“冪的運(yùn)算”中常見錯(cuò)誤與分析

馬恒平

冪的運(yùn)算法則是在有理數(shù)的基礎(chǔ)上討論的，它既有對數(shù)的通性的概括，又有從數(shù)到式的抽象，法則中的字母既可以代表具體的數(shù)，也可以是代數(shù)式，這對同學(xué)們來說比較抽象，難以理解，對法則往往會(huì)記錯(cuò)、混淆而產(chǎn)生錯(cuò)誤.現(xiàn)將常見錯(cuò)誤歸納剖析如下，供同學(xué)們參考.

一、 忽視冪指數(shù)“1”

例1 計(jì)算：x3·x2·x.

錯(cuò)解 x3·x2·x=x3+2+0=x5.

剖析 誤認(rèn)為x的指數(shù)為0，實(shí)際上，單獨(dú)一個(gè)字母的指數(shù)為1，只是省略沒有寫.

正解 x3·x2·x=x3+2+1=x6.

二、 混淆同底數(shù)冪的乘法與合并同類項(xiàng)

例2 計(jì)算：① x2·x2；② x2+x2.

錯(cuò)解 ① x2·x2=2x4；② x2+x2=2x4.

剖析 同底數(shù)冪的乘法法則是：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；而合并同類項(xiàng)法則是：字母及字母的指數(shù)不變，只把系數(shù)相加減.

正解 ① x2·x2=x2+2=x4；② x2+x2=（1+1）x2=2x2.

三、 冪乘誤為指乘

例3 計(jì)算：x4·x5.

錯(cuò)解 x4·x5=x4×5=x20.

剖析 把冪x4與x5的乘法運(yùn)算符號(hào)用到指數(shù)4與5的運(yùn)算上而造成錯(cuò)解.

正解 x4·x5=x4+5=x9.

四、 底數(shù)互異時(shí)符號(hào)錯(cuò)

例4 計(jì)算：① -x4·（-x）2；② （x-y）2·（y-x）3.

錯(cuò)解 ① -x4·（-x）2=（-x）6=x6；

② （x-y）2·（y-x）3=（x-y）2·（x-y）3=（x-y）5.

剖析 錯(cuò)誤原因是把不同底數(shù)化為同底數(shù)時(shí)，漏掉了底數(shù)之中的負(fù)號(hào)或?qū)⑹阶拥姆?hào)錯(cuò)當(dāng)成底數(shù)符號(hào).

正解 ① -x4·（-x）2=-x4·x2=-x6；

② （x-y）2·（y-x）3=（y-x）2·（y-x）3=（y-x）5.

五、 積的乘方漏因式

例5 計(jì)算：（a2b3）4.

錯(cuò)解 （a2b3）4=a2b3×4=a2b12.

剖析 積的乘方應(yīng)該是將積中每一個(gè)因式分別乘方，而不是只將最后一個(gè)因式乘方.

正解 （a2b3）4=（a2）4·（b3）4=a2×4b3×4=a8b12.

六、 混淆冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法

例6 計(jì)算：（x3）2.

錯(cuò)解 （x3）2=x3+2=x5.

剖析 冪的乘方法則是底數(shù)不變，指數(shù)相乘，而不是相加.

正解 （x3）2=x3×2=x6.

七、 半途而廢，算不徹底

例7 計(jì)算：-■2012×3■2012.

錯(cuò)解 -■2012×3■2012=-■2012×■2012.

剖析 由于沒有注意到逆向使用公式，運(yùn)算只好中途停止，因此沒有得出最后簡捷的結(jié)果.

正解 -■2012×3■2012=-■2012×■2012=-■×■2012=（-1）2012=1.