基于灰色模型的導(dǎo)彈水中段橫向載荷計(jì)算

王浩宇 王 軍 張 濤

1.海軍裝備部, 北京 100841 2.中國(guó)人民解放軍91868部隊(duì), 三亞 572016 3.海軍裝備研究院, 北京 100073

潛射導(dǎo)彈由于其天然的隱蔽性優(yōu)勢(shì)，是目前導(dǎo)彈發(fā)射的主要方式之一。導(dǎo)彈水中段(本文定義導(dǎo)彈從離開(kāi)發(fā)射管到完全脫離水面的行程為水中段)由于受到海水液態(tài)介質(zhì)的影響，其橫向載荷相對(duì)于在大氣層中的空氣介質(zhì)的影響更大。另外，由于受到發(fā)射深度、發(fā)射平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、洋流、洋面風(fēng)力、波浪等因素的存在，使得導(dǎo)彈在水中段受到隨機(jī)干擾，其橫向載荷難以進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)解析建模，無(wú)法獲得準(zhǔn)確數(shù)據(jù)。橫向載荷過(guò)大將直接導(dǎo)致導(dǎo)彈折斷的嚴(yán)重后果。這對(duì)彈體結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的設(shè)計(jì)提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，而設(shè)計(jì)需要數(shù)據(jù)的支持。

針對(duì)水中段橫向載荷對(duì)彈體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的要求，目前國(guó)際上一般采取模擬水下發(fā)射環(huán)境，在導(dǎo)彈上安裝傳感器，通過(guò)試驗(yàn)獲得導(dǎo)彈水中段的橫向受力情況。此種方式存在如下缺點(diǎn)：一方面，模擬的水下發(fā)射環(huán)境難以對(duì)所有發(fā)射海況進(jìn)行模擬；另一方面，受到經(jīng)費(fèi)、時(shí)間、試驗(yàn)條件等的制約，其試驗(yàn)次數(shù)也是有限的。因此，獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)必然是有限的，不全面的。通過(guò)這些有限的數(shù)據(jù)進(jìn)行導(dǎo)彈結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的設(shè)計(jì)顯然存在一定的風(fēng)險(xiǎn)。還有一種方式就是針對(duì)水中段彈體的受力進(jìn)行力學(xué)建模，通過(guò)受力分析來(lái)設(shè)計(jì)彈體結(jié)構(gòu)強(qiáng)度。這種方式的突出問(wèn)題是水中段的隨機(jī)干擾造成橫向載荷難以進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)解析建模，因而無(wú)法獲得設(shè)計(jì)所需的精確數(shù)據(jù)。

灰色系統(tǒng)理論的研究對(duì)象是“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定性系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)部分已知信息的探索，實(shí)現(xiàn)對(duì)事物的確切認(rèn)識(shí)[1]。顯然，導(dǎo)彈水中段橫向載荷的計(jì)算具有灰色系統(tǒng)的顯著特點(diǎn)，適合采用灰色系統(tǒng)理論思想進(jìn)行建模和計(jì)算。

1 灰色系統(tǒng)相關(guān)理論

采用灰色系統(tǒng)理論進(jìn)行建模分析一般經(jīng)歷思想開(kāi)發(fā)、因素分析、量化、動(dòng)態(tài)化及優(yōu)化5個(gè)步驟[2]。這其中，第4步動(dòng)態(tài)化最為關(guān)鍵。主要是利用各環(huán)節(jié)的輸入和輸出數(shù)據(jù)建立數(shù)據(jù)序列，建立動(dòng)態(tài)GM(Grey Model)模型，即動(dòng)態(tài)模型。下面就本算法所涉及的灰色系統(tǒng)理論的相關(guān)概念和理論進(jìn)行闡述。

1.1 序列算子

設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)系列

X=(x(1),x(2),…,x(n))

(1)

D為作用于X的算子，X經(jīng)過(guò)算子D作用后所得序列記為

XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d)

(2)

稱D為序列算子，XD為一階算子作用序列。序列算子可以多次作用，相應(yīng)的稱為二階、三階等序列算子。若

(3)

則稱D為X的一次累加算子。相應(yīng)的m階算子Dm稱為X的m次累加算子，記為“r-AGO”(Accumulating Generation Operator)。

若如下關(guān)系式成立

Z(k)=0.5x(k)+0.5x(k+1),k=1，2,…,n

(4)

則Z是X的緊鄰均值生成序列。

1.2 序列光滑性檢驗(yàn)

序列X的光滑比ρ(k)定義如下

(5)

若序列X滿足

(6)

則稱X為準(zhǔn)光滑序列。

1.3 序列的準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律檢驗(yàn)

如公式(1)所示序列X，稱

(7)

為序列X的級(jí)比。若σ<0.5，則稱X具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律。

1.4 GM(1，1)模型

令：

(8)

稱

x(0)(k)+ax(1)(k)=b

(9)

為GM(1，1)模型的原始形式，第1個(gè)“1”表示“一階方程”，第二個(gè)“1”表示“1個(gè)變量”。

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(10)

為GM(1，1)模型的基本形式。令

(11)

(12)

參數(shù)-a表示發(fā)展系數(shù)，b為灰色作用量。

方程

(13)

為公式GM(1，1)模型公式(10)的白化方程。

運(yùn)用GM(1，1)模型時(shí)，需要考慮以下條件的限制[3]：

1)|a|≥2時(shí)，GM(1，1)模型無(wú)意義；

2 仿真建模及檢驗(yàn)

仿真建模的目的是在有限試驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，建立導(dǎo)彈水中段橫向載荷的預(yù)測(cè)模型，以此對(duì)不同發(fā)射環(huán)境下的橫向載荷進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而為彈體結(jié)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計(jì)及彈道計(jì)算提供支撐。

2.1 仿真建模及檢驗(yàn)思路

試驗(yàn)時(shí)一般獲得不同發(fā)射條件下的數(shù)據(jù)，首先根據(jù)發(fā)射條件的惡劣程度，比如海浪的大小，進(jìn)行數(shù)據(jù)分類，按照升序或者降序排列；然后針對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立恰當(dāng)?shù)幕疑Ｐ?；模型有效性檢驗(yàn)；最后針對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行修正，直到得到滿意的模型為止。具體思路如圖1所示。

圖1 仿真建模及檢驗(yàn)思路

2.2 仿真建模

依據(jù)上述建模思路，針對(duì)某型導(dǎo)彈水中段的最大橫向載荷試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后排序如下：2.874，3.278，3.337，3.390，3.679，3.7576，選取前5個(gè)(最后1個(gè)用于數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)檢驗(yàn))整理成如下序列

X0=(x0(1),x0(2),…,x0(5))

=(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)

(14)

Step1：對(duì)X0進(jìn)行一次累加算子1-AGO

X1=(x1(1),x1(2),…,x1(5))

=(2.874,6.152,9.489,12.879,16.558)

(15)

Step2：對(duì)X0進(jìn)行光滑性檢驗(yàn)

由公式(6)得

(16)

滿足光滑性條件。

Step3：對(duì)X1準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律檢驗(yàn)：

由公式(7)得，

(17)

滿足準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律，可對(duì)X1進(jìn)行GM(1,1)建模。

Step4：生成X1的緊鄰均值生成序列：

由公式(4)得，

Z(1)=(4.513,7.820,11.184,14.718)

(18)

由公式(11)得，

(19)

Step5：確定參數(shù)及模型

由公式(12)得，

(20)

因此，由公式(13)得GM(1，1)模型的白化方程為：

(21)

由x(1)(0)=x(0)(0)，則此微分方程解(時(shí)間響應(yīng)式[4])可寫(xiě)為：

=85.276151e0.0372k-1-82.402151

(22)

2.3 模型檢驗(yàn)

檢驗(yàn)思路如下：針對(duì)公式(21)及(22)建立的GM(1，1)模型，計(jì)算出原始序列的還原值，然后比較此還原值和原始序列，進(jìn)而檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷目尚哦取?/p>

由公式(22)得，

=(2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5558)

(23)

由一次累加算子1-AGO的定義有，

(24)

因此，

=(2.8740,3.2320,3.3545,3.4817,3.6136)

(25)

綜合上述數(shù)據(jù)，整理可得如下計(jì)算結(jié)果，如表1所示，誤差計(jì)算公式如下：

(26)

表1 模型檢驗(yàn)結(jié)果

可見(jiàn)，GM(1，1)模型的計(jì)算公式(22)在所利用的數(shù)據(jù)范圍內(nèi)(原始數(shù)據(jù)的前5個(gè)，即公式(14)所示序列)具有較好的模擬精度。下面針對(duì)模型的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)精度進(jìn)行檢驗(yàn)。以原始數(shù)據(jù)的最后1個(gè)：3.7576，進(jìn)行檢驗(yàn)。

由公式(22)及(24)得，

(27)

殘差為3.7576-3.7482=0.094；相對(duì)誤差為：0.094÷3.7576=2.50%。顯然，所建立的模型對(duì)于未經(jīng)采用數(shù)據(jù)的模擬同樣具有較高的精度。

3 結(jié)束語(yǔ)

由于受到發(fā)射深度、發(fā)射平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、洋流、洋面風(fēng)力、波浪等因素的影響，使得導(dǎo)彈在水中段受到隨機(jī)干擾，其橫向載荷難以進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)解析建模，從而無(wú)法獲得精確數(shù)據(jù)。而試驗(yàn)又受費(fèi)用、環(huán)境等因素制約，不可能獲取全部發(fā)射條件下的數(shù)據(jù)。本文針對(duì)“小樣本”、“貧信息”的特點(diǎn)，采用灰色系統(tǒng)理論思想對(duì)導(dǎo)彈水中段的橫向載荷進(jìn)行建模和計(jì)算。通過(guò)分析已知數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，建立了GM(1,1)結(jié)構(gòu)形式的計(jì)算模型。數(shù)據(jù)檢驗(yàn)表明:所建立的計(jì)算模型不但能夠有效的模擬建模使用過(guò)的原始數(shù)據(jù)，而且對(duì)于未使用過(guò)的數(shù)據(jù)的模擬同樣具有很好的精度。

[1] 鄧聚龍.灰色系統(tǒng)理論教程[M].武漢：華中理工大學(xué)出版社，1990.

[2] 劉思峰，黨耀國(guó)鄧.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[3] Lin Changrong & Deng Julong.On Grey Prediction of Gas Pool[M].武漢：華中理工大學(xué)出版社，1996.

[4] 王學(xué)萌，張繼忠，王榮.灰色系統(tǒng)分析及實(shí)用計(jì)算程序[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2001.