異步脈沖無(wú)線電超寬帶系統(tǒng)的漸近帶寬

徐 娟，吳雨潤(rùn)，呂彬彬，周 靜

（同濟(jì)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，上海 201804）

超寬帶無(wú)線電是近年來(lái)發(fā)展迅猛的一種新型無(wú)線傳輸技術(shù)，它是基于沖激脈沖（皮秒級(jí)窄脈沖）自身的寬頻譜特性，通過(guò)對(duì)具有特殊波形的沖激脈沖進(jìn)行調(diào)制獲得載有信息且符合頻帶要求的無(wú)線電信號(hào)，即所謂脈沖無(wú)線電超寬帶（impulse radio ultrawide band，IR-UWB）［1］.使 用 跳 時(shí) （time hopping，TH）碼為每個(gè)發(fā)射脈沖引入一個(gè)可變時(shí)延，從而可以降低多用戶干擾.

超寬帶技術(shù)具有廣闊的應(yīng)用前景，可用于無(wú)線個(gè)域網(wǎng)、無(wú)線通用串行總線（universal serial bus，USB）等短距離高速數(shù)據(jù)傳輸及無(wú)線傳感網(wǎng)和精確定位、智能交通系統(tǒng)等中長(zhǎng)距離中低速數(shù)據(jù)傳輸?shù)?尤其是跳時(shí)IR-UWB具有諸如寬頻譜、低功耗、低成本和低系統(tǒng)復(fù)雜性、可與現(xiàn)存的窄帶和寬帶無(wú)線通信網(wǎng)絡(luò)共存、類(lèi)似噪聲的信號(hào)、精確的定位能力和強(qiáng)抗多徑衰落能力等獨(dú)有的特性［2］，因此跳時(shí)IRUWB是無(wú)線傳感網(wǎng)物理層的首選方案.

跳時(shí)IR-UWB多用戶系統(tǒng)中由于存在多用戶干擾，因此對(duì)多用戶系統(tǒng)差錯(cuò)概率的研究非常復(fù)雜.文獻(xiàn)［3-4］已經(jīng)研究了加性高斯白噪聲（additive white gaussian noise，AWGN）信道下的IR-UWB多用戶系統(tǒng)的性能.但是由于超寬帶信號(hào)的帶寬很寬，因此如果多用戶干擾相對(duì)于輸出噪聲可以忽略不計(jì)，則多用戶系統(tǒng)差錯(cuò)概率就簡(jiǎn)化為單用戶系統(tǒng)的差錯(cuò)概率，使計(jì)算變得簡(jiǎn)易.因此從理論上研究當(dāng)多用戶干擾相對(duì)于輸出噪聲能以高概率忽略不計(jì)時(shí)的大規(guī)模跳時(shí)IR-UWB網(wǎng)絡(luò)所需的IR-UWB信號(hào)漸近帶寬是非常有意義的.

在理論研究或仿真中，大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的用戶節(jié)點(diǎn)通常假設(shè)為隨機(jī)分布，服從均勻分布或Poisson分布.文獻(xiàn)［5］研究了用戶節(jié)點(diǎn)服從Poisson分布時(shí)的IR-UWB信號(hào)漸近帶寬.本文則將研究AWGN信道下用戶節(jié)點(diǎn)服從均勻分布的IR-UWB信號(hào)漸近帶寬.

式中：σmui和σn分別表示多用戶干擾和噪聲的方差；n表示網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的用戶數(shù).

目前針對(duì)大規(guī)模無(wú)線網(wǎng)絡(luò)的研究是學(xué)術(shù)界的一大熱點(diǎn)［5－6］.通常有兩種方法使大規(guī)模模網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的用戶節(jié)點(diǎn)數(shù)趨于無(wú)窮.一種方法是保持網(wǎng)絡(luò)部署的區(qū)域?yàn)槌?shù)，而使用戶密度ρ趨于無(wú)窮，這種網(wǎng)絡(luò)稱(chēng)之為密集網(wǎng)絡(luò).另一種方法是保持用戶密度ρ為常數(shù)，而使網(wǎng)絡(luò)部署的區(qū)域趨于無(wú)窮，這種網(wǎng)絡(luò)稱(chēng)之為擴(kuò)展網(wǎng)絡(luò).本文將分別從理論上研究當(dāng)多用戶干擾相對(duì)于輸出噪聲能以高概率忽略不計(jì)時(shí)，用戶服從均勻分布時(shí)的密集網(wǎng)絡(luò)和擴(kuò)展網(wǎng)絡(luò)所需的IR-UWB信號(hào)漸近帶寬.

關(guān)于無(wú)線網(wǎng)絡(luò)的研究目前絕大多數(shù)集中在基于地面模型的二維空間，但是當(dāng)網(wǎng)絡(luò)部署在海洋或大氣中時(shí)二維空間模型不再適用，需采用三維空間模型.三維無(wú)線網(wǎng)絡(luò)具有廣泛的應(yīng)用，如視頻監(jiān)控、海洋采樣和環(huán)境監(jiān)控等，因此三維空間的無(wú)線網(wǎng)絡(luò)近來(lái)也獲得了關(guān)注［7－9］.本文將先研究大規(guī)模三維異步IR-UWB多用戶系統(tǒng)的IR-UWB信號(hào)漸近帶寬，然后再給出大規(guī)模二維異步IR-UWB多用戶系統(tǒng)的IR-UWB信號(hào)漸近帶寬.

跳時(shí)IR-UWB傳感網(wǎng)已成為目前研究熱點(diǎn)之一［9－10］，由于無(wú)線傳感網(wǎng)的特點(diǎn)之一是節(jié)點(diǎn)數(shù)量眾多，因此文中得到的結(jié)論有利于大規(guī)模跳時(shí)IRUWB傳器網(wǎng)的性能，如生命周期、容量等，以及大規(guī)模跳時(shí)IR-UWB傳器網(wǎng)的跨層協(xié)議設(shè)計(jì)的研究.

所謂“多用戶干擾（MUI）相對(duì)于輸出噪聲以高概率忽略不計(jì)”，用數(shù)學(xué)公式可表示為

1 跳時(shí)IR-UWB多用戶系統(tǒng)性能分析

考慮由n個(gè)用戶節(jié)點(diǎn)組成的基于脈沖極性隨機(jī)化的跳時(shí)IR-UWB多用戶系統(tǒng)，采用BPSK（binary phase shift key）調(diào)制，AWGN信道，噪聲的功率譜密度為η.假設(shè)路徑損耗大小與收發(fā)信機(jī)之間距離的α次方成正比，其中α為路徑損耗指數(shù)，α＞3.因?yàn)槿绻痢?，且用戶節(jié)點(diǎn)在空間均勻分布，則當(dāng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的用戶節(jié)點(diǎn)數(shù)增加時(shí)多用戶干擾將趨于無(wú)限大.

由文獻(xiàn)［11］可知，相關(guān)接收機(jī)的輸出包括對(duì)發(fā)射用戶Xi的有用信號(hào)，多用戶干擾和輸出噪聲.其中接收機(jī)輸出的多用戶干擾的表達(dá)式為

式中：是用戶Xk發(fā)射的脈沖到達(dá)其接收用戶處的接收脈沖能量；M（k）表明干擾用戶Xk對(duì)有用信號(hào)的干擾.

在系統(tǒng)中所有用戶完全同步情況下，若所有用戶分配到的跳時(shí)序列全部正交，則＝0.但在一般情況下，通常需要考慮異步情形，此時(shí)多用戶干擾將降低系統(tǒng)性能.為了便于分析，假定異步UWB多用戶通信系統(tǒng)為碼片同步系統(tǒng)，此時(shí)不同用戶的符號(hào)是不重合的，但是不重合的距離是碼片間隔Tc的整數(shù)倍.

由文獻(xiàn)［11］引理3.1可知，當(dāng)→∞，多用戶干擾的方差為

式中：為用戶Xi的每比特發(fā)射的脈沖個(gè)數(shù)；Nc為每幀包含的碼片數(shù).

接收機(jī)輸出噪聲的方差為

式中：η已考慮了天線增益和線路損耗等.

接收到的有用信號(hào)能量Eb為

當(dāng)IR-UWB信號(hào)的帶寬足夠大以致能滿足多用戶干擾相對(duì)于輸出噪聲可以忽略不計(jì)時(shí)，則接收用戶對(duì)于發(fā)射用戶Xi的差錯(cuò)概率為

由式（3）可知，為了得到多用戶干擾的大小，需要先研究均勻分布網(wǎng)絡(luò)中用戶節(jié)點(diǎn)的空間布置及網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)用戶之間的距離.

2 三維空間棋盤(pán)形布置

對(duì)于三維密集網(wǎng)絡(luò)，n個(gè)用戶獨(dú)立同分布且均勻地位于一個(gè)體積為V的立方體D中，其中V是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)；對(duì)于三維擴(kuò)展網(wǎng)絡(luò)，n個(gè)用戶獨(dú)立同分布且均勻地位于體積為V＝λn的立方體D中，其中λ是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù).

為了便于分析，引入一個(gè)關(guān)于立方體D的空間棋盤(pán)形布置T.空間棋盤(pán)形布置T由許多邊長(zhǎng)為l的小立方體d組成.每一個(gè)小立方體d為一個(gè)單元，稱(chēng)包含立方體D中心的單元稱(chēng)為中央單元.

如果兩個(gè)單元之間共享一條邊或一個(gè)頂點(diǎn)，則稱(chēng)這兩個(gè)單元是鄰接的.定義與中央單元相鄰接的單元集合為立方環(huán)（annulus）A1，使用Ai（i＞1）表示圍繞Ai－1的單元集合.顯然立方環(huán)具有下述性質(zhì)：

（1）在立方環(huán)Ak中單元數(shù)Zk為

（2）完全覆蓋立方體D所需的環(huán)數(shù)τ必須滿足

引理1 如果體積為V（與n無(wú)關(guān)的常數(shù)）的立方體D采用立方體棋盤(pán)格子T來(lái)覆蓋，且每個(gè)小立方體單元d的體積為v（n）＝γ1Vlogn／n，則每個(gè)單元的用戶節(jié)點(diǎn)數(shù)N（d）以高概率（即概率趨于1）滿足N（d）≥1，且N（d）＝Θ（γ1logn），其中γ1是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù).

證明 由于用戶節(jié)點(diǎn)是獨(dú)立同分布且均勻位于體積為V的立方體D中，因此對(duì)于一個(gè)特定的用戶節(jié)點(diǎn)Xi，1≤i≤n落入一個(gè)特定單元的概率為

由此得到某個(gè)特定單元不含用戶的概率是（1－p（n））n.

式中：y表示單元；N（y）表示在單元y中的用戶數(shù).因此

即，當(dāng)n→∞和γ1＞1時(shí)，每個(gè)單元至少包含一個(gè)用戶節(jié)點(diǎn)的概率趨于1.

根據(jù)式（9），可知一個(gè)單元內(nèi)的平均用戶數(shù)為u＝γ1logn.應(yīng)用Chernoff界［12］，對(duì)單元y包含的用戶數(shù)有

應(yīng)用聯(lián)合界有

因此當(dāng)γ1＞8時(shí)，每個(gè)單元包含的用戶數(shù)為Θ（γ1logn）的概率趨于1.

引理2 如果體積為V＝λn的立方體D采用立方體棋盤(pán)格子T來(lái)覆蓋，且每個(gè)小立方體單元d的體積為v（n）＝γ2log（λn），則每個(gè)單元所包含的用戶節(jié)點(diǎn)數(shù)N（d）以高概率滿足N（d）≥1，且N（d）＝Θ（γ2logn），其中γ2是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù).

證明過(guò)程類(lèi)似于引理1，故證明略.

3 三維空間的任意兩個(gè)用戶之間的最小歐幾里德距離

考慮到干擾大小與干擾用戶和被干擾用戶之間的距離有關(guān)，為了得到總的多用戶干擾的大小，還需要研究均勻分布網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)用戶之間的距離.

引理3 假設(shè)n個(gè)用戶均勻且獨(dú)立地分布在體積為V的立方體中，且V為常數(shù)，則對(duì)于任意與n無(wú)關(guān)的常數(shù)δ＞0，任意兩個(gè)用戶之間的最小歐幾里德距離dmin滿足

式中：δ＞0是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，Xi，Xj∈｛X1，X2，…，Xn｝且i≠j.

證明 設(shè)一個(gè)特定的用戶X0與系統(tǒng)中的其他n－1個(gè)用戶之間的最小歐幾里德距離dmin大于等于為一事件，這事件等價(jià)于以用戶X0為球心，半徑為的球內(nèi)沒(méi)有其他用戶.因此該事件發(fā)生的概率為.易知，以用戶X0為球心，半徑為的 球 內(nèi) 有 其 他 用 戶 的 概 率 為

因此，當(dāng)n→∞且δ＞0時(shí)，密集網(wǎng)絡(luò)內(nèi)任意兩個(gè)用戶之間的最小歐幾里德距離大于等于的概率趨于1.

引理4 假設(shè)n個(gè)用戶均勻且獨(dú)立地分布在體積為V的立方體中，且V＝λn，λ為常數(shù).則對(duì)于任意與n無(wú)關(guān)的常數(shù)δ＞0，任意兩個(gè)用戶之間的最小歐幾里德距離dmin滿足

式中：Xi，Xj∈｛X1，X2，…，Xn｝，且i≠j.

證明 類(lèi)似于引理3的證明.

4 三維異步跳時(shí)IR-UWB多用戶系統(tǒng)的UWB信號(hào)漸近帶寬

定理1 對(duì)于密集三維異步跳時(shí)IR-UWB多用戶系統(tǒng)，n個(gè)用戶節(jié)點(diǎn)在體積為V的立方體內(nèi)服從均勻分布，當(dāng)IR-UWB信號(hào)的漸近帶寬為W（n）＝Ω（n2α（1＋δ）／3－1logn）時(shí)，則多用戶干擾相對(duì)于輸出噪聲就能以高概率忽略不計(jì)，其中α＞3，n→∞.

證明 由引理1可知，當(dāng)單元體積為v（n）＝γ1Vlogn／n時(shí)，則每個(gè)單元內(nèi)的用戶數(shù)以高概率滿足N（d）＝Θ（γ1logn）.不失一般性，假設(shè)用戶Xe在接收用戶Xi發(fā)送的有用信號(hào)，并設(shè)用戶Xe所在的單元為d0，則由式（3）可知，來(lái)自于單元d0及與d0鄰接正方環(huán)單元內(nèi)的多用戶干擾的方差為

式中：常數(shù)27是源于與單元d0的鄰接單元數(shù)為26得到的，t1是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù).

由于

在不考慮天線響應(yīng)的頻率相關(guān)性時(shí)，接收功率可以表示為

式中：Pt是用戶的發(fā)射功率；d為收發(fā)用戶之間歐幾里德的距離；α為路徑損耗指數(shù).

式中：t2是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù).

因此，用戶Xi收到總的多用戶干擾為

式中：t5是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù).

考慮到在多用戶系統(tǒng)中，每個(gè)用戶都能有特定的TH碼與之對(duì)應(yīng)，因此每幀中包含的碼片數(shù)至少為系統(tǒng)中的用戶數(shù)，即有Nc≥n.

又由于碼片時(shí)間寬度的倒數(shù)為IR-UWB信號(hào)的帶寬，因此當(dāng)式（23）遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于式（4）時(shí)，即IR-UWB信號(hào)的漸近帶寬滿足W（n）＝Ω（n2α（1＋δ）／3－1logn）時(shí)，則多用戶干擾相對(duì)于輸出噪聲就能以高概率忽略不計(jì)，其中α＞3，n→∞.

定理2 對(duì)于擴(kuò)展三維異步跳時(shí)IR-UWB多用戶系統(tǒng)，當(dāng)IR-UWB信號(hào)的漸近帶寬為W（n）＝Ω（nα（1＋2δ）／3－1logn）時(shí)，則多用戶干擾相對(duì)于輸出噪聲就能以高概率忽略不計(jì)，其中α＞3，n→∞.

證明 類(lèi)似于定理1，不同的是此處證明需要使用引理2和引理4.

5 二維異步跳時(shí)IR-UWB多用戶系統(tǒng)的UWB信號(hào)漸近帶寬

根據(jù)三維多用戶系統(tǒng)IR-UWB信號(hào)的漸近帶寬的研究思路和理論推導(dǎo)過(guò)程也可以得到大規(guī)模二維異步IR-UWB多用戶系統(tǒng)的IR-UWB信號(hào)的漸近帶寬.下面直接以定理形式給出.

定理3 對(duì)于密集二維異步跳時(shí)IR-UWB多用戶系統(tǒng)，n個(gè)用戶節(jié)點(diǎn)在面積為S的正方形內(nèi)服從均勻分布，當(dāng)IR-UWB信號(hào)的漸近帶寬為W（n）＝Ω（nα（1＋δ）－1logn）時(shí)，則多用戶干擾相對(duì)于輸出噪聲就能以高概率忽略不計(jì)，其中α＞2，n→∞.

定理4 對(duì)于擴(kuò)展二維異步跳時(shí)IR-UWB多用戶系統(tǒng)，n個(gè)用戶節(jié)點(diǎn)在面積為λn的正方形內(nèi)服從均勻分布，當(dāng)IR-UWB信號(hào)的漸近帶寬為W（n）＝Ω（nα（1＋2δ）／2－1logn）時(shí)，則多用戶干擾相對(duì)于輸出噪聲就能以高概率忽略不計(jì)，其中α＞2，n→∞.

6 結(jié)論

研究了在AWGN信道下用戶節(jié)點(diǎn)服從均勻分布的大規(guī)模異步跳時(shí)IR-UWB多用戶系統(tǒng)中，當(dāng)多用戶干擾相對(duì)于輸出噪聲以高概率忽略不計(jì)時(shí)不同網(wǎng)絡(luò)類(lèi)型所需的IR-UWB信號(hào)漸近帶寬.其中三維密集網(wǎng)絡(luò)所需的IR-UWB信號(hào)漸近帶寬為W（n）＝Ω（n2α（1＋δ）／3－1logn），三維擴(kuò)展網(wǎng)絡(luò)所需的IR-UWB信號(hào)漸近帶寬為W（n）＝Ω（nα（1＋2δ）／3－1·logn），不同于n個(gè)用戶節(jié)點(diǎn)分布在二維空間時(shí)所需的IRUWB信號(hào)漸近帶寬.

文獻(xiàn)［5］則研究了在AWGN信道下用戶節(jié)點(diǎn)服從Poisson分布的大規(guī)模異步跳時(shí)IR-UWB多用戶系統(tǒng)中，當(dāng)多用戶干擾相對(duì)于輸出噪聲以高概率忽略不計(jì)時(shí)不同網(wǎng)絡(luò)類(lèi)型所需的IR-UWB信號(hào)漸近帶寬.通過(guò)比較可知，用戶節(jié)點(diǎn)服從均勻分布時(shí)所需的IR-UWB信號(hào)漸近帶寬與用戶節(jié)點(diǎn)服從Poisson時(shí)所需的IR-UWB信號(hào)漸近帶寬不同，因此IR-UWB信號(hào)的漸近帶寬與節(jié)點(diǎn)的分布行為有關(guān).

本文只研究了AWGN信道下的IR-UWB信號(hào)漸近 帶寬，IEEE 802.15.4a和IEEE 802.15.3a UWB兩種信道下的IR-UWB信號(hào)漸近帶寬值得進(jìn)一步研究.

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