對(duì)素?cái)?shù)分布趨勢(shì)的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)

摘 要：傳統(tǒng)的觀念認(rèn)為素?cái)?shù)在整個(gè)自然數(shù)域的分布趨勢(shì)為：“在自然數(shù)數(shù)列不斷增大中，素?cái)?shù)在其分布將越來越稀疏?！比欢?，在對(duì)素?cái)?shù)分布趨勢(shì)的教學(xué)研究中發(fā)現(xiàn)：將自然數(shù)列中的素?cái)?shù)按照某一規(guī)律重新排隊(duì)，得到的素?cái)?shù)數(shù)列卻是一個(gè)“無窮遞增數(shù)列”，它絲毫不受“越來越稀疏”的影響。當(dāng)自然數(shù)n趨向于無窮大時(shí)，自然數(shù)增大2倍，素?cái)?shù)也同時(shí)增大2倍。將素?cái)?shù)數(shù)列無窮遞增的現(xiàn)象總結(jié)為“李君池素?cái)?shù)定理”?！袄罹厮?cái)?shù)定理”的“遞增”思想徹底改變了“稀疏”這一傳統(tǒng)觀念的看法。

關(guān)鍵詞：素?cái)?shù)分布；素?cái)?shù)數(shù)列；無窮遞增；“李君池素?cái)?shù)定理”

一、對(duì)傳統(tǒng)素?cái)?shù)分布趨勢(shì)的思考

在進(jìn)行素?cái)?shù)的教學(xué)中，有一個(gè)繞不開的話題，就是：素?cái)?shù)在自然數(shù)中的分布問題。素?cái)?shù)在自然數(shù)中的分布情況究竟怎樣，雖然相對(duì)于中學(xué)生來說，難度是大了一些。但是，我們一不能遇到難題就繞路而走；二也不能由此而向?qū)W生傳授錯(cuò)誤的內(nèi)容；三更不能因?yàn)槭请y題而封閉了學(xué)生積極開放的思維、思路。我們提倡的方法是：將難題提出來，和學(xué)生們共同探討，有時(shí)不一定會(huì)有結(jié)果，但有時(shí)就會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)，甚至有時(shí)會(huì)有意想不到的收獲。本文的內(nèi)容就是在輔導(dǎo)學(xué)生的過程中所得到的結(jié)論和結(jié)果。這個(gè)結(jié)論打破了人們傳統(tǒng)的思維定勢(shì)，把人們的思維引向了一個(gè)全新的天

地，它對(duì)于學(xué)生以及數(shù)學(xué)愛好者在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中、在解某些數(shù)論難題中都會(huì)有著極大的幫助。

幾個(gè)世紀(jì)以來，人們?cè)诜础八財(cái)?shù)表”時(shí)，從素?cái)?shù)表中看到的是這樣一些數(shù)據(jù)：在1到100中間有25個(gè)素?cái)?shù)，在1到1000中間有168個(gè)素?cái)?shù)，在1000到2000中間有135個(gè)素?cái)?shù)，在2000到3000中間有127個(gè)素?cái)?shù)，在3000到4000中間有120個(gè)素?cái)?shù)，在4000到5000中間有119個(gè)素?cái)?shù)，在5000到10000中間有560個(gè)素?cái)?shù)……

于是，人們得出的結(jié)論是：素?cái)?shù)在整個(gè)自然數(shù)域的分布趨勢(shì)為：“在自然數(shù)數(shù)列不斷增大中，素?cái)?shù)在其分布將越來越稀疏，甚至?xí)霈F(xiàn)兩相鄰素?cái)?shù)相隔數(shù)十、數(shù)百、數(shù)千、數(shù)萬、數(shù)億…個(gè)合數(shù)數(shù)位的各種情況，即存在兩相鄰素?cái)?shù)相隔任意大的各種情況?！遍L期以來，這種“素?cái)?shù)分布越往上越稀少”的觀念禁閉了人們的頭腦，使得人們?cè)跀?shù)論研究方面多年來沒有大的突破，同時(shí)，也由于素?cái)?shù)分布“越來越稀”的“現(xiàn)象”，成了“哥猜、孿猜”等素論問題破解道路上的攔路虎，使得“哥猜、孿猜”這一類的素論問題至今沒能徹底解決。因此，這一傳統(tǒng)的思維必須來個(gè)徹底地更新。

素?cái)?shù)分布真的是越往上越稀少嗎？對(duì)于同樣是“素?cái)?shù)在整個(gè)自然數(shù)域的分布趨勢(shì)”問題，如果我們換一種思路來考慮問題，將會(huì)得出完全相反的結(jié)論。例如，我們將所有的素?cái)?shù)集合按照某種規(guī)律重新排隊(duì)，那種“素?cái)?shù)分布越來越稀疏”的思維、觀念或許就會(huì)發(fā)生根本性的變化。

二、建一個(gè)無窮遞增的素?cái)?shù)數(shù)列

如何建立一個(gè)“無窮遞增的素?cái)?shù)數(shù)列”？不同的人有不同的方法，但如何證明自己建立的“數(shù)列”，卻令人望而卻步，例如：對(duì)上一節(jié)中建立的“無窮遞增的素?cái)?shù)數(shù)列”，就讓人無從下手。為了使自己建立的“數(shù)列”能夠得以證明，在建立之初就必須考慮好要有可以證明的方法。

本文所建立的“無窮遞增素?cái)?shù)數(shù)列”，首先要借用的工具還是“自然數(shù)圓形排列圖”，因?yàn)閯?chuàng)建這個(gè)“數(shù)列”的靈感同樣是由“自然數(shù)圓形排列圖”得到的，是建立在“自然數(shù)圓形排列圖”的基礎(chǔ)之上的。（關(guān)于“自然數(shù)圓形排列圖”內(nèi)容參見《世界上第一個(gè)求素?cái)?shù)公式》一文）

我們把“自然數(shù)圓形排列圖”前幾圈中的素?cái)?shù)找出來，排成一個(gè)數(shù)列：在這個(gè)排列圖的第一圈中有2個(gè)素?cái)?shù)，第二圈中有2個(gè)，第三圈中有4個(gè)，第四圈中有6個(gè)，第五圈中有9個(gè)，第六圈中有19個(gè)，第七圈中有33個(gè)，第八圈中有59個(gè)，第九圈中有107個(gè)，第十圈中有197個(gè)，第十一圈中有362個(gè)，第十二圈中有669個(gè)素?cái)?shù)，第十三圈中有1256個(gè)，第十四圈中有2326個(gè)，第十五圈中有4388個(gè)，第十六圈中有8265個(gè)，第十七圈中有15631個(gè)，第十八圈中有29611個(gè)，第十九圈中有56322個(gè)，第二十圈中有107281個(gè)，第二十一圈中有204953個(gè)，第二十二圈中有392247個(gè)，第二十三圈中有751912個(gè)…。當(dāng)然，如果我們繼續(xù)努力，還可以繼續(xù)統(tǒng)計(jì)下去。我們先將統(tǒng)計(jì)的結(jié)果總結(jié)如下：

名詞“李君池素?cái)?shù)數(shù)列”。（自我命名）

為了不失一般性，我們可以將“定理1”整理如下：

定理2：“李君池素?cái)?shù)定理”。（自我命名）

設(shè)n為大于2的自然數(shù)，用？準(zhǔn)（n→2n）表示n→2n之間的所有素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)；用？準(zhǔn)（2n→4n）表示2n→4n之間的所有素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)；當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，有■■=2，即當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，自然數(shù)的個(gè)數(shù)擴(kuò)大2倍，其中素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)也一定擴(kuò)大2倍。

這一定理，我們稱之為“李君池素?cái)?shù)定理（即素?cái)?shù)的倍比關(guān)系定理）”。

這一定理是由定理1推廣得到的。在由“自然數(shù)圈”建立的“無窮遞增素?cái)?shù)數(shù)列”中，當(dāng)圈數(shù)f趨向于無窮大時(shí)，后一圈中素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)與前一圈中素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的比值等于2。同樣道理，設(shè)n是任意自然數(shù)，當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，2n中素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)與n中素?cái)?shù)個(gè)數(shù)之比，其比值也一定等于2。

“李君池素?cái)?shù)定理”定理告訴我們：自然數(shù)中的素?cái)?shù)不僅是無窮的，而且還按照一定的規(guī)律無窮遞增的。這個(gè)定理的產(chǎn)生，是對(duì)傳統(tǒng)“稀疏”觀念的一次革命性的轉(zhuǎn)變，它對(duì)于解決許多較為難以解決的數(shù)論難題將有著極大的幫助。

四、對(duì)傳統(tǒng)觀念的剖析

我們的分析還是要從“自然數(shù)圈”說起。在自然數(shù)圈中，前十四圈中是不存在“兩相鄰素?cái)?shù)相隔數(shù)十個(gè)合數(shù)數(shù)位的情況”的，而能夠出現(xiàn)這種情況的，一定要比第十四圈要大得多；前二十圈中是不存在“兩相鄰素?cái)?shù)相隔數(shù)百個(gè)合數(shù)數(shù)位的情況”的，能夠出現(xiàn)這種情況的，也一定要比第二十圈要大得多；出現(xiàn)“兩相鄰素?cái)?shù)相隔數(shù)千、數(shù)萬、數(shù)億……個(gè)合數(shù)數(shù)位”的情況，一定是在非常大非常大的素?cái)?shù)圈中。前面我們已經(jīng)知道，第十四圈中有2326個(gè)素?cái)?shù)，如果是在第十四圈中出現(xiàn)了“兩相鄰素?cái)?shù)相隔數(shù)十個(gè)合數(shù)數(shù)位的情況”，也一定是隱藏在這2326個(gè)素?cái)?shù)之中，絲毫不會(huì)減少素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的出現(xiàn)；如果是出現(xiàn)在第十五圈、第十六圈……第一百圈中，同樣絲毫不會(huì)減少本圈中素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的出現(xiàn)。

“李君池素?cái)?shù)定理”定理告訴我們：自然數(shù)中的素?cái)?shù)不僅是無窮的，而且還按照一定的規(guī)律無窮遞增的。所以，“兩相鄰素?cái)?shù)相隔數(shù)十個(gè)合數(shù)數(shù)位的情況”，無論是出現(xiàn)在哪一個(gè)自然數(shù)圈中，都絲毫不會(huì)減少這一圈中素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)。同樣的道理，“兩相鄰素?cái)?shù)相隔任意大的各種情況”都是隱藏在各個(gè)不同的自然數(shù)圈中，即使出現(xiàn)了在一個(gè)自然數(shù)圈中“兩相鄰素?cái)?shù)相隔一百個(gè)、一千個(gè)、一萬個(gè)、一億個(gè)……”這種情況，它也絲毫也不會(huì)減少這一圈中素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，因?yàn)樽匀粩?shù)圈中素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是“無窮遞增”的。有人會(huì)說，如果上述情況出現(xiàn)在兩個(gè)自然數(shù)圈中，也就是橫跨兩個(gè)自然數(shù)圈呢？那它就更不會(huì)對(duì)自然數(shù)圈中素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)產(chǎn)生影響了，因?yàn)槊恳粋€(gè)自然數(shù)圈都是獨(dú)立的，都是單獨(dú)統(tǒng)計(jì)的，無論落在哪兩圈中都絲毫不會(huì)減少這兩圈中素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)。現(xiàn)在，我們還會(huì)擔(dān)心“存在兩相鄰素?cái)?shù)相隔任意大的各種情況”這句話嗎？從數(shù)值上來說，無論“間隔”是何種情況，都一定會(huì)出現(xiàn)在自然數(shù)圈之中，都不會(huì)減少這一自然數(shù)圈中素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)。任一自然數(shù)圈中素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是恒定的、是按照遞增的方向發(fā)展的！

“李君池素?cái)?shù)定理”的實(shí)質(zhì)是要告訴我們，只有換一種思路看問題才能不被迷霧遮住了雙眼。當(dāng)我們用“倍比關(guān)系”來看問題時(shí)，就會(huì)得出與傳統(tǒng)觀念完全相反的結(jié)論：不管素?cái)?shù)的分布越往上越是怎樣的稀少，也不管兩素?cái)?shù)之間的間隔有多大，只要是自然數(shù)在某一基礎(chǔ)上擴(kuò)大2倍，其中素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)將會(huì)逐步擴(kuò)大到1.7幾倍、1.8幾倍、1.9幾倍，當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)也就擴(kuò)大到了2倍。這種關(guān)系，我們稱之為“李君池素?cái)?shù)定理（素?cái)?shù)的倍比關(guān)系定理）”。正是由于“素?cái)?shù)的倍比關(guān)系”的存在，我們才能理直氣壯地指出“素?cái)?shù)的分布越往上越稀少”這種看法犯了以偏概全的錯(cuò)誤。

（作者單位 安徽省地質(zhì)礦產(chǎn)局327地質(zhì)隊(duì)）