靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想化解疑難問題

諸建剛

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)的認(rèn)識，它寓于數(shù)學(xué)知識之中，但比數(shù)學(xué)知識本身更為重要、更為寶貴.我們的學(xué)習(xí)不單純是解題，而應(yīng)把數(shù)學(xué)思想的積累、培養(yǎng)與數(shù)學(xué)知識的掌握融為一體，用我們高品質(zhì)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué). 這一章蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，下面具體談?wù)?

例1 計算：2 0123-2 011×2 012×2 013.

【分析】直接計算顯然較繁，注意到原式中的各數(shù)的聯(lián)系，可恰當(dāng)?shù)乩米帜复鏀?shù)，把數(shù)的計算轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的化簡，可使問題解決得更快更巧妙.

解：設(shè)2 012=a，則

原式=a3-（a-1）×a×（a+1）

=a3-a（a2-1）=a3-a3+a=2 012.

例2 已知M=2 012×2 013-1，N=2 0122-2 012×2 013+2 0132，試比較M、N的大小.

【分析】可設(shè)2 012=a，那么M=a（a+1）-1=a2+a-1，N=a2-a（a+1）+（a+1）2=a2+a+1，因為M-N=（a2+a-1）-（a2+a+1）=-2，所以M

【點(diǎn)評】本題先將數(shù)的計算轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的化簡，再將比較兩數(shù)大小問題轉(zhuǎn)化為判斷這兩數(shù)差的符號問題，解題過程運(yùn)用了兩次轉(zhuǎn)化.

例3 已知代數(shù)式x2+5x+1的值等于9，求代數(shù)式2x2+10x+7的值.

【分析】從已知條件可得x2+5x+1=9，從而得x2+5x=8，由同學(xué)們現(xiàn)在的知識還不能求出具體的x的值，所以應(yīng)思考其他的解題方法.提部分公因式得2x2+10x=2（x2+5x），所以可將x2+5x作為一個整體代入2（x2+5x）中.

解：由已知，得x2+5x+1=9，所以x2+5x=8，所以2x2+10x+7=2（x2+5x）+7=2×8+7=23.

【點(diǎn)評】通常求代數(shù)式2x2+10x+7的值時，會將x的值代入計算求得，但本題以上解法把2x2+10x看作一個整體，直接求出這個整體的值，繞過“用x代入求2x2+10x的值”的細(xì)節(jié)，顯得靈活、巧妙、直接、“大氣”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的“整體思想”.

例4 分解因式：（m+n）2-6（m+n）+9.

【分析】本題分解因式時，如把括號展開整理后再分解顯然很麻煩，但若把（m+n）看成一個整體，則此多項式即為關(guān)于（m+n）的二次三項式，恰好能用完全平方公式分解.

解：原式=[（m+n）-3]2=（m+n-3）2.

【點(diǎn)評】運(yùn)用整體思想可使解題思路清晰、步驟簡捷、解法簡便.

【說明】事實上，本章能突出體現(xiàn)“整體思想”之處還有很多，如平方差公式和完全平方公式的認(rèn)識和運(yùn)用.乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2、（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2中的字母都可以看作某個整體，這個整體可以是一個單項式、一個多項式，即可以將公式中的字母換元成單項式或多項式，因此圍繞整體換元，可對公式進(jìn)行下列幾方面的變式運(yùn)用：變化符號、變化字母 、變化系數(shù)、變化指數(shù)、變化項數(shù)等.

例5 已知a+b=4，ab=1，求代數(shù)式（a2+1）（b2+1）的值.

【分析】同學(xué)們還不具備“由已知條件求出a，b的值，再代入（a2+1）（b2+1）計算”的知識，即便將來掌握了，用此法解決本問題也較困難，可考慮將（a2+1）（b2+1）變形，用a+b和ab來表示，然后整體代入求值.

解：（a2+1）（b2+1）

=a2b2+a2+b2+1

=（ab）2+（a+b）2-2ab+1.

把a(bǔ)+b=4，ab=1整體代入，可得原式=12+42-2×1+1=16.

例6 知x3+x2+x+1=0，求x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1的值.

【分析】由x3+x2+x+1=0，因此我們要利用x3+x2+x+1這個整體，在所求代數(shù)式x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1中構(gòu)造若干個這樣的整體，將0代入這些整體，從而計算出x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1的值.

解： x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1

=x2009（x3+x2+x+1）+x2005（x3+x2+x+1）+…+x（x3+x2+x+1）+1

=1.

【說明】我們在解決數(shù)學(xué)問題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法.換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理.換元法又稱輔助元素法、變量代換法.通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來，或者變?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計算和推證簡化.

例7 若多項式（x2+mx+n）（x2-3x+4）展開后不含x3項和x2項，試求m，n的值.

【分析】要使多項式（x2+mx+n）（x2-3x+4）展開后不含x3項和x2項，必須使得展開合并后x3項和x2項的系數(shù)為0.

解：（x2+mx+n）（x2-3x+4）=x4+（m-3）x3+（n-3m+4）x2+（4m-3n）x+4n，因為展開后不含x3項和x2項，所以有m-3=0且n-3m+4=0，解得m=3，n=5.

【點(diǎn)評】本題先將等式左邊按照多項式乘多項式法則展開，然后利用“對應(yīng)思想”， 比較等式兩邊次數(shù)相同項的系數(shù)，利用這些項系數(shù)為0，實現(xiàn)不含這些項，從而構(gòu)造出方程求解.需要提醒的是，題目出現(xiàn)了3個字母，其中m，n應(yīng)視作多項式的項的系數(shù)的一部分，而將x視作多項式的項的字母.

例8 若x2-px+16是完全平方式，則p=_______；若a2-8a+k是完全平方式，則k=_______.

【分析】由完全平方公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)知，與p相關(guān)的乘積項可表示為±8x，與k相關(guān)的平方項可表示為16，利用“對應(yīng)思想”得-px=±8x，k=16，通過方程得p=±8.

例9 如圖，正方形卡片A類、B類和長方形卡片C類各若干張，如果要拼一個長為a+3b、寬為a+b的大長方形，則需要C類卡片_______張.

【分析】由圖可知每類卡片中一張卡片的面積.由于三類卡片的面積表達(dá)式不同，因此可計算出長為（a+3b）、寬為（a+b）的大長方形的面積，然后根據(jù)結(jié)果中的代數(shù)式確定所需C類卡片的張數(shù).

解：由圖可知，一張A類卡片的面積是a2，一張B類卡片的面積是b2，一張C類卡片的面積是ab，因為（a+3b）（a+b）=a2+4ab+3b2，所以需要C類卡片4張.

【點(diǎn)評】本題用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，一方面利用整式乘法得出等式右邊為a2+4ab+3b2，另一方面結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)a2+4ab+3b2實際上是幾個長方形面積的和，利用拼圖前后面積相等得出結(jié)論.由于條件限制，本題解法只關(guān)注了數(shù)量關(guān)系，忽視了位置關(guān)系，即雖然面積數(shù)符合題目要求，但能否真的能拼成一個長方形呢？就需要同學(xué)們動手拼一拼了.

例10 計算（a-1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）=________.

【分析】遇到這樣的問題，一下難以入手， 我們可以先從簡單的情況入手，分別計算下列各式的值：

（a-1）（a+1）=______；

（a-1）（a2+a+1）=______；

（a-1）（a3+a2+a+1）=______；

……

由此我們可以得到（a-1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）=_______.

解：由特殊情況探索我們可以猜想得（a-1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）=a100-1.

【點(diǎn)評】解決本問題時，我們從特殊情況出發(fā)，從特殊情況發(fā)現(xiàn)結(jié)論從而猜想出一般結(jié)論，這是數(shù)學(xué)上常用的歸納法，屬于由特殊到一般的思想方法.限于初中生所掌握的知識，許多問題還不能最終證明結(jié)論的正確性，但這種由許多特殊情況歸納出一般結(jié)論的思想方法，是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)探索和發(fā)現(xiàn)的有力工具，能為我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來無窮樂趣.

【說明】以上各例涉及了本章主要的數(shù)學(xué)思想方法， 同學(xué)們在學(xué)習(xí)中要不斷領(lǐng)悟和加深對它們的理解， 用我們睿智的眼光去發(fā)現(xiàn)許多問題背后深藏著的數(shù)學(xué)思想，用我們的自覺行為去應(yīng)用它們，使我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有意義.