以概念為中心的“線性代數(shù)”教學(xué)改革探討

鐘小品，曾文雯

(深圳大學(xué) a.機電與控制工程學(xué)院;b.圖書館，廣東深圳518060)

線性代數(shù)是工科院校學(xué)生必修的一門重要基礎(chǔ)課程，也是工程數(shù)學(xué)中一個最基本的內(nèi)容。隨著科技的發(fā)展它已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用到各個學(xué)科當(dāng)中，特別是在理工和經(jīng)管類學(xué)科的運用中有舉足輕重的作用。

目前高校開展的線性代數(shù)課程的學(xué)時數(shù)大致在32至54學(xué)時之間，如何在這有限的時間里，讓盡可能多的學(xué)生對這門概念既抽象又邏輯性強的課程產(chǎn)生興趣，在短時間內(nèi)能夠掌握和理解，并能夠很好地運用到實踐和研究上去，成為如今線性代數(shù)教學(xué)改革的重點，也是眾多線性代數(shù)課程授課教師在教學(xué)中必須關(guān)注的重點所在［1，2］。

筆者通過2年時間的教學(xué)實踐，結(jié)合學(xué)生在“線性代數(shù)”課上、課下的學(xué)習(xí)及反饋，調(diào)查數(shù)百名本科生，分析當(dāng)前《線性代數(shù)》課在教學(xué)環(huán)境、方法、手段、效果等多方面存在的問題，提出一個以概念為中心的教學(xué)方法，包括一些相應(yīng)改進策略來提高線性代數(shù)課堂教學(xué)質(zhì)量。

一 線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀

在“線性代數(shù)”教學(xué)中，學(xué)者們提出了一些普遍存在的問題［3-5］，主要集中在如下幾點:課程邊緣化、學(xué)時減少，筆者發(fā)現(xiàn)不少工科院校更重視CDIO式的工程教學(xué)而忽視了線性代數(shù)等基礎(chǔ)課程的教學(xué)，又存在把線性代數(shù)和概率論兩門課程合為一門稱作工程數(shù)學(xué)的課程的情況，線性代數(shù)的學(xué)時又因此被壓縮;集體授課的教學(xué)模式，由于我國高校的師生人數(shù)比普遍不高，線性代數(shù)等公共基礎(chǔ)課大都采用大班授課制，教學(xué)效果不佳;多媒體教學(xué)效果不理想，在投影上通常是文字和公式的簡單堆疊，學(xué)生注意力難以集中;考核方式單一，大多數(shù)教學(xué)僅采用期末考試的方式來考核學(xué)生掌握的情況。

筆者認(rèn)為，除了這些外在的問題，教學(xué)中還存在一些與線性代數(shù)概念有關(guān)的本質(zhì)難題，分別描述如下。

(一)概念多而抽象

線性代數(shù)是通過公理化來描述的第二代數(shù)學(xué)模型，從一維數(shù)學(xué)推廣到高維的數(shù)學(xué)問題是一個跨越，只有對第一代數(shù)學(xué)模型本質(zhì)和特性的充分描述才能支撐起這樣的跨越。以筆者所在高校使用的教材--同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編著的《工程數(shù)學(xué):線性代數(shù)》為列，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)該書內(nèi)容共170頁，其中清晰標(biāo)注為定義的共43條，定理52條，平均不足2頁就有一條概念。在不包含“推論”的統(tǒng)計情況下，已經(jīng)是滿眼的抽象概念，在定義和定理之間穿插的又是滿滿的公式推導(dǎo)和證明，這不能不使學(xué)生感到生硬難懂、望而卻步。為了“理解”這些概念，低年級的大學(xué)生習(xí)慣性的利用記憶去學(xué)習(xí)。這一行為導(dǎo)致的后果是95條定義定理成了一團解不開的亂麻，不必說應(yīng)用這些理不清的概念去完成習(xí)題，更不用說解決工程問題。通過對調(diào)查對象每學(xué)期5次課堂測試以及5次課后作業(yè)的反饋發(fā)現(xiàn)，在課堂上高達(dá)大約70%的學(xué)生不能很好的區(qū)分各種概念之間的差異以及理解概念之間的聯(lián)系，例如:矩陣和行列式的差別(箭頭和等號)的問題，近40%的學(xué)生依然采用他們在中學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)思維方式進行方程組求解。

(二)概念之間的關(guān)系復(fù)雜

線性代數(shù)課程中概念錯綜復(fù)雜的性質(zhì)使學(xué)生在概念認(rèn)知上遭遇巨大阻力。筆者總結(jié)這些概念復(fù)雜關(guān)系主要包括兩類:一類是功能相關(guān)，例如行列式以及矩陣秩的計算需要行初等變換相應(yīng)地把矩陣變換到行最簡形和行階梯型，而解的分析需要借助矩陣秩或者行列式的概念;另一類是因果相關(guān)，例如為了定義行列式的概念，先定義了逆序數(shù)的概念，而為了定義秩的概念，先定義了子式的概念等等。學(xué)生們常常采取死記硬背的方式來學(xué)習(xí)這些概念，這是事倍功半的做法。事實上從上述的概念關(guān)系分析可以發(fā)現(xiàn)它們存在很強的邏輯性，我們可以借助特定工具來理清概念間的復(fù)雜關(guān)系。

(三)傳統(tǒng)教學(xué)過程題海大于實踐，概念的理解停留在表面，推廣應(yīng)用能力低，概念被快速遺忘

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)里大量使用練習(xí)題，使學(xué)生短時記憶解題的技巧以及步驟，這種做法固然可以使考試成績提高，但學(xué)生對概念的理解只停留在表面。課本或輔導(dǎo)書里的練習(xí)題常常是直接考察數(shù)學(xué)問題的解答過程，卻忽略了工科數(shù)學(xué)教育的目的——應(yīng)用。一個完整的基本應(yīng)用流程應(yīng)該是:(a)從生活或工程中總結(jié)問題;(b)利用數(shù)學(xué)概念對問題建立模型;(c)使用數(shù)學(xué)方法對模型進行求解;(d)分析結(jié)論、應(yīng)用推廣。但在我們傳統(tǒng)的題海教學(xué)只體現(xiàn)在第三階段，而忽略了其他三個階段。要使學(xué)生掌握推廣應(yīng)用的能力，需要在課程教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的思想。

二 以概念為中心的教學(xué)方法及實踐

(一)以概念為中心的教學(xué)方法

針對上述的與“線性代數(shù)”概念有關(guān)的本質(zhì)難題，筆者建議在教學(xué)過程中嘗試使用以下方法。

(1)使用專業(yè)應(yīng)用以及幾何、物理意義等來引出概念

概念是人類的感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識后，將事物的本質(zhì)與特性進行抽象的描述。作為第二代數(shù)學(xué)模型，線性代數(shù)的概念建立在原本就已抽象的數(shù)學(xué)概念之上，更晦澀難懂。對于沒有過多工程應(yīng)用經(jīng)驗的低年級大學(xué)生通常感到難以理解。如果能使用一些學(xué)生原本具有的知識、原理去解釋概念，學(xué)生更容易提起興趣，從死記硬背模式轉(zhuǎn)為理解模式。

筆者建議使用專業(yè)應(yīng)用來引出概念，尤其是針對每個專業(yè)自身的應(yīng)用問題。例如，筆者所教授專業(yè)為軌道交通運輸，該系學(xué)生在前一學(xué)期甚至在高中學(xué)習(xí)過電路分析的知識，其中他們理解一個稱為電路諧振的概念，稍加推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)諧振頻率，這個常數(shù)λ實際上就是對應(yīng)問題的特征值，振蕩電壓電流等信號構(gòu)成了特征向量，從此特征值與特征向量這兩個概念對學(xué)生們來說就不再陌生可畏。

(2)使用主線來銜接概念

現(xiàn)行的教材常常錯把行列式當(dāng)作重點，實際上線性代數(shù)教育的一個重要主題是解線性方程組。這是低年級大學(xué)生能夠馬上理解和應(yīng)用的思想，同時這也應(yīng)該是工科大學(xué)數(shù)學(xué)教育應(yīng)該重點培養(yǎng)的一個思維方式，即使用第一代數(shù)學(xué)方法對應(yīng)用問題建立模型，然后使用線性代數(shù)方法解模型，這才體現(xiàn)了一個完整的數(shù)學(xué)應(yīng)用流程。

因此筆者嘗試在授課的時候經(jīng)常強調(diào)解線性方程組這一目標(biāo)主線，把大部分概念聯(lián)系起來。例如學(xué)習(xí)矩陣求逆的目的是直接使用矩陣的乘法來解線性方程組，學(xué)習(xí)行列式的目的是判斷矩陣是否可以求逆并應(yīng)用克拉姆法則來解線性方程組;但是它們的使用條件比較苛刻，如何去分析判斷是否可以使用這些方法呢，需要用到矩陣的秩的概念;如果方程組具有無窮解，如何去表達(dá)這些解則需要學(xué)習(xí)向量組線性表示的知識。

另外，為了實現(xiàn)解線性方程組這一目標(biāo)，需要一個好用的工具，即行初等變換。這稱為工具主線，因為行初等變換可以解決矩陣求逆、求行列式、求秩以及分析向量線性相關(guān)性等線性代數(shù)課程里需要完成的絕大部分任務(wù)。

在學(xué)生真正理解這些基本主線以后，再從基本主線進階到向量空間、特征值與特征向量等問題就變得更加自然、容易。

(3)使用思維導(dǎo)圖等工具來理順概念

簡單的教學(xué)實踐即可表明:學(xué)生如果通過機械的學(xué)習(xí)方式獲得概念知識，往往是散亂而零碎的，缺乏深層次的理解。線性代數(shù)課程中雖然概念繁多，但它們是緊密聯(lián)系的，具有很強的邏輯性，如果能幫助學(xué)生理清概念間的關(guān)系，往往事半功倍。筆者建議使用思維導(dǎo)圖一類的思維工具，如圖1所示的例子采用思維導(dǎo)圖引出了與解線性方程組有關(guān)的一些概念，例如其中一個虛線箭頭線表明解的三種情況需要借助矩陣秩的概念來分析，如此這般便把一些零散的概念有機地聯(lián)系起來，讓學(xué)生漸漸形成一個完整的線性代數(shù)知識體系。

(4)結(jié)合專業(yè)或生活應(yīng)用來加深對概念的理解

非重點大學(xué)學(xué)生多、線性代數(shù)課程學(xué)時少、學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)相對較差等特點決定了教學(xué)大綱不可能按照重點大學(xué)的課程內(nèi)容來進行，因此必須對教學(xué)內(nèi)容進行一定的縮減，并讓學(xué)生理解和學(xué)會應(yīng)用保留下來的這部分基礎(chǔ)理論知識。這樣才能提起學(xué)生的興趣、體現(xiàn)應(yīng)用價值并提高應(yīng)用線性代數(shù)的建模能力。筆者建議結(jié)合專業(yè)或生活應(yīng)用來加深對概念的理解，例如筆者所教授專業(yè)為交通運輸，課堂上便多次以交通流量監(jiān)測與控制、路徑規(guī)劃等應(yīng)用為例講解數(shù)學(xué)建模的整個流程，讓學(xué)生切實體會到線性代數(shù)相關(guān)的概念給專業(yè)和生活帶來的影響。

(二)以概念為中心的教學(xué)實踐

筆者以深圳大學(xué)軌道交通學(xué)院2011級為例，使用同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編著的《工程數(shù)學(xué):線性代數(shù)》為教材，選擇入學(xué)成績基本相同的兩個班作為對照組，對他們分別使用傳統(tǒng)的和改進的兩種不同教學(xué)方法，兩個月后對已教的知識點進行課堂測試，課堂測驗使用一共10道選擇和計算題，分別測試初等行變換、行最簡形等10個基本知識點，發(fā)現(xiàn)兩個班掌握程度不同，具體情況如表1所示。對1班(50人)和2班(54人)分別使用傳統(tǒng)的和改革后的教學(xué)方法，分別統(tǒng)計學(xué)生掌握比較項目的人數(shù)以及占全班百分比得到表1以及圖2的對比結(jié)果。

表1 教學(xué)效果對比

從圖2可以看出，除了第5項以及第8項相差不大以外，改革后的方法普遍比傳統(tǒng)教學(xué)方法擁有較好的效果。其實第5項和第8項主要依靠記憶來完成，因此改革方法顯現(xiàn)不出優(yōu)勢。但在第9項和第10項的對比上可以看出較大的差別，主要原因是在改革后的方法里面筆者充分強調(diào)“解線性方程組”的主線思想，使學(xué)生在課堂上提起興趣并重視其中內(nèi)容。另外，在教學(xué)過程中筆者還發(fā)現(xiàn)，改革教學(xué)班級的學(xué)生在課后能自主地提出一些有趣的應(yīng)用，例如有學(xué)生試圖使用解線性方程組的方法求解數(shù)獨游戲問題，筆者也趁熱打鐵地講解說明這是一大類問題的解決思路，比如醫(yī)學(xué)CT的重建等問題。

三 結(jié)語

本文分別分析了線性代數(shù)課程教學(xué)中存在的與概念有關(guān)的一些本質(zhì)難題:概念多而抽象;概念關(guān)系復(fù)雜;概念的理解停留在表面，被快速遺忘等。筆者提出了幾個相應(yīng)的應(yīng)對策略:使用專業(yè)應(yīng)用以及幾何、物理意義等來引出概念;使用主線來銜接概念;使用思維導(dǎo)圖等工具來理順概念;結(jié)合專業(yè)或生活應(yīng)用來加深對概念的理解。對比教學(xué)實踐案例證實這一改革取得較顯著的效果，可以切實提高教學(xué)質(zhì)量。

［1］李尚志.從問題出發(fā)引入線性代數(shù)概念［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2006，9(5):6-8.

［2］李尚志.線性代數(shù)教學(xué)改革漫談［J］.教育與現(xiàn)代化，2004(1):30-33.

［3］王 健.中美線性代數(shù)教學(xué)方法的對比與分析［J］.吉林工程技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報，2012，28(2):74-75.

［4］張小向.關(guān)于線性代數(shù)課程教學(xué)的一些思考［J］.中國科技論文在線，2007.

［5］楊麗娟.《線性代數(shù)》教學(xué)改革的必要性和措施［J］.吉林農(nóng)業(yè)科技學(xué)院學(xué)報，2011，20(3).