矢量值函數(shù)共軛解析的充要條件

晉守博

(宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽宿州234000)

0 引 言

復(fù)變函數(shù)起源于19世紀(jì)，起初它研究的中心對(duì)象是解析函數(shù)，解析函數(shù)理論在解決平面無(wú)源無(wú)旋場(chǎng)的問(wèn)題時(shí)能夠顯示巨大的威力，但對(duì)有源場(chǎng)或有旋場(chǎng)卻無(wú)能為力，到了20世紀(jì)30年代，相繼出現(xiàn)了準(zhǔn)解析函數(shù)和廣義解析函數(shù)，盡管理論上得到了很多結(jié)果，但通常十分繁瑣，并且至今在力學(xué)、物理學(xué)上找不到明顯的背景，到了1988年王見(jiàn)定在文獻(xiàn)［1］首次提出了共軛解析函數(shù)的概念，這是一種與解析函數(shù)對(duì)稱(chēng)的復(fù)變函數(shù)，他可以描述無(wú)源場(chǎng)或無(wú)旋場(chǎng)，共軛解析函數(shù)的提出使復(fù)變函數(shù)達(dá)到了對(duì)稱(chēng)完美，共軛解析函數(shù)可以用來(lái)解決解析函數(shù)所能解決的所有問(wèn)題，并且比解析函數(shù)更加直觀方便.文獻(xiàn)［2］討論了這種函數(shù)在力學(xué)上的初步應(yīng)用，介紹了共軛解析函數(shù)的物理背景.然而，上述關(guān)于共軛解析函數(shù)的討論都局限在復(fù)變函數(shù)的范圍內(nèi)，而關(guān)于矢量值函數(shù)的討論也僅僅局限于矢量值解析函數(shù)的討論，很少有涉及矢量值共軛解析函數(shù)的內(nèi)容.

本文將給出一種從復(fù)平面到Banach空間的矢量值共軛解析函數(shù)，分析矢量值函數(shù)共軛解析的充要條件，對(duì)于復(fù)變函數(shù)共軛解析的充要條件文獻(xiàn)［3］和［4］分別從指數(shù)形式和復(fù)形式兩個(gè)不同方面進(jìn)行了詳細(xì)的討論，關(guān)于復(fù)值共軛解析函數(shù)的進(jìn)一步討論可以參考文獻(xiàn)［1］.

王見(jiàn)定在文獻(xiàn)［1］中給出了如下共軛導(dǎo)數(shù)與共軛積分的概念.

定義1 設(shè)復(fù)變函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)有定義，給自變量z=x+iy∈D以增量△z=△x+△yi使(z+△z)∈D并計(jì)算由自變量所引起的復(fù)變函數(shù)w=f(z)的增量:

這時(shí)稱(chēng)復(fù)變函數(shù)f(z)在點(diǎn)z共軛可導(dǎo)或共軛可微.

若復(fù)變函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處共軛可導(dǎo)，則稱(chēng)f(z)為區(qū)域D內(nèi)的共軛解析函數(shù)，或稱(chēng)f(z)在區(qū)域D內(nèi)共軛解析.

根據(jù)以上復(fù)變函數(shù)共軛解析的定義以及矢量值函數(shù)解析［5］的概念，我們引入如下矢量值函數(shù)共軛解析與共軛積分的定義.

定義2 從復(fù)平面的開(kāi)子集U到Banach空間X中的矢量值函數(shù)x(z)稱(chēng)為弱共軛解析的，是指對(duì)任意的f∈X*，f(x(z))是U中的復(fù)值共軛解析函數(shù);x(z)稱(chēng)為強(qiáng)解析的，是指對(duì)任意的z∈U，x(z)在z處強(qiáng)可導(dǎo)，即存在x'(z)∈X，使得

1 主要結(jié)論與證明

為了討論矢量值共軛解析函數(shù)的充要條件，首先給出下面兩個(gè)引理.

引理1 “弱共軛解析”等價(jià)于“強(qiáng)共軛解析”.

證明 必要性是顯然的，強(qiáng)共軛解析可以推出弱共軛解析.

對(duì)于充分性的證明，可以設(shè)x(z)在U中弱共軛解析，對(duì)任意固定的z∈U、z+△z∈U，取U中的周線(即逐段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線)Γ包圍z，z+△z，于是由共軛解析函數(shù)的柯西積分公式，對(duì)任意的f∈X*，有

因此對(duì)每個(gè)f∈X*，有f(x(w))是Γ上的有界函數(shù)，以及一致有界定理

所以

其中l(wèi)表示曲線Γ的長(zhǎng)度，當(dāng)△z→0時(shí)，上式右邊趨于0，且對(duì)‖f‖≤1是一致的，從而x(z)在z處強(qiáng)共軛可導(dǎo).

根據(jù)引理1，下面我們可以不加區(qū)別地直接說(shuō)共軛解析.

引理2 設(shè)x(z)是從復(fù)平面的開(kāi)子集U到Banach空間X的共軛解析函數(shù)，z∈U，Γ是U中包圍z的周線，則對(duì)任意的正整數(shù)n，x(z)在z處是n次強(qiáng)共軛可導(dǎo)的，且

證明 對(duì)任意的f∈X*，f(x'(z))=f'(x(z))是U中的共軛解析函數(shù)，因此x'(z)是U中的弱共軛解析函數(shù)，從而由引理1知，x'(z)在U上是強(qiáng)共軛解析的，依此類(lèi)推，x(n)(z)也是U中的強(qiáng)共軛解析函數(shù)，此外，對(duì)任意的f∈X*，有

現(xiàn)在通過(guò)上面兩個(gè)引理來(lái)討論矢量值函數(shù)共軛解析的充要條件.

定理1 矢量值函數(shù)x(z)在區(qū)域G上共軛解析的充要條件為

(1)x(z)在區(qū)域G上連續(xù).

證明(必要性)設(shè)矢量值函數(shù)x(z)在區(qū)域G上共軛解析，顯然有x(z)在區(qū)域G上連續(xù).

另外由函數(shù)x(z)的連續(xù)性可知，x(z)在周線Γ上一致連續(xù)，又因?yàn)橹芫€是可求長(zhǎng)的，所以矢量值函數(shù)的共軛積分存在，且對(duì)任意的f∈X*，有

(充分性)對(duì)任意的f∈X*，由x(z)的連續(xù)性可知，f(x(z))在區(qū)域G上也連續(xù)，并且由已知條件(2)可得

由復(fù)值函數(shù)共軛解析的充要條件［1］可知，f(x(z))在區(qū)域G上共軛解析.再利用引理1可得，矢量值函數(shù)x(z)在區(qū)域G上共軛解析.

定理2 如果x(z)是取值于Banach空間X上而在{z;|z－z0|＜r}中共軛解析，則有共軛冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式

且級(jí)數(shù)依范數(shù)是絕對(duì)收斂的，同時(shí)在{z;|z－z0|＜r}內(nèi)依范數(shù)內(nèi)閉一致收斂.

反之，如果x(z)在{z;|z－z0|＜r}上可以表示成依范數(shù)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)

則x(z)在{z;|z－z0|＜r}上是共軛解析的，且

證明 設(shè)0 ＜ ρ＜ ρ1＜ r，K=sup{‖x(z)‖;|z－z0|= ρ1}.依引理2

由此可見(jiàn)，級(jí)數(shù)

在圓{z;|z－z0|≤ρ}中依范數(shù)絕對(duì)一致收斂.

對(duì)任意的f∈X*，由復(fù)值函數(shù)的共軛冪級(jí)數(shù)展式可得

從而

反之，對(duì)任意的f∈X*，有

所以f(x(z))在圓|z－z0|＜r內(nèi)共軛解析，且

從而x(z)在{z;|z－z0|＜r}上是共軛解析的，且

推論1 矢量值函數(shù)x(z)在區(qū)域G內(nèi)共軛解析的充要條件為x(z)在區(qū)域G內(nèi)任何一點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)可展成的冪級(jí)數(shù).

證明 由定理2容易得到上面結(jié)論.

關(guān)于解析函數(shù)和共軛解析函數(shù)的應(yīng)用，目前結(jié)論比較少，文獻(xiàn)［6］討論了一類(lèi)算子值解析函數(shù)族的極值點(diǎn)，展示了矢量值解析函數(shù)的一些應(yīng)用.我們將引用文獻(xiàn)［2］的例子，簡(jiǎn)單地介紹一下在特殊情況下矢量值共軛解析函數(shù)的應(yīng)用，當(dāng)Banach空間X為全體復(fù)數(shù)時(shí)，在這種情況下，矢量值共軛解析函數(shù)有比較明確的物理意義，下面來(lái)看一個(gè)穩(wěn)定平面流動(dòng)的例子.

例1 我們用共軛解析函數(shù)描述以等速c從平面的左方向右方的流動(dòng)，顯示，此流動(dòng)的流線cy=c1和等勢(shì)線cx=c2，我們可以用共軛解析函數(shù)f(z)=cx－icy來(lái)表示此流動(dòng)，并稱(chēng)它為此流動(dòng)的復(fù)形.它的共軛導(dǎo)數(shù)為:f'(z)=c剛好是流動(dòng)的速度.

在靜電場(chǎng)中，我們可以用共軛解析函數(shù)w=f(z)來(lái)作為它的復(fù)形，且它的共軛導(dǎo)數(shù)f'(z)=E正好是該電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng).

我們?cè)賮?lái)看一下共軛解析函數(shù)在平面電場(chǎng)中的應(yīng)用.

例2 研究在點(diǎn)z=0處垂直于z平面的一條無(wú)限長(zhǎng)均勻電荷線，單位長(zhǎng)度所帶電荷量為m所激發(fā)的靜電場(chǎng).

顯然，這是一個(gè)調(diào)和平面場(chǎng)，只需研究z平面上場(chǎng)的特點(diǎn)即可.我們引進(jìn)共軛解析函數(shù)，由題意可知，Argz=常數(shù)，所以所求電場(chǎng)的電力線ln|z|=常數(shù)，從而所求電場(chǎng)的等位線|z|=常數(shù).此時(shí)，w(z)的共軛導(dǎo)數(shù)正好是該電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng).

［1］王見(jiàn)定.半解析函數(shù)與共軛解析函數(shù)［M］.北京:北京工業(yè)大學(xué)出版社，1988.35－84.

［2］王見(jiàn)定.半解析函數(shù)與共軛解析函數(shù)及其在力學(xué)上的應(yīng)用［J］.力學(xué)進(jìn)展，1997，27(2):257－263.

［3］仝澤柱，婁正凱.復(fù)變函數(shù)共軛解析的充要條件［J］.徐州工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2006(3):97－106.

［4］王海英.復(fù)變函數(shù)共軛可微的又一充要條件［J］.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008(2):82－83.

［5］彭志剛.一類(lèi)算子值解析函數(shù)族的極值點(diǎn)［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2008，28A(5):945－957.