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    靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想化解疑難問題

    2013-05-27 07:32:04諸建剛
    關(guān)鍵詞:代數(shù)式卡片本題

    諸建剛

    數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)的認(rèn)識,它寓于數(shù)學(xué)知識之中,但比數(shù)學(xué)知識本身更為重要、更為寶貴.我們的學(xué)習(xí)不單純是解題,而應(yīng)把數(shù)學(xué)思想的積累、培養(yǎng)與數(shù)學(xué)知識的掌握融為一體,用我們高品質(zhì)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué). 這一章蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法,下面具體談?wù)?

    例1 計算:2 0123-2 011×2 012×2 013.

    【分析】直接計算顯然較繁,注意到原式中的各數(shù)的聯(lián)系,可恰當(dāng)?shù)乩米帜复鏀?shù),把數(shù)的計算轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的化簡,可使問題解決得更快更巧妙.

    解:設(shè)2 012=a,則

    原式=a3-(a-1)×a×(a+1)

    =a3-a(a2-1)=a3-a3+a=2 012.

    例2 已知M=2 012×2 013-1,N=2 0122-2 012×2 013+2 0132,試比較M、N的大小.

    【分析】可設(shè)2 012=a,那么M=a(a+1)-1=a2+a-1,N=a2-a(a+1)+(a+1)2=a2+a+1,因為M-N=(a2+a-1)-(a2+a+1)=-2,所以M

    【點(diǎn)評】本題先將數(shù)的計算轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的化簡,再將比較兩數(shù)大小問題轉(zhuǎn)化為判斷這兩數(shù)差的符號問題,解題過程運(yùn)用了兩次轉(zhuǎn)化.

    例3 已知代數(shù)式x2+5x+1的值等于9,求代數(shù)式2x2+10x+7的值.

    【分析】從已知條件可得x2+5x+1=9,從而得x2+5x=8,由同學(xué)們現(xiàn)在的知識還不能求出具體的x的值,所以應(yīng)思考其他的解題方法.提部分公因式得2x2+10x=2(x2+5x),所以可將x2+5x作為一個整體代入2(x2+5x)中.

    解:由已知,得x2+5x+1=9,所以x2+5x=8,所以2x2+10x+7=2(x2+5x)+7=2×8+7=23.

    【點(diǎn)評】通常求代數(shù)式2x2+10x+7的值時,會將x的值代入計算求得,但本題以上解法把2x2+10x看作一個整體,直接求出這個整體的值,繞過“用x代入求2x2+10x的值”的細(xì)節(jié),顯得靈活、巧妙、直接、“大氣”,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的“整體思想”.

    例4 分解因式:(m+n)2-6(m+n)+9.

    【分析】本題分解因式時,如把括號展開整理后再分解顯然很麻煩,但若把(m+n)看成一個整體,則此多項式即為關(guān)于(m+n)的二次三項式,恰好能用完全平方公式分解.

    解:原式=[(m+n)-3]2=(m+n-3)2.

    【點(diǎn)評】運(yùn)用整體思想可使解題思路清晰、步驟簡捷、解法簡便.

    【說明】事實上,本章能突出體現(xiàn)“整體思想”之處還有很多,如平方差公式和完全平方公式的認(rèn)識和運(yùn)用.乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2、(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2中的字母都可以看作某個整體,這個整體可以是一個單項式、一個多項式,即可以將公式中的字母換元成單項式或多項式,因此圍繞整體換元,可對公式進(jìn)行下列幾方面的變式運(yùn)用:變化符號、變化字母 、變化系數(shù)、變化指數(shù)、變化項數(shù)等.

    例5 已知a+b=4,ab=1,求代數(shù)式(a2+1)(b2+1)的值.

    【分析】同學(xué)們還不具備“由已知條件求出a,b的值,再代入(a2+1)(b2+1)計算”的知識,即便將來掌握了,用此法解決本問題也較困難,可考慮將(a2+1)(b2+1)變形,用a+b和ab來表示,然后整體代入求值.

    解:(a2+1)(b2+1)

    =a2b2+a2+b2+1

    =(ab)2+(a+b)2-2ab+1.

    把a(bǔ)+b=4,ab=1整體代入,可得原式=12+42-2×1+1=16.

    例6 知x3+x2+x+1=0,求x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1的值.

    【分析】由x3+x2+x+1=0,因此我們要利用x3+x2+x+1這個整體,在所求代數(shù)式x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1中構(gòu)造若干個這樣的整體,將0代入這些整體,從而計算出x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1的值.

    解: x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1

    =x2009(x3+x2+x+1)+x2005(x3+x2+x+1)+…+x(x3+x2+x+1)+1

    =1.

    【說明】我們在解決數(shù)學(xué)問題時,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化,這叫換元法.換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化,變得容易處理.換元法又稱輔助元素法、變量代換法.通過引進(jìn)新的變量,可以把分散的條件聯(lián)系起來,隱含的條件顯露出來,或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來,或者變?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計算和推證簡化.

    例7 若多項式(x2+mx+n)(x2-3x+4)展開后不含x3項和x2項,試求m,n的值.

    【分析】要使多項式(x2+mx+n)(x2-3x+4)展開后不含x3項和x2項,必須使得展開合并后x3項和x2項的系數(shù)為0.

    解:(x2+mx+n)(x2-3x+4)=x4+(m-3)x3+(n-3m+4)x2+(4m-3n)x+4n,因為展開后不含x3項和x2項,所以有m-3=0且n-3m+4=0,解得m=3,n=5.

    【點(diǎn)評】本題先將等式左邊按照多項式乘多項式法則展開,然后利用“對應(yīng)思想”, 比較等式兩邊次數(shù)相同項的系數(shù),利用這些項系數(shù)為0,實現(xiàn)不含這些項,從而構(gòu)造出方程求解.需要提醒的是,題目出現(xiàn)了3個字母,其中m,n應(yīng)視作多項式的項的系數(shù)的一部分,而將x視作多項式的項的字母.

    例8 若x2-px+16是完全平方式,則p=_______;若a2-8a+k是完全平方式,則k=_______.

    【分析】由完全平方公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)知,與p相關(guān)的乘積項可表示為±8x,與k相關(guān)的平方項可表示為16,利用“對應(yīng)思想”得-px=±8x,k=16,通過方程得p=±8.

    例9 如圖,正方形卡片A類、B類和長方形卡片C類各若干張,如果要拼一個長為a+3b、寬為a+b的大長方形,則需要C類卡片_______張.

    【分析】由圖可知每類卡片中一張卡片的面積.由于三類卡片的面積表達(dá)式不同,因此可計算出長為(a+3b)、寬為(a+b)的大長方形的面積,然后根據(jù)結(jié)果中的代數(shù)式確定所需C類卡片的張數(shù).

    解:由圖可知,一張A類卡片的面積是a2,一張B類卡片的面積是b2,一張C類卡片的面積是ab,因為(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2,所以需要C類卡片4張.

    【點(diǎn)評】本題用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題,一方面利用整式乘法得出等式右邊為a2+4ab+3b2,另一方面結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)a2+4ab+3b2實際上是幾個長方形面積的和,利用拼圖前后面積相等得出結(jié)論.由于條件限制,本題解法只關(guān)注了數(shù)量關(guān)系,忽視了位置關(guān)系,即雖然面積數(shù)符合題目要求,但能否真的能拼成一個長方形呢?就需要同學(xué)們動手拼一拼了.

    例10 計算(a-1)(a99+a98+a97+…+a2+a+1)=________.

    【分析】遇到這樣的問題,一下難以入手, 我們可以先從簡單的情況入手,分別計算下列各式的值:

    (a-1)(a+1)=______;

    (a-1)(a2+a+1)=______;

    (a-1)(a3+a2+a+1)=______;

    ……

    由此我們可以得到(a-1)(a99+a98+a97+…+a2+a+1)=_______.

    解:由特殊情況探索我們可以猜想得(a-1)(a99+a98+a97+…+a2+a+1)=a100-1.

    【點(diǎn)評】解決本問題時,我們從特殊情況出發(fā),從特殊情況發(fā)現(xiàn)結(jié)論從而猜想出一般結(jié)論,這是數(shù)學(xué)上常用的歸納法,屬于由特殊到一般的思想方法.限于初中生所掌握的知識,許多問題還不能最終證明結(jié)論的正確性,但這種由許多特殊情況歸納出一般結(jié)論的思想方法,是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)探索和發(fā)現(xiàn)的有力工具,能為我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來無窮樂趣.

    【說明】以上各例涉及了本章主要的數(shù)學(xué)思想方法, 同學(xué)們在學(xué)習(xí)中要不斷領(lǐng)悟和加深對它們的理解, 用我們睿智的眼光去發(fā)現(xiàn)許多問題背后深藏著的數(shù)學(xué)思想,用我們的自覺行為去應(yīng)用它們,使我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有意義.

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