：樹上原有7只鴿子，樹下原有5只鴿子.

三、 開放類

例5 寫出一個解為x=1，y=2的二元一次方程組 .

解：根據(jù)x=1，y=2逆向思考，代值反推，可知：x+y=1+2=3，x-y=1-2=-1.故解為x=1，y=2的二元一次方程組可以是x+y=3，x-y=-1.

【點評】值得注意的是，本題容易想到xy=1×2=2，構造出方程x+y=3，xy=2.但它并不是一個二元一次方程組，從而導致錯誤答案；同時本題的答案眾多，結論開放，給了我們很多思考的空間，對培養(yǎng)思維的發(fā)散性、嚴密性、批判性大有裨益.

例6 試著編一道能用二元一次方程組解答的應用題，并使得這個方程組的解是19，20.

【分析】先列出一個解為19，20的方程組，比如x+y=39，4x+8y=236再根據(jù)方程組結合實際編一道應用題，只要合理符合要求即可.

【解答】某蔬菜公司收購到某種蔬菜236噸，準備加工后上市銷售.該公司加工該種蔬菜的能力是：每天可以精加工4噸或粗加工8噸.現(xiàn)計劃用39天正好完成加工任務，則該公司應安排幾天精加工，幾天粗加工？

解：設安排x天精加工，y天粗加工.

根據(jù)題意，得x+y=39，4x+8y=236.解之得x=19，y=20.

答：安排19天精加工，20天粗加工.

【點評】本題是開放題，注意所編應用題的合理性.